第4章-性能分析方法-时域分析课件

第4章分析自动控制系统性能常用的方法4.1时域分析法通常是用控制系统的响应来分析系统的性能。控制系统的响应是由系统本身的结构参数、初始状态和输入信号的形式所决定的。1)对初始状态可以作统一的规定，如规定为零初始状态。2）如再将输入信号规定为统一的典型形式，3)则系统的响应将由系统本身的结构、

参数来确定，

因而更便于对各种系统进行比较和研究。

时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。时域分析法的特点：1).直观、精确。2).比较烦琐。

1、典型输入信号

用于时域分析的典型输入信号有阶跃函数、

斜坡函数和抛物线函数等。(1)单位阶跃函数1(t)

(2)单位斜坡函数t·1(t)（等速度函数）

(3)单位抛物线函数（加速度函数）

(5)正弦函数sinωt(4)单位脉冲函数tr(t)实际应用究竟采用哪一种典型信号输入，取决于系统常见的工作状态，同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号例如：

阶跃函数-----室温调节系统和水位调节系统以及工作状态突然改变或突然受恒定输入的控制系统；斜坡函数-----跟踪通信卫星的天线控制系统以及输入信号随时间逐渐变化的系统；加速度函数----宇宙飞船控制系统；脉冲函数---输入信号为冲击输入量；正弦函数----系统的输入作用具有周期性变化。如果输入信号是变化无常的随机信号，如定位雷达天线控制系统，则要用随机过程理论分析在典型输入信号作用下，

任何一个控制系统的时间响应都可看成由动态过程和稳态过程两部分组成。

（1）、动态过程动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下，

输出量从初始状态到最终状态的响应过程。

（2）、稳态过程稳态过程是指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，输出量的表现形式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，

提供系统有关稳态误差的信息。稳态过程用稳态性能描述。

2、动态过程与稳态过程3、性能指标（动态性能与稳态性能）稳：(基本要求)系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置准：(稳态要求)稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小快：(动态要求)

过渡过程要平稳，迅速稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时，

研究系统的动态性能才有意义。

（1）动态性能通常，在阶跃函数作用下测定或计算控制系统的动态性能。一般认为，阶跃输入对控制系统来说是最严峻的工作状态。

如果控制系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么控制系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。

描述稳定的控制系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化情况的指标，称为动态性能指标。

2）峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。1）上升时间tr：指响应从终值10％上升到终值90％所需的时间；对于有振荡的系统，为了计算的方便，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。3）调节时间ts：

指响应到达并保持在终值±5%或±2%内所需的最短时间。反映系统的快速性

4）超调量σ%：

指响应的最大峰值c(tp)与终值c(∞)的差与终值c(∞)比的百分数，即若c(tp)<c(∞)，则响应无超调。超调量亦称为最大超调量，或百分比超调量。

超调量反映系统的稳定性（2）稳态性能稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。

若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。

稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

4.1.1一阶系统的时域分析开环传递函数

闭环传递函数:

能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型形式是一阶惯性环节。

1、一阶系统的单位阶跃响应1)一阶惯性系统总是稳定的，无振荡；2)经过时间T，曲线上升到0.632的高度，反过来，用实验的方法测出响应曲线达到0.632高度点所用的时间，即是惯性环节的时间常数T；T越小，响应越快。

3)经过时间3T～4T，响应曲线已达稳态值的95%～98％，可以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间ts=(3～4)T；4)在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。

2、一阶系统的单位斜坡响应

c(t)=t-T+Te-t/T

t≥0

拉氏反变换稳态误差为：e(t)=r(t)-c(t)=t-［t-T+T］=T(1-e-t/T)

当时间t→∞时，e(∞)=T,故当输入为单位斜坡函数时，一阶惯性环节的稳态误差为T。显然，时间常数T越小，该环节稳态误差越小。

r(t)=t

3、当输入为加速度函数：说明一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。例1：下图单位负反馈系统的开环传递函数，求：1）闭环传递函数；2）系统的单位阶跃响应和稳态值。单位阶跃响应：闭环传递函数：稳态值：例2:已知某单位负反馈系统的单位阶跃响应为求(1).单位脉冲响应k(t);(2).闭环传递函数；(3).开环传递函数G(s)。解：4.1.2二阶系统的时域分析

用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，从物理上讲，二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从而引起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性，这样的二阶系统也称为二阶振荡环节

1、二阶系统的典型传递函数若令

(称为系统特征方程),则两个特征根（也称极点）为当ζ取值不同时，两个特征根的类型也不一样。

2、分类1）零阻尼

反拉氏变换故c(t)为等幅自由振荡(又称为无阻尼振荡)。其振荡频率为ωn，ωn称为无阻尼自然振荡频率。其响应曲线如图所示，系统为无阻尼等幅振荡。该种情况实际系统不能用。

ξ=0：当时，称为欠阻尼。此时，由式中：

称为阻尼振荡频率

2)欠阻尼该二阶系统的极点一定是一对共扼复根，其传递函数可表示为：当r(t)=1(t)时，有：对上式进行拉氏反变换，得

当0<ζ<1时，二阶系统的单位阶跃响应是以ωd为角频率的衰减振荡过程，其响应曲线如图所示，由图可见，随着ζ的减小，其振荡幅度值加大。实际工程中的控制系统，大多数都是衰减振荡过程。

二阶振荡环节单位阶跃响应曲线1当ζ=1时，称为临界阻尼。此时，二阶系统的极点是两个重根，其传递函数可表示为当r(t)=1(t)时，有3)临界阻尼则有对上式进行拉氏反变换，得

其响应曲线如图所示，由图可见，系统没有超调。临界阻尼情况工程上不常用。

临界阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线当ζ>1时，称为过阻尼。此时，二阶系统的极点是两个负实根，其传递函数可表示为当r(t)=1(t)时，有4)过阻尼则对上式进行拉氏反变换，得过阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线振荡环节的单位阶跃响应，随着阻尼比ζ的不同，表现出不同的动态响应过程，从图中不难发现，二阶振荡环节的单位阶跃响应曲线c(t)的振荡过程剧烈程度随阻尼比ζ值的变化而变化，ζ值越小，振荡越强烈。对于欠阻尼系统，为了提高系统的相对稳定性，可以

增加系统的阻尼比1）当ζ=0时，响应c(t)为等幅振荡过程；2）当0<ζ<1时，响应c(t)为衰减振荡过程，它是过程控制中常常采用的形式；3）当ζ≥1时，响应c(t)为单调（非振荡）上升过程，当对被控变量要求超调量为零时，采用此过渡过程形式,其中,ζ=1时是临界振荡过程。

二阶系统阶跃响应曲线:在欠阻尼的状态下,当0.4＜ζ＜0.8时,过渡过程时间比临界阻尼时更短,而且振荡也不严重。因此在控制工程中,除了那些不允许产生超调和振荡的情况外,通常都希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态。二阶系统当阻尼ζ>1时，其极点为两个负实数，利用部分分式展开，可将传递函数分解成两个一阶惯性环节的叠加。因此，研究二阶系统最重要的是研究0<ζ<1，即欠阻尼的情况，该种情况也是实际控制系统中最常用的。3、指标计算:

1）峰值时间由

得：

由于下面推导欠阻尼情况下，二阶系统各项性能指标的计算公式。该式表明峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，或者说峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比，当阻尼比一定时，闭环极点离负实轴的距离越远，系统的峰值时间越短2）超调量

表：不同阻尼比时的最大超调量由上升时间tr的定义知，对于有振荡的系统，tr为c(t)响应从零第一次上升到终值所需的时间。将c(tr)=1代入上式得3)求上升时间tr因为

所以4)求调节时间ts则曲线为其包络线，如图所示。二阶系统单位阶跃响应包络线按进入5%误差带计算，有

则当ζ较小时，有经过调节时间ts后，欠阻尼的二阶系统进入±5%的误差范围。同理可得，欲使欠阻尼的二阶系统进入±2%的误差范围，则变化时动态性能的变化规律：

【例3】

某二阶系统如图所示,其中系统的结构参数ζ=0.6,ωn=5rad/s。输入信号为阶跃函数,求性能指标tr、tp、ts、σp的数值。

解根据给定的参数可以得出所以4.4稳定性分析1、系统的稳定性(Stability)：

是指自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后，经过调节，能重新达到平衡状态的性能。稳定系统和不稳定系统2、不稳定的物理原因

系统存在惯性或延迟环节

闭环极点全部落在复平面虚轴左边。即系统特征方程的所有根的实部必须是负数。3、系统稳定的充要条件特征方程：例4：分析稳定性Matlab程序1：Gp=tf([1],[120]);G=feedback(Gp,1);eig(G)或Matlab程序1：den=[121];roots(den)Matla