总题库(个别题有问题,可能缺题,仅供参考)讲解

的近似值的相对误差限0.1%,应至少取___4___位有效数字,此时的绝对1误差限为1032(3).设y=f(x1,x2)若x1,x2,的近似值分别为x1*,x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝(4).计算f=(2-1)6,取2＝1.4,利用下列算式，那个得到的结果最好？答：C1(A),(21)61(B)(3-22)2,(C),(D)99-7022(5).要使17的近似值的相对误差限0.1%,应至少取4位有效数字？(6).设x=3.214,y=3.213，欲计算u=xy,请给出一个精度较高的算式u=xxy2方程根(7).设迭代函数(x)在x*邻近有r(1)阶连续导数，且x*=(x*)，并且有(k)(x*)=0krrxxnxnxn数为___r___xx*n(8).称序列{xn}是p阶收敛的条件为n kk3x22x(11).用牛顿法解方程x3x210的迭代格式为xxx3x2kk3x22xkk((12).迭代过程x(x)收敛的充分条件是(x)k1k01x01xx的迭代格式为xxx3x21kk______k1k3x22x_________kk22元素为-8；第二次主元素为(用小数表示)7.5;22元素为-8；第二次主元素为(用小数表示)7.5;LUL，而U是一个上三角阵。主「210]「|L033223]|002A=A=|2w「1a)已知方程组|L0.322222「2-1(2).给定方程组33f 1,f2177f2of2o12w(7).X=(2,3,-4)T则||X||=，||X||=，||X||=12wX|=9,||X||=29,||X||=412w(5x+2y=8(8).已知方程组〈，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞l3x-20y=26「a10]「10]1如果A是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当o在区间(0,2)时。7,A的谱半径p(A)1(52(15).设(15).设f(x)x13，则f(x)关于C[0,1]的f,f4,1(14);记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵(14);记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵或“无”)kkkkkk(19).用n1个不同节点作不超过n次的多项式插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式相等(相等,不相等)。是三次样条函数的函数是，另一函数不是三次样条函数的理由是二阶导不连续。是三次样条函数的函数是g(x)，另一函数不是三次样条函数的理由是不满足具有二阶连续导数。(24).设li(x)=(i=0,1,…,n)，则xklk(x)(1).采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的法方程组病态问(2).试确定[0,1]区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x),该多项式唯一fxCabfx___存在的。(4).在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的无穷范数,在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的2范数.k=0fxx,1]上的不超过3次最佳一致逼近多项式P(x)=2x2-1/4。(7).采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的法方程病态问题.题1(8).函数f(x)=|x|在[-1,1]的，次数不超过一次的最佳平方逼近多项式是。2(31).n个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过2n-1次(32).设C(n)称为柯特斯系数则nC(n)=1kk(33).为辛卜生(Simpson)公式具有___3____次代数精度。nkk(35).设公式I=nAf(xnkkk=0则A=jbl(x)dx(k=0,1,…,n),kakkn度不会超过2n－1次。aaaa(38).当常数A=9，B=95时，数值积分公式f(x)dxAff(x)dxAf(a)f(0)Bf(a)是Gauss型积分公式。(39).值求积公式具有3代数精度，用于计算1(x4(ln2)x22x0.45)dx所产生的误差值为1；120(40).形如bf(x)dxnAf(x)的插值型求积公式，其代数精度至少可达到nkk正交的正交多项(41).正交的正交多项2((43).用复化梯形公式计算积分1f(x)dx,要把区间[0,1]一般要等分041份才能00计算个2130点的函数值才能使截断误差不超过107；若改用复化Simpson2公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12等分，即要计算个25点的函数值。02中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是x。 kkyf(x,y)y(a)a)欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式(步长为y(a)1n1nyyf(x,y)f(xh,yhf(x,y))，此方法是2阶k1k2kkkkkk bbRK公式为二阶公式 yhKyhK2Kf(x,y)1nnhbK)1Kf(xah,yhbK)12nnyyy(0)1hyyy(0)1hn的近似解的最终表达式yx)；当nx nn1.绪论部分0易知I0=1-e-1In=1-nIn-1故In-1=(1-In)/n0<In共1/(n+1))0(n)w)2.方程的根3.方程组直接解法4.迭代解法xx(2).插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某个函数f(x)的一种逼近，二者的侧重点分别00123f(x)19233解：基函数分别为177l0(x)=-8x3+8x2-4x+1111yPxx故最高次项系数为 (xx)(xx)(xx)101213f(xx)(xx)(xx)202123f(xx)(xx)(xx)303132(1k=0kk|(1)nx0x1...xnj=0证明：f(x)=nxn+1l(x)+f(n+其中，wn+1(x)=nn(x-xj)j=0jkkkkk=0kkkn+1当j=n+1时，xn+1=f(x)=nxn+1l(x)kkn+1k=0kf(x)=nx+1lk(x)是n次多项式，且最高次系数为x0+…+xn,k=0k证：查kk(n+1)!n+1xn+1=nxn+1l(x)+f(n+1)(kk(n+1)!n+1k=0k注意余项f(n+1)()w(x)=w(x)=nn(x-x)(n+1)!n+1n+1j=0jxnnxlkxxn1-wn+1(x)k=0kok证明：因f[x,x,…,x]=f(n)()1nn!oknkk(1)nxml(x)=xkkk=0kxnxxmlxm=1,2,…,nkkk=0证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知(2)xnp(x)l(x)=p(x),k共nkklkxx0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数证明：由插值唯一性定理知。证明p(x)一xnp(x)l(x)=w(x)kkn+1n+1jj=0明limf[x,x,…,x]=f(n)(x0)h)001nn!(11).(c10f)用等节距分段二次插值函数在区间[0,1]上近似函数ex,如何估算节点数目使插值2解：考虑子区间[xi-1,xi]二次插值余项f(x)一P(x)2iii+1iii+1emaxxxxx)(x一x)ii+16x共x共xii+1/ii+1上式化简为=4894892f(x)_f(x)_P(x)共(b_a)2maxf,(x)式，证明x=[a,b]证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式P1(x)在子区间[a,b]上的余项估计式，再估计最值ok!：利用边界条件s/(2-0)=0及样条函数定义可得解：f[x,x,…,x]=f(n)(飞)01nn!01nkkfxxxxna01nkkk0kk_1kk+1knk0kk_1kk+1kn3ok(1)什么叫样条函数？(2)确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？数mi的数学意义是什么？(2)4n个(3)mi=S/(xi)即样条函数在节点xi处的一阶导数。(1)何谓Hermite插值问题？(2)Hermite插值与一般多项式插值有什么区别？证明：(1)令t=-x,考查fxaaata(2)略。(2).(a10f)试确定[0,1]区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x),该多项式唯一(3).求f(x)=2x3+x2+2x-1在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式P(x)。已知解:f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)=2.23一1T3(x)=2T3(x)11故P(x)=f(x)-2T3(x)=2x3+x2+2x-1-2x3+23x7=x2+x-12T2(x)=cos29=2x2-1T(x)=cos39=4x3-3x故f(x)的3次最佳一致逼近多项式为f(x)在[a,b]上的最大与最小值。证：写出线性组合式子――――2分(7).(10分)求f(x)=lnx,x=[1,2]上的二次最佳平方逼近多项式的法(正规)方程组。(要求精确表示，即不使用小数)解：取C=span{1,x,x2},[a,b]=[1,2]法方程组为计算知平方误差为与C中所有函数正交。证明：查p(x)=xnap(x)kkk=0fxpxpj)注意到ak是法方程组的解。而法方程组okk=0明：(f-p,f-p)=(f,f)-xna(p,f)kk证：注意到ak是法方程组的解。而法方程组(p-f),p)=0-------------------(5分)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p) (x-x=1写出相应的法方程组ATAx=ATb――――5分解：给出目标函数=xTATAx-2xTATb+bTb----------5求偏导得到驻点方程组ATAx-ATb=0---------------5证：充分性。首先注意到若为方程组的解，则必为方程组p(9)．．证必要性)。{Q0,…,Qn}无关亭(9)仅有0解即Vak=0xi,yi)(i=1,2,…,m)的最小二乘拟和函数。ayQkk…,nk(Q,Q)kk((Q,Q)(Q,Q)…10…… 000=… (0011…0………0)0此时法方程为kkfxk=0kk证：法方程系数矩阵为QTQ=此时法方程为((p((p,p)00 ((y,p)a=ka=kkk(p,p)(p,p)…11…(p,p)…n1((f,p))0(f,p)0=1=： ((f,pn))故解：由内积(f,g)=j1f(x)g(x)dx,-1计算知法方程(1) (1/3(1) (1/3)|=1x解：由内积(f,g)=j3f(x)g(x)dx,令p0=1，p1=x,1计算法方程m由内积(f,g)=jmf(x)g(x)dx,令p0=1，p1=x,p2=x20计算知法方程达到最小达到最小0(1)求解线性最小二乘问题遇到的主要困难是什么？(2)用离散正交多项式进行拟合的主要优点是什么？(1)什么叫最佳多项式平方逼近？(2)什么叫最佳多项式一致逼近？(1)最佳平方逼近多项式与最小二乘拟合多项式在计算方法上有何相似之处？(2)二者区别是什么？5.数值积分6.微分方程数值解答案.法方程组病态误题(1).(V)线性方程组的条件数与其解法无关。(3).(V)Rn上一切向量范数都等价。(4).(V)矩阵A的谱半径不超过||A||1。(6).(人)说微分方程初值问题的数值方法是p阶的，指的是其局部截断误差是与hp(8).(V)微分方程初值问题的Euler方法第一步的局部截断误差等于第一步的整体截2迭代多少次？使用二分法时，误差限(按例4-1的编号方式)为xx*1(ba)11104，解得k12k12k12例4-3求解方程xex的根，要求取x0.5,分别用简单迭代法、迭代法的加速方0法：x(x)x(1)简单迭代法。此时迭代公式为k1k答k10xxkxkkk01234567890xxxx(xx),k0,1,2,…kkxxkxxkkkk0314434(3)用埃特金方法来做。此时迭代式为〈(c-c)2|k〈(c-c)2kkCkCxk0123x2横坐标应满足的关系式，然后用迭代法求解。xkk0201233223(1)用单点弦割法，迭代公式为x=xxkx0f(x),k=1,2,…k+1kf(x)f(x)kk001xxk12xkk5678k012348(2)若采用双点弦割法，迭代公式为x=xxxkk1f(x),k=1,2,…k+1kf(x)f(x)kkk101xxk12xkk345k012554求xxxf0kkkkkxxk1xkk345k012545顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言，当牛顿法中f,(x)的计算量超过f(x)的计算量的44%时，双点弦割法的总计算时间较牛kk例4-10能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求x=Q(x)能否用迭代法求根，最关键的是Q(x)在根的附近能否满足42Q,(x)=一1.1想1.1=1想1，故可用迭代公式xlnlnln20(2)x3=1+x2，迭代公式1k试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。0(2)故(2)也收敛。由于Q,(x)越小，越快地收敛于x*，故取第(2)式来求根。计算结果如下：0kxkkxk1.4662430168298290是计算a的三阶方法。kk)wk+1k于第二件事也可按定理3.3来证(下文未给出该种证明)。0k1f(x)/f(x)L1f(x)/f(x)L1k(ax)3(3x2a)kk(x)(3x23a)/(3x2a)x(x23a)6x(x2a)2(3x2a)2(3x2a)2kll(l23a)/(3l2a)解得l0,la，由题知取la。即迭代序列收敛于a。kk(akk(ax)3k3x2a4ak故题中迭代式确是求a的三阶方法。例4-18试给出简化牛顿公式(单调弦割法)xxf(x)/f(x),n0,1,2,…nnn0xxx*f(x)xx，其中mminf(x)。nm0n1naxbaxb分析这里可看作是迭代函数为(x)xf(x)/f(x)的简单迭代法。因之，可用0解答令(x)xf(x)/f(x)，则(x)L1(在x*的邻域内)是0xxf(x)/f(x)收敛的一个充分条件，nnn0即得001Lf(x)/f(x)1因而，只要对给定的x，存在0L1,使对任何x[a,b]上式都能成立的话，单调0再由f(x*)0,f(x*)0，有xx=f(x)/f(x)=(f(x)f(x*))/f(x)=f()(xx*)/f(x)n+1nn0n0n0介于x与x*之间nxx*=f(x)0(xx)nf()n+1nxx*f(x0).xxnf()n+1nf(x)xxm0n+1nm(1)导出迭代求根公式2f(x)f(x)x=xnn；n+1n2[f(x)]2f(xx=xnn；nnn(2)证明对f(x)=0的单根，(1)的公式是具有三阶收敛速度；(3)讨论在f(x)=0的重根附近，(1)的公式的收敛速度。分析这里要求直接导出迭代公式，故可先求出根x*的近似表达式，然后令其值为xn+1x达式可考虑f(x)的泰勒展开式。想法导出所求公式。xfxfk(x*)0,k=1,2,…，不妨设在x*的邻域f(k)(x)均有界，则f(x)=f(x)+f(x)(xx)+nnnff(x)(xx)2+O(xx)3)2!nnnff(x)+f(x)(x*x)+f(x)(x*x)2+nnn2nnO((x*x)3)=0n解出f(x)(x*x)并乘以f(x)，得nnn[f(x)]2(x*x)=f(x)f(x)nnnnf(x)f(x)(x*x)2+O((x*x)3)2nnnn上式右端第二项f(x)f(x)(x*x)2=f(x)(x*x).2nnnnn一一f(x)f(x)f(x)(x*一x)=2nnn2nnnf(x)(x*一x)=2nnf(x)f(x)(x*一x)+O((x*一x)3)2nnnn所以[f(x)]2(x*一x)=一f(x)f(x)一nnnnf(x)f(x)(x*一x)2+O((x*一x)3)=2nnnn一f(x)f(x)+f(x)f(x)(x*一x)+nn2nnnnnn[f(x)]2一1f(x)f(x)n2nnn即x*=x一2f(x)f(x)nn+n2[f(x)]2一f(x)f(x)nnnn略去高阶无穷小，得x*x=x一2f(x)f(x)/[f(x)]2一f(x)f(x)}n+1nnnnnn(2)讨论收敛速度 n+1=nx一2f(x)f(x){2[f(x)]2一f(x)f(x)}一x* nnnnnn=x一x*)3n(x一x*)n故在单根附近，(1)的公式具有三阶收敛速度。(3)仅就二重根的情况证明之，其余类似。n2nnxxOxxnnnf,(x)=f,(x*)+O((x一x*))nn于是 n+1= n+1=nx一x*一2f(x)f,(x)/{2[f,(x)]2一f(x)f,(x)} nnnn代入f(x)、f,(x)、f,(x)的泰勒展开式，并化简得nnn必1一[f,(x*)]2/{2[f,(x*)]2一1[f,(x*)]2}=x一x*2n33故在重根附近，(1)中公式是线性收敛的。b0x)+wx)x)有具仅有一根x*，即x*=[2,3]。k05895894 (3)取x=2.5，利用x=2+e一xk进行迭代计算，结果如表7-2所示k+13kxk4(1)试证：对任意初始近似x=R，该方法收敛；0 k+1k(3)所给方法的收敛阶是多少？)由迭代公式知，迭代函数Q(x)=4+cosx,x=(一w,+w)。由于Q(x)的值域3 (3)(3)0k(2)取x=4，迭代计算结果如表7-3所示。04kxk55xk)wekkCx=Q(x)(k=0,1,2,…)产生的序列{x}收敛于2；kkk(2)C取何值对收敛最快？22222212220k(2)x(|C=-1)|k(22)k01234k016xx2例7-5给定初值x丰0,以及迭代公式0akkk证明：(1)该迭代式是二阶收敛的；(2)该迭代产生的序列{x}收敛的充要条件是k0=1，即1是p(x)的不动点。又 (a)aa 是二阶收敛的，且limek+1=1p,(|1)|=-ak)we22(a)kex=(ax-1)，令r=ax-1，则kkaakkk1xx(1-r),e=rk+1kkkak然而kkk-1k-1k-1k-1k-1故kk-1k-20e=r=-r2kkaka0k)wkk)wkk)wk00注(1)的结论也可直接用二阶收敛的定义去证明，另外，本题迭代式实际上是对f(x)a1使用牛顿迭代法而得。x迭代法求切点横坐标的近似值x，使xx10。k1k1k5令f(x)3x24.8x0.51，则f(1)<0,f(2)>0，故区间[1,2]是f(x)=0的有根区间，又当迭代法，得计算公式kfxx0xxkxkk345k012继续计算仍得x1.7，故x*1.7。69.研究求a的牛顿公式x00x1xax00k12kxkk120k2k1xk1kaaxx22x222akk为a。应用牛顿迭代法，得x=x_f(x)k=1(x+a),k=0,1,2,…k+1kf，(x)2kxkk利用例7-9的结论知，当x>a时，{x}w单减有下界a，且limx=a。当0kk=0k)wk0a2a213.应用牛顿法于方程f(x)=1_a=0，导出求a的迭代公式，并用此公式求x2x3axx=x_kk+1k2ax3xk44故0其交点的横坐标就为所求正根。由图可知交点的横坐标约在0.3附近。又由2可取区间(0，0.5)讨论，并将f(x)=0改写为则444142536717627n)w12Q,(x)不妨设limI=I，则有nn)wnI2I，即I22I。limI2，nn13n(1)证明xR，均有limxx*(x*为方程的根)。n(2)取x0=4,用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10-3。(3)此迭代法的收敛阶是多少？证明你的结论。解(1)因迭代函数33(x)1故迭代过程收敛，即xR，均有limxx*。n(2)取x0=4,代入迭代式计算有13333取x*x3.37即可使误差不超过103.5322.填空题(1)迭代过程x(x)收敛的充分条件是(x)(2)(x)x(x25)，要使迭代法x(x)局部收敛到x*5，则取值范围是。kkkkkkkkkkx敛，则入(x)=。kk(4)迭代法x(4)迭代法x=x+收敛于x*=33，此迭代序列是阶收敛的。k15(3)由于Newton迭代具有平方收敛，故取x1。kf,(x)3x2一2x一1kkk3x23x3x433333kaI=。(1)构造计算I的迭代公式；(2)讨论迭代过程的收敛性；(3)求I的精确值。解(1)计算I的迭代公式为k(2)上述迭代公式的迭代函数为(a+x)2a0(3)令limI=I，则有kk)w解之得I=舍去，取I=2若把方程改写成下列三种等价的便于迭代的形式：5 (2)x=2+；x：xx5；5 (2)x=2+；5kkx，经分别迭代计算得到的结果列于表4-2中。05543211迭代(1)迭代(2)迭代(3)kxkxkxk从表4-2中数据的变化趋势看，迭代格式(1)和(2)得到的序列x可能是收敛的，k而迭代格式(3)可能是发散的。(1)对于迭代格式(1)，其迭代函数为(x)32x5，则(x)在[2,3]上具有连续的一阶导数(x)的一阶导数(x)(2x5)3，且x[2,3]，有(x)0，故(x)单调增加，又3件(1)。2x33即满足定理4.1的条件(2)，从而迭代格式(1)收敛。(2)对于迭代格式((2)对于迭代格式(2)，其迭代函数为(x)2，且当x[2,]时，有x911(x)(2x25x)20，故(x)是单调减少，但(2)3,(3)2，x9112x23显然不满足定理4.1的条件(1)，但若在[2,3]的子区间[2,2.5]中考察，则有4条件(2)，从而迭代格式(2)在区间[2,2.5]上收敛。(3)对于迭代格式(3)，其迭代函数为(x)x3x5，在区间[2,3]上有x在此补充一个判别迭代法发散的充分条件：若存在L1使(x)L(x[a,b])，而当xx时，迭代发散。01从而迭代格式(3)当xx时，迭代发散。01x02满足条件：0x时迭代法收敛。0cxxf(x)kx1cxkkk1kf(x)kkx2xkkk记第k步的迭代误差为ex*x(k0,1,2,…)kkkkkkkk1k1kkkkkkkkkk这是一个关于足标k的递推式，反复递推，可得rr2k。k02若0x,则1r1cx1，即r1，则有r2k0(当k时)，即0c000or0，而c为常数，从而有迭代误差ex*x0，也就是当迭代次数k时，kkk有xx*，即迭代法收敛。k例6设法导出计算(a0)的牛顿法迭代公式，并要求公式中既无开方运算，又a解由于要求迭代式中既无开方运算，又无除法运算，故将计算(a0)等价化为a1x2x而此时有x2x31所以计算的牛顿法迭代公式为a1x=xx2k=2xax3k+1k1kkx3xkkk|123|123123123w算求解，只需先写出迭代格式，然后再依次迭代计算。解答将第三个方程调到第一行后有|123123w「1]「1]入122入1-2入20.50.5-)T20)T0)TpB)=0，我们发现仅三次迭代就收敛到了精确解，这和例6-1有类似之处。事实上这两个例子隐含了一个普遍性的结论，请读者看例6-1711]11]1111||1|=x=2分析观察系数矩阵的特点，它既不严格对角占优，也不对称正定，因此应该写出BBBB|-11 212012--2-1055412,32(2)对Gauss-Seidel方法，迭代矩阵为「1L1 2012-12012322一定存在初始向量x(0)，使得Jacobi并比较哪种方法收敛较快，其中AA-2021-2]1分析如果两种方法发散，则一般应求迭代矩阵的谱半径，说明它小于1；如果两种方法收敛，但要比较收敛速度一般也应求谱半径。总之，应该求迭代矩阵的谱半径。解答(1)对Jacobi方法，迭代矩阵「001-22]|1-20(2)对Guass-Seidel方法，迭代矩阵「「01-22]|1-2 BB1|a-21a]--12a0其谱半径为p(B)=1aaaaa1122「|B=B20L故其谱半径为p(B)=2aaaa12AA-31a23]22敛的充要条件去讨论，因此首先求迭代矩阵的谱半径。「|1--aB3La1-a02-a--2-a012,3aaBA由B<1推出A所具有的特w「aa]wijaj=1j=1iiix a ijxii||||(2x-x+x=1,123BB10-10」B的特征多项式为J入0.5]11123J「200]-1「0-11]「00.5-0.5]G123G|1223JJJJGJ]]GGB「B11=SL015--4=-=--50-1-40-1-40]]=-4 -]| -S4- --805 005- (4)(256)(256)161610246416-5根805 (256)164096(4)123SSS27.填空题(x+ax=4 (2)用G-S迭代法解方程组〈l21+2=_3，其中a为实数，方法收敛的充要条件 (2)a满足a<1，因此时p(G)<126.给定方程组100|=|=(1)确定a的取值范围，使方程组对应的jacobi迭代收敛；(2)当a=2时，用三角分解法(不选主元)求方程组的解X*解(1)将所给方程组a2解之a2解之得a2A|12|12改写成(x=-ax+1BJ0000a00]222Ja<2，即a=(-2,2)。(2)当a=2时，所给方程组的系数矩阵为|l1luuu]uu(likikimmkkk得3123323333所以有即原方程变形为33解33得12333得123问是否收敛？为什么？若将原方程组变为解对方程组「12]由JJ由GG(3x+2x=4因其系数矩阵是强对角占优的，故再用上述两种迭代均收敛。。解雅可比法的迭代矩阵(11x-3x-2x=3123解由第一个方程的二倍加上第二个方程得12323(11x-3x-2x=33显然，新方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故可建立雅可比迭代格式与高斯-塞德尔迭代格式，而两种格式均收敛。其雅可比迭代格式为显然，新方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故可建立雅可比迭代格式与高斯-塞德尔迭代格式，而两种格式均收敛。其雅可比迭代格式为其高斯-塞德尔迭代格式为(5359bBBBBJJL0-a「a-0a-5]入I-B)=3abJ(100)J103高斯-塞德尔法的迭代矩阵|s|s00a00|0-a00「a--]|b-入I-B)=3abs(100)s1003(4x+3x=24(1)研究用SOR方法求解的收敛性；w「430](2)SOR法迭代格式为wwxkx(k)用迭代公式「3解所给迭代公式的迭代矩阵为其特征方程为55(4)a<2；(5)a<1。)2(4)a<2；(5)a<1。)2|123|225551.填空题「a10] (5x+2y=8 (2)已知方程组〈，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-l3x-20y=26(3)(2)中的雅可比迭代格式是否收敛____是_______，其渐近收敛速度(x+ax=4 (4)用高斯-塞德尔法解方程组12122(答案：(答案：(1)a<1；(2)||123|123试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。解(a)雅可比法的迭代矩阵J「00-0.80」JJ高斯-塞德尔法迭代矩阵「0-0.4-0.4]Bs=(D-L)-1U=|故高斯-塞德尔迭代法收敛。(b)雅可比法的迭代矩阵J「0-2--10-2-22]JJ高斯-塞德尔法的迭代矩阵s0-2202]ss故高斯-塞德尔迭代法不收敛。8.证明矩阵11aa]aa222故A是正定的。又雅可比法迭代矩阵「0-a-a]aadet(IB)aa33a22a3(a)2(2a)aaa故(B)2a，故当1a1时，雅可比迭代法收敛。J221111分析这实际上是基本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。解答(1)由定义，显然||Q||1=4(2)因QTQ=4I，故||Q(2)因QTQ=4I，故||Q||2max(3)由定义显知||Q||4QTQIQQT，从而(Q1)T(Q1)QQT162max(1QQT)(1I)1max16max422222111A221bb30212已知它有解X1.如果右端有小扰动||b||1106，试估计由此引起的解的320系解答容易求得5wwwwww分析由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。取范数有A|是一种算子范数，故有相容关系分析由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。又又故即分析由矩阵范数的基本性质即可推证。 A主子式均不为零。U证明设(a(a(u(uaa…auu…将A=LU按分块形式写出则有A)(LA)(L从而由矩阵的分块乘法有a)(1kkk1 a)(1kkk1 O)(UO)(UUU1…l))……)|)…因为A=An=LnUn非奇异，故2|11nnn1