概率论与数理统计第四章测试题及概率论与数理统计第一至第四章得重点题型 复习资料

概率论与数理统计习题三答案1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】的可能取值为：0，1，2，3；的可能取值为：0，1.和的联合分布律如下表：XXY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】的可能取值为：0，1，2，3；的可能取值为：0，1，2.X和Y的联合分布律如下表：XXY012300010203.设二维随机变量的联合分布函数为求二维随机变量在长方形域内的概率.【解】如图题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量的分布密度求：（1）常数；（2）随机变量的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由得=12（2）由定义，有(3)5.设随机变量的概率密度为（1）确定常数；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有故（2）(3)(4)题5图6.设和是两个相互独立的随机变量，在（0，0.2）上服从均匀分布，的密度函数为求：（1）与的联合分布密度；（2）.题6图【解】（1）因在（0，0.2）上服从均匀分布，所以的概率密度函数为而所以(2)7.设二维随机变量的联合分布函数为求（X，Y）的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度.【解】的边缘概率密度为的边缘概率密度为题8图题9图9.设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度.【解】的边缘概率密度为的边缘概率密度为题10图10.设二维随机变量的概率密度为（1）试确定常数；（2）求边缘概率密度.【解】（1）得.(2)11.设随机变量的概率密度为求条件概率密度，.题11图【解】所以12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为，最大的号码为.（1）求与的联合概率分布；（2）与是否相互独立？【解】（1）的可能取值为：1,2,3；的可能取值为3,4,5.与的联合分布律及边缘分布律如下表：YYX345120300(2)因故与不独立13.设二维随机变量的联合分布律为XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故与不独立.14.设与是两个相互独立的随机变量，在（0，1）上服从均匀分布，的概率密度为（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因故题14图(2)方程有实根的条件是即，从而方程有实根的概率为：15.设和分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设和相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=求的概率密度.【解】因为和相互独立，所以与的联合概率密度为如图,Z的分布函数(1)当z≤0时，（2）当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=）(如图a)题15图(3)当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）即故16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设取到的四只电子元件寿命为(i=1,2,3,4)，则，从而17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为证明随机变量Z=X+Y的分布律为，i=0，1，2，….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以于是18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.方法二：参见第四章。19.设随机变量（X，Y）的分布律为XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05(1)求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.【解】（1）（2）所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为（1）(2)21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图【解】区域D的面积为（X,Y）的联合密度函数为（X，Y）关于X的边缘密度函数为所以22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故从而而X与Y独立，故,从而即：又即从而同理又,故.同理从而故YYX123.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】(1)的可能取值为：0,1,2,3，....，n，且(2)24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为由于X和Y独立，可见由此，得U的概率密度为25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有因为X，Y相互独立，所以于是.26.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度.【详解】(=1\*ROMANI).(=2\*ROMANII)解法一：先求Z的分布函数:当时,;当时,；当时,；当时,.故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度为=解法二：，当或时，;当时，；当时，；故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度为27.设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为记.（1）求;（2）求的概率密度.解（1）注意到与相互独立，于是（2）先求的分布函数。由于,,构成样本空间的一个划分，且,因此根据全概率公式得的分布函数分布函数求导数，可得的概率密度28.袋中有1个红球、2个黑球、3个白球，现有放回地取球两次，每次取一个球，以分别表示两次取球得到的红球、黑球与白球的个数。（1）求;（2）求二维随机变量的概率分布。解（1）由条件概率得也可以有或用缩减样本空间法：，表示两次取球都没有取到白球，即只在红球、黑球中做选择，因此，样本空间中样本点总数为3*3=9，（2）与的可能取值均为：0，1，2.且，同理可以求得联合分布律中的其它概率值。的联合分布律如下表：01201229.设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度。解由概率密度函数的规范性有得常数，即的边缘概率密度为所求条件概率密度为（提示:本题充分利用概率积分来简化计算）30.设随机变量与的概率分布分别如下表所示。01-101且.（1）求二维随机变量的概率分布；（2）求的概率分布。解由得，即进而再根据联合概率分布与边缘概率分布的关系，可得的概率分布如下表：-101000101（2）的可能取值为：-1，0，1。由得概率分布可得的概率分布-10131.设随机变量的概率密度为，令随机变量（1）求的分布函数；（2）求概率.解（1）的分布函数当时，；当时，；当时，故的分布函数为（2）第4章随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是(A)8(B)16(C)28(D)442．若随机变量和的协方差，则以下结论正确的是（）(A)与相互独立(B)D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY(D)D(XY)=DXDY3．设随机变量和相互独立，且，则（）(A)(B)(C)(D)4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充要条件为(A)EX=EY(B)E(X2)-(EX)2=E(Y2)-(EY)2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+(EX)2=E(Y2)+(EY)25．设、是两个相互独立的随机变量且都服从于，则的数学期望（）(A)(B)0(C)(D)6．设、是相互独立且在上服从于均匀分布的随机变量，则（）(A)(B)(C)(D)7．设随机变量和的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X和Y（）(A)不相关的充分条件，但不是必要条件(B)独立的充分条件，但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件(D)独立的充分必要条件8．若离散型随机变量的分布列为，则（）(A)2(B)0(C)ln2(D)不存在9．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（A）－1（B）0（C）（D）110．设随机变量X和Y独立同分布，具有方差>0，则随机变量U=X+Y和V=X-Y（A）独立(B)不独立（C）相关(D)不相关11．随机变量X的方差存在，且E(X)=，则对于任意常数C，必有。（A）E(X-C)2=E(X2)-C2（B）E(X-C)2=E(X-)2（C）E(X-C)2<E(X-)2（D）E(X-C)2E(X-)212．设X~U(a,b),E(X)=3,D(X)=,则P(1<X<3)=（）（A）0（B）（C）（D）二、填空题1．设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则2．设一次试验成功的概率为，进行了100次独立重复试验，当时，成功的次数的标准差注意是标准差还是方差！的值最大，其最大值为注意是标准差还是方差！3．设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量，则的方差是方差不是期望！DY=是方差不是期望！4．，，，则，5．设随机变量服从于参数为的泊松分布，且已知，则6．设(X,Y)的概率分布为：YX-10100.070.180.1510.080.320.2则＝E(X^2*Y^2)=0.28!X2Y2不独立！。E(X^2*Y^2)=0.28!X2Y2不独立！7．已知,则E(X)=。8．X~N（，2），Y~N（，2），X与Y相互独立,则Cov(X+Y,X-Y)=________。9．随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2),令X=3X1-X2+2X3,则E(X)=___________，D(X)＝。10．设ρXY=0.9，Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为。11．设随机变量Xij独立同分布，EXij=2，则行列式的数学期望EY=。三、简答题1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X为同种遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。2好的基础题！．已知随机变量服从二维正态分布，且与分别服从正态分布与，它们的相关系数，令，⑴求的数学期望与方差好的基础题！(2)求与的相关系数。3．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数X的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。5．一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对某种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。6．两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差使用公式更简单！。使用公式更简单！7．某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望和方差。8．设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求的数学期望。9．设随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差用定义！。用定义！10．假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上服从均匀分布。记。（1）求(U,V)的概率分布；（2）求U和V的相关系数r。11.假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D(X+Y)。12．设A，B是两个随机事件；随机变量试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是A与B相互独立。参考答案一、选择题1．D2．B3．C4．B5．C6．C7．C8．D9．A10．D11．D12．D二、填空题1．18.42．1/2，53．8/94．7，195．16．-0.027．18/118．09．4，14/310．0.911．0三、简答题1．解：X服从二项分布，其分布律为X0123P27/12554/12536/1258/125其分布函数为X的数学期望为2．解：⑴因,,故有,，(2)3．解：（1）由题意知，X服从超几何分布，故；（2）又全概率公式，可得。4．解：有题意，因此。5．解：设Z表示商店每周所得的利润，则所以。6．解：以X和Y表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T=X+Y，从而有由已知，，从而有：。7．解：X服从几何分布，P(X=i)=qi-1p，i=1,2,…；；.8．解：设A表示X的观察值大于，故；由题意可知，Y~B(4,1/2)；故。9．解：有独立正态分布的性质，X-Y~N(0,1)，先求；再求；所以。10．解：（1）；；；；（2）,，，可计算，，，最后得到。11.解：（1）；；；；（2）,,,所以E(X+Y)=0，D(X+Y)=2。12．证明：EX=P(A)-[1-P(A)]=2P(A)-1，EY=2P(B)-1，从而X和Y不相关的充要条件是，即，当且仅当P(AB)=P(A)P(B)，当且仅当A,B独立。第一章随机事件与概率一、填空题1.写出下列随机试验的样本空间。记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则=；生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，则=；对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，用0表示次品，1表示正品，则=；在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则=；同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则=；将一尺之锤折成三段，观察各段长度，设x,y,z分别表示三段长度，则=；在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则=；记录某城市一天内的用电量，则=。2.设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。（1）“A发生，B与C不发生”=；（2）“A与B都发，而C不发生”=；（3）“A，B，C中至少有一个发生”=；(4)“A，B，C都发生”=；（5）“A，B，C都不发生”=；（6）“A，B，C中不多于一个发生”=；（7）“A，B，C中不多于两个发生”=；（8）“A，B，C中至少有两个发生”=。3.在抛三枚硬币的试验中，1表示正面，0表示反面，试写出下列事件的集合表示。（1）“至少出现一个正面”=；（2）“最多出现一个正面”=；（3）“恰好出现一个正面”=；（4）“出现三面相同”=。4.设，则（1）；（2）（3）；（4）5.设A，B为两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7，则（1）当时，P（AB）取到最大值，最大值=；（2）当时，P（AB）取到最小值，最小值=。解：（1）观察上式，已知P(A)，P(B)均固定，当最小时，P(AB)最大。当，即时，最小，此时，P(AB)取到最大值，最大为P(AB)=P(A)=0.6。（2）当最大时，P(AB)最小。当时，取得最大值为1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为=0.6+0.7-1=0.3。6.设A，B，C为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C至少有一个发生的概率=。要点：用字母表示事件，是本课程入门的又一关键，由“至少”联想“”，进而想到公式：解：至少有一个发生：其中7.设P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=,则事件A,B,C都不发生的概率=。解：事件A,B,C都不发生：8.在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1，…，9）=。解：所有可能的种数为10×10×10×10种，后四个数全不相同的种数为，则所求概率为。9.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码。则最小号码为5的概率=；（2）最大号码为5的概率=。解样本空间的样本点总数为。最小号码为5是必须取到5号，而其余2人从6～10号中任取，故事件的样本点个数为，所求概率为最大号码为5，其余2人在1～4中选号，事件的样本点个数为，所求概率为10.10个人随机地围一圆桌而坐，则甲、乙两人相邻而坐的概率=。要点：先假定某人已坐好，再考虑其他人相对该人的坐法解：设甲已坐好，其余个人相对甲的坐法有种，甲乙相邻，乙有两种坐法，其余个人的坐法有种，故所求概率为。10.从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率。11.有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率。12.一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后随机把六个头两两相接，六个尾两两相接，则放开手后六根草恰好连成一个环的概率=。要点：“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况。解：考虑头两两相接的先后次序，则“六个头两两相接”共有种不同结果。而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有一个不能相接，只可与余下的4个头中的任一个相接，第二步从未接的头中任取1个，与余下的2个头中的任一个相接，这总共有种可能接法，故所求概率为。13．在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于6/5的概率=。解：设两数之和小于6/5，两数分别为，由几何概率如图01y1yy01y1yyx14.设A,B为随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,=0.8,则=。解：，所以15.设A,B为随机事件，且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,则P()=。解：，所以。16.已知事件A，B满足，记，则=。解：，由此得，所以。17.已知，则=。解：因为，所以，18.已知，则=。解：，由乘法定理有：又由有：19.三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率=。要点：“至少”对立事件。解：三人能否译出相互独立，则三人都译不出的概率为(1－1/5)(1－1/3)(1－1/5)=0.4，至少一个译出的概率为1－0.4=0.6。20.设两两独立的事件，且。若，且，则=。解：.或，由.21.已知（1）若和不相容，则=；（2）若和独立，则=；（3）若，则=。解：（1）（由已知）（2）（3）22.设在三次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现一次的概率为，则在一次试验中事件A出现的概率=。解：设所求概率为p，由题意有=，则p=23.某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率=。24.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设第次取到正品，则或25.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________.解：设取到第箱，取出的是一个白球26.从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是_________.解法1样本点总数为，记A=“4只鞋子中至少有2只是一双”，则对立事件=“4只鞋子均不成双”，故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有8种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中任取一只，有6种取法，第四只鞋子有4种取法，故事件所包含的样本点总数为10×8×6×4，得

解法2中个数是从5双不同鞋子中任取4双，再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有种取法，故27.设在一次试验中，事件发生的概率为.现进行次独立试验，则至少发生一次的概率为__________，而事件至多发生一次的概率为_________.解：设至少发生一次至多发生一次二、计算题1.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病│孩子得病}=0.5，P{父亲得病│母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：设A=“孩子得病”，Ｂ＝“母亲得病”，Ｃ＝“父亲得病”，则所求概率为。已知P(A)=0.6,P(B│A)=0.5,P(C│AB)=0.4,则由乘法定理有 由,,有2..已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解法1：设A=“2正”，B=“2次”，C=“一正一次”，D=“第2次次”，基本事件=“取一只，不放回，再取一只”，S中个数=，可利用古典概型公式计算：Ａ中个数＝，于是Ｂ中个数＝，于是Ｃ中个数＝，于是Ｄ＝“第一次取出正且第二次取出次”∪“第一次取出次且第二次取出次”Ｄ中个数＝，于是解法２：设事件如解法１，又设=“第一次正”，=“第2次正”，则=“第1次次”，=“第2次次”，用乘法公式算3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解法1设Ai=“第i次接通电话”（i=1，2，3），A=“拨号不超过3次接通所需电话”，则，故所求概率解法2“拨号不超过3次就接通”的对立事件是“拨号3次都未接通”，于是设B=“已知最后一个数字式奇数，不超过3次拨通”，则4.（1）设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红漆；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一只盒子中任取2只球放入第二只盒子中去，然后从第二只盒子中任取一只球，求取到白球的概率。要点：从题中“嗅出”划分，把“全”公式写出来，剩下就简单了。解：（1）设B1=“从甲袋中取到白球”，B2=“从甲袋中取得红球”，则B1，B2构成一个划分，Ａ＝“从乙袋中取得白球”，由全概率公式（2）设Bi=“从第一只盒中取到i只白球”，i=0，1，2，则B0，B1，B2构成一个划分，设A=“从第二个盒中取得白球”，则由全概率公式知5.设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为Ｂ型，33.7%为O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？受血者受血者输血者A型B型AB型O型A型√×√√B型×√√√AB型√√√√O型×××√√：允许输血×：不允许输血解：设分别为A，B，O，AB型输血，分别为A，B，O，AB型受血，则6.某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。解字母脱落2个共有五种情况，脱下“M，X”或“A，X”或“M，A”或“A，A”或“M，M”分别用表示，则Ai，i=1，2，…，5构成划分；设B=“放回结果正确”。脱落的基本事件总数为。由全概率公式 7.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？要点：“条件互倒”联想“贝”；公式右边=中转/全；抓住划分；死记贝叶斯公式不如掌握其推导过程。解：设Ａ＝“色盲患者”，B＝“男性”，＝“女性”，B与为划分，由贝叶斯公式8.10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的装有也是一等品的概率。解：设‘从箱中任取2件都是一等品’‘丢失等号’.则；所求概率为9.一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为p/2。(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次及格，求他第一次及格的概率。解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2，则其中10.已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’，‘任取一产品确是合格品’则（1）（2）11.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收做B的概率为0.02，而B被误收做A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1，若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解设B1=“发出信息A”，B2=“发出信息B”，A=“收到信息为A”，则，B1，B2为划分，由贝叶斯公式12.设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。解：（1）设事件={一箱的玻璃杯中含i个残次品}，i=0,1,2,且P()=0.8,P()=P()=0.1,事件B={从一箱中任取四只杯子无残次品}，则由全概率公式可得：P(B)=P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|)

=0.8×+0.1×+0.1×=0.94

（2）P(|B)==0.8513.设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机地从一地区，先后任取两份报名表，求：

(1)先取的那份报名表是女生的概率p；

(2)已知后取到的报名表是男生的，而先取的那份报名表是女生的概率q。解：(1)设={考生的报名表是第i个地区的}，i=1,2,3,B={取到的报名表是女生的}，由全概率公式知：

p=P(B)=P()P(B|)+P()P(B|)+P()P(B|)

=

（2）设C={先取的那份报名表是女生的},D={后取到的报名表是男生的},则q=P(C|D)==

其中P(CD)=P()P(CD|)+P()P(CD|)+P()P(CD|)

=

P(D)=P()P(D|)+P()P(D|)+P()P(D|)=

所以可计算得q=14.设第一只盒子中装有3只篮球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只篮球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。求至少有一只篮球的概率；（2）求有一只篮球一只白球的概率；（3）已知至少有一只篮球，求有一只篮球一只白球的概率。解：设分别表示在第一只盒子中取到篮球、绿球、白球；分别表示在第二只盒子中取到的篮球、绿球、白球。（1）（2）15.如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在Ｃ发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每一个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。要点：独立“积的概=概的积”解：设Ai=“在情况C发生时，第i只开关闭合”，i=1，2，3，…，n。当n=2时，系统的可靠性为也可以设n只开关并联，可保证系统的可靠性至少为0.9999，则即故至少需要3只开关并联，才能使系统的可靠性至少为0.9999。16.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率的概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。（提示：先求出击不沉的概率。）解：设A=“释放4枚炸弹，击沉潜水艇”，B=“释放4枚炸弹，均未击中潜水艇”，C=“释放4枚炸弹，恰有一枚击伤潜水艇”，则由独立性有随机变量及其分布填空题1.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大码，则随机变量X的分布律为。2.设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，则X的分布律为。解：P{X=1}=C12·C213/C315=1235，P{X=2}=C22·C13/C315=135分布律图形如图2-1所示。X012pk22/3512/351/353.设随机变量X的分布律为，k=0，1，2，…；λ>0为常数，则常数=。4.设，且，则__________，__________。解：4.设随机变量Y在区间[1，6]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为0.8。解：方程有实根当且仅当Δ≥0，即|Y|≥2,则P(|Y|≥2)==0.85.设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率为。解：P(X＞3)==,则所求概率即为6.设X～，对X的三次独立重复观察中，事件{X≤0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y=2}=9/64。解：P{X≤0.5}=0.25,Y服从B(3,0.25)分布,则P{Y=2}==7.设，若，则19/27。解：，则，则而，，，所以.8.设随机变量的概率密度为则__________，的分布函数__________。解：所以.9.设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，设Ф（x）为标准正态分布函数，已知Ф（2.5）=0.9938,则X落在区间（9.95,10.05）内的概率为0.9876。10.设随机变量Xf(x)=,-∞＜x＜+∞,则X。解：当x＜0时，F(x)=

当x≥0时，F(x)=11.设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,则其分布函数F(x)=。12.设X的分布函数,则A=1,P|X|＜=1/2。解：为连续函数，.13.设X的分布函数，则X的概率分布列为。14.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2,则E(Z)=4。15.设X～N(2,）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=0.2。解：

即,则16.设随机变量X服从参数为1的指数分布,则4/3。17.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则=18.4。解：X～B(10,0.4）,则18.设随机变量X的概率密度为，则（1）=2；（2）=1/3。19.设服从泊松分布.（1）若，则__________；（2）若，则__________。解：（1），（2）所以20.设，且，则__________。解：，所以21.设，且，则______；______。解：22.设一次试验成功的概率为，现进行100次独立重复试验，当________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________。解：，有最大值为5.23.设服从参数为的指数分布，且，则_______。解：.，24.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，标准差为________。解：设表示所取产品的次品数，则.，25.设随机变量的概率密度为且，则__________，___________.解：①②解（1）（2）联立方程有：.计算题1.一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿信号显示的时间相等，求此汽车首次遇到红灯前已通过的路口数X的概率分布。解：设={第个路口遇到红灯}，=1,2,3,则P()=0.5,X的所有取值为0,1,2,3,其概率分布如下：P(X=0)=P()=0.5P(X=1)==0.25P(X=2)==0.125P(X=3)==0.1252.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻恰有2个设备被使用的概率是多少？至少有3个设备被使用的概率是多少？至多有3个设备被使用的概率是多少？至少有1个设备被使用的概率是多少？解：设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且每次试验相互独立。于是X～b(5,0.1),分布律为P{X=k}=C5k(0.1)k(0.9)P{X=2}=C52·0.12·（1-0.1）P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=C53∙0.13P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=1-CP{X≥1}=1-P{X<1=1-C53.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：设A发生的次数为X，则X~b(n,0.3)，设B为指示灯发出信号。（1）n=5，则P(B)=P{X≥3}=k=3或P(B)=1-k=02（2）n=7，则P(B)=k=37P{X=k}或P(B)=1-k=02P{X=k}4.设随机变量X的密度函数为试求（1）X的分布函数；（2）。解：当时，；当时，；当时，；当时，所以可的X的分布函数为（2）5.设随机变量X的密度函数为试求（1）系数A；（2）X落在区间（0，/4）的概率。解：（1）因为所以（2）所求概率6.设随机变量X的分布函数为试求（1）系数A；（2）X落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）X的密度函数。解：（1）由的连续性，有，由此得（2）（3）X的密度函数为7.对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解：设X表示考生的外语成绩，且X～N(72,),则P(X＞96)=1-P(X≤96)=1-()=0.023,即()=0.977,查表得=2，则=12，即且X～N(72,144)，

故P(60≤X≤84)=P(-1≤≤1)=2(1)-1=0.6828.设测量误差X～N(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用Possion分布求其近似值（精确到0.01）。解：由于X～N(0，100)，则P(|X|＞19.6)=1-P(|X|≤19.6)=2[1-(1.96)]=0.05且显然Y～B(100,0.05),

故P(Y≥3)=1-P(Y≤2)=1-

设=np=100×0.05=5，且YP(5),则

P(Y≥3)=1-P(Y≤2)=1-=0.87059.设X~N(3,22)，(1)求Ｐ{2<X≤5}，P{－4<X≤10}，P{丨X丨>2},P{X>3};（2）确定c使得P{X>c}=P{X≤c},(3)设d满足P{X>d}≥0.9，问d至多为多少？要点：本题及接下来的四道题要查表计算：一般正态化为标准正态，再查标准正态表，其理论根据：若X~N(,2),则～Ｎ（０，１），例如，Ｘ～Ｎ（，2）,求P{x1<X≤x2}=?核心技术：让x1，X，ｘ2三方“同跳标准舞”，P{x1<X≤x2}=P{<≤}=（）－。反之，若这个知识点不透，后面的学习将会在黑暗中摸索，因为在统计部分仍将反复使用这个知识点。可省去过程，直接使用公式：P{x1<X≤x2}=（）－由于的图像关于远点对称，口诀：解：（１）P{2<X≤5}＝＝0.5328P{－4<X≤10}==P{丨X丨>2}=1－P{-2≤X≤2}=1－Φ(2-32)+Φ(-2-32)=1－Φ(－12)+Φ=1+Φ(12)－Φ(5P{X>3}=1－P{X≤3}=1－Φ(3-32)=1－12（2）由P{X>c}=P{X≤c}得：P{X≤c}=12，P{X≤c}=Φ(（3）P{X>d}=1－P{X≤d}=1－P{X-32≤d-32}=1－Φ(ｄ-３２)≥⇒10.设随机变量X的概率密度函数为对独立重复观察4次，表示观察值大于的次数，求的数学期望。解：因为随机变量的概率密度函数为所以，。因此。于是便可得11.设随机变量X的概率密度函数为试求。解：所以，于是得。12.设随机变量X的概率密度=，x≥0，求Y=的概率密度。解：因为的取值范围是，且是严增函数，其反函数为，及，所以的密度函数为13．设随机变量，求的分布。解：因为的取值范围是，所以当时的密度函数为。而当时，的分布函数为，上式两边关于求导得，当时的密度函数为所以的密度函数为14.设随机变量X服从，求随机变量的密度函数。解：的密度函数为由于在内取值，所以的取值范围是。在的取值范围之外有。而当时，的分布函数为上式两边关于求导得所以的密度函数为15.设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。解当时，，则当或时，或当时，则概率密度为应用题1.有一大批产品，其验收方案如下。先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10％，求这批产品经第一次检验就能接受的概率。需做第二次检验的概率。这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。这批产品被接受的概率。 解：设X=“第一次检验的次品数”，Y=“第二次检验的次品数”，p=10％=0.1，则X~b(10,0.1),Y~b(5,0.1)P{X=0}=C1000.10P{1≤X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=i=12CP{Y=0}=C500.10P{Y=0,1≤X≤2}=P{Y=0}P{1≤X≤2}两事件相互独立=0.59×0.581≈0.343P（{X=0}∪{Y=0,1≤X≤2}）=0.349+0.343=0.6922.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。某人随机的去猜，问他试验成功一次的概率是多少？某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）。要点：本题第（2）问为后面第八章假设检验作伏笔。解：（1）为古典概型问题，基本事件总数为C84，则成功一次的概率为1/C（2）设成功次数为X，则X~b(10,170)，所以P{X=3}=C103(1因为仅凭猜测，能成功3次的概率特别小，可认为他确有区分的能力。3.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的改短时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算。）解：1000辆汽车中在一天的某段时间内发生事故的次数X服从二项分布b(1000,0.0001),所求概率为P{X≥2}=k=2=1－k=0=1－(0.9999)计算较麻烦，如果用泊松定理计算，将大大化简计算。即Cnkp其中λ≈np=1000×0.0001=0.1，于是P{X≥2}=1－P{X<2}=1－P{X=0}－P{X=1}≈1－e=1－e-0.14.某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N（110，122），在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X；（1）求P{X≤105}，P{100<X≤120}；（2）确定最小的x，使P{X>x}解（1）X~N(110,P{X≤105}=Φ(105-11012)=Φ(－0.417)=1－ΦP{100<X≤120}=Φ(120-11012)－Φ(100-11012)=Φ=2Φ(0.83)－1=0.5934（2）要使P{X>x}≤0.05，只须1－P{X≤x}≤0.05，即P{X≤x}≤亦即Φ(x-11012)≥0.95，故x-1105.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为fXx=要点：5次⇒5重⇒Y~b(n,p)=b(5,p)，p由X的分布求。解：Y~b(5,p)p=P{X>10}=Y的分布律为P{Y=k}=C5P{Y≥1}=1－P{Y<1}=1－P{Y=0}=1－(1-6.由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。解：记螺栓的长度为X，则螺栓为不合格品的概率为3.一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ的正态分布，若要求P{120<X≤200}≥0.80，允许σ解：X~N(160,P{120<X≤200}=Φ200-160σ-Φ(得Φ40σ≥0.90，查表知，Φ(1.28)=0.90，即Φ400σ所以σ最大为31.25。7.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是(x)=1-e-0.4xP{至多3分钟}；（2）P{至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间；（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}。要点：由此题可体会由分布函数计算概率的简洁！解：（1）P{X≤3}=FX(3)=1－e-0.4×3=1－e-1.2P{X≥4}=1－P{X<4}=1－FX(4)=eP{3≤X≤4}=P{X≤4}－P{X<3=FX(4)－FX(3)=1－e-0.4×4P{X≤3}+P{X≥4}=1－e-0.4×3P{X=2.5}=08.某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，公司损失0.5（千元）。问公司应该组织多少货源，可以使平均收益最大？解：设公司组织该货源吨，则应有。又记Y为在吨货源条件下的收益额（单位：千元），则收益额Y为需求量的函数，有所以这是的二次函数。当=450吨时，达到最大。故公司应该组织货源450吨。-9.某新产品在未来市场上的占有率是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密度函数为试求平均市场占有率。解：求平均市场占有率即是去求，有第三章多维随机变量及其分布一、填空题1.设X的分布律为且X与Y独立同分布，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为（）。

[答案：]2.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=,求边缘密度，。解：

=3．设X～N(-3，1），Y～N(2,1),且X与Y相互独立，若Z=X-2Y+7，则Z服从的分布是（）。

[答案填：N(0,5）]4.设D是由曲线xy=1与直线y=0,x=1,x=围成的平面区域,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘分布在x=2处的值为()。

[答案填：]

由，设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则：

当(x,y)∈D时，f(x,y)=；当(x,y)∈时，f(x,y)=0.

∴当1≤x≤时，显然在x=2处的值为.5.设随机变量相互独立且都服从区间上的均匀分布，则__________.解：1xy1xy016.设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N(0,),则E|X-Y|=().

[答案填：]

令U=X-Y,则U～N(0,1),从而

E|X-Y|=E|U|=

=7.设是两个随机变量，且，则__________.解：.8.设，则__________.解：，，常数9.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4，而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有（）。

[答案填：]事实上，

10.设是两个随机变量，且，则__________.解：.11.设，则__________.解：，，常数计算题1.设某班车起点站上客人数X服从参数为（＞0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率p(0＜p＜1),且中途下车与否相互独立。已Y表示在中途下车的人数,求：

（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率;

（2）二维随机向量(X,Y)的概率分布.解：（1）P{Y=m|X=n}=,m=0,1,2,…n.

（2）P{X=n,Y=m}=,m=0,1,2,…n;n=0,1,2,…2.设随机变量,求的联合分布列.解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=(|Y|≥2)=2-2Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=2[Φ(2)-Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0，P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.68263.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=,求边缘密度，。解：

=4.，试求：（1）常数A；（2）P(X<2,Y<1);（3)P{(X,Y)ÎD},其中D为2x+3y≤6.解：（1）=A/6，所以（2）P{X<2,Y<1}（3）5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为，(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解：（1），即，由此得（2）6.设二维随机变(X,Y)量具有概率密度，(1)确定常数C；(2)求概率P(X>Y)。解：（1），由此得。（2）积分区域为，所以7.设随机变量（X,Y）的概率密度为（1）确定常数k；（2）求（3）求（4）求.。要点：1°确定常数，启动；2°用重要公式：；3°复习二重积分计算。解：（1）由可知（2）（3）（4）8.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为，其中A，B，C为常数，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)(1)试确定A，B，C；(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X>2)解：由联合分布函数性质2可知：，，解得，，。故（2），，（3）由X的分布函数可得：9.设二维随机变量，求边缘密度函数fX(x)和fY(y)解：当0<x<1时,，当x≤0或x≥1时，fX(x)=0，所以；当0<y<1时,，当y≤0或y≥1时，fY(y)=0，所以10.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为，求边缘概率密度。解：由知：当时，；当时，由于。，当时，；当时，。于是，边缘概率密度为，11.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为，（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度。解：（1）由（2）当时，即时，当时，当时，；其余，故X,Y的边缘概率密度为12．设解：，得（2）于是(X,Y)关于X的边缘概率密度为于是(X,Y)关于Y的边缘概率密度为13.某电子仪器由两个部件构成，其寿命（单位：千小时）X与Y的联合分布函数为

问：（1）X与Y是否独立？（2）两部件的寿命都超过100小时的概率。解：（1）

则恒有，从而X与Y独立。

（2）15.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为，求随机变量Z=X＋Y的概率密度。解：X与Y相互独立，Z=X+Y的概率密度为，知，故16.设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.1D011D01zxyx+y=1x+y=zD1（2）利用公式其中当或时xzz=xxzz=x故的概率密度为的分布函数为17.随机变量X与Y相互独立，X～N(1,2),Y～N(0,1),求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数。解：由于随机变量X与Y独立，X～N(1,2),Y～N(0,1),则X与Y的线性函数Z=2X-Y+3业服从正态分布，且E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5,D(Z)=4D(X)+D(Y)=9,即Z～N(5,9)

则：18.设随机变量X与Y相互独立且X～N(,),Y～U[-,}求Z=X+Y的概率密度函数。（计算结果用标准正态分布函数表示）。解：由卷积公式可知

（令）

19.设随机变量（X,Y）的概率密度为（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度（3）求函数的分布函数。解：（1）因为，即由此得得（2）y>0时,即（3）由（1）、（2）不难验证：，知X,Y相互独立。于是20.设随机变量（X,Y）具有概率密度求。解：，21.设随机变量具有概率密度求。解：，，同理故22.设的概率密度为，求要点：，分别令即可。解：，23.将n只球随机地放进n只盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X)。解：引进随机变量则，其中分布，，从而24.设与在圆域上服从联合均匀分布，

（1）求与的相关系数；（2）问与是否独立？解：（1）由与服从圆域上的联合均匀分布，即

可知关于各自的边缘概率密度函数为：

且（奇函数对称区间上的积分为0

因而

且，即与的相关系数为0。

（2）由

及

可知，即与不独立。25.已知三个随机变量X,Y,Z中，,求。要点：条件没说X,Y,Z相互独立，因而在算。解：应用题1.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机。求：两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、期望值与方差。解：设{第台自动记录仪无故障的工作时间}，，与独立同分布，且，即，

当时，

当时，

即为两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度。

2.设一商店经销某种商品，每周的进货量与顾客对该商品的需求量是两个相互独立的随机变量，均服从区间上的均匀分布，此商店每售出一个单位的商品，可获利1000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望。解：设一商店经销某种商品的每周所获利润为元，据题意可知：

当时，

当时，

即

且

所以此商店经销这种商品每周获利的期望是14167元。3.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（以公斤计）服从(50，2.5)，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。解：每袋重量X~，设最多装n袋，则总重量Y＝，，故最多装39袋，（本题要点：反查的表。）证明题1.设X，Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明：Z=X+Y服从参数为的泊松分布。证明：由题设知由上一题结论可知二项式定理：即Z=X+Y服从参数为的泊松分布。2.设X,X,…,X是相互独立的随机变量。且有E(X)＝μ，D(X)＝σ,i＝1,2,…,n.。记＝，S＝验证E()＝μ,D()＝；验证S＝;验证E(S)＝σ。要点：此题为第六章及以后知识作准备，是核心推导之一。证明：利用数学期望和方差的性质及定义。（1）E()＝E＝＝＝μD()＝D＝＝＝(2)S＝＝＝＝＝＝（3）E(S)＝＝＝＝＝3.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为试验证：X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。要点：不相关；不独立（非“几乎处处”）证明：即同理经验证有，故X与Y不是相互独立的，这是一方面。另一方面（奇函数在对称区间积分为零）同理从而即4.设服从二维正态分布，且有证明当时，随机变量相互独立。证明：服从二维正态分布X,Y的线性组合W,V也服从正态分布==由已知二维正态随机变量相互独立的充要条件是：。故当时，随机变量W与V相互独立。第四章大数定律及中心极限定理一填空题1.掷一颗骰子100次，记第次掷出的点数为，点数之平均为，则概率=。2.汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的。则一年中售出700辆以上汽车的概率为。3．一仪器同时收到50个信号设它们相互独立，且都服从（0，1）内的均匀分布，则=。二计算题1.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分