2023年北京二中教育集团中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京二中教育集团中考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中GDP总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为(

)A.4.16×104 B.41.6×104 C.2.有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足b<−a，则b的值可能是(

)A.2 B.−2 C.0 D.−33.下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.4.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为(

)A.45° B.60° C.72° D.90°5.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+1=0根的情况是(

)A.无实根 B.有实根 C.有两个不相等实根 D.有两个相等实根6.为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是(

)

A.S甲2<S乙2，x甲−=x乙− B.S7.如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图不可能是(

)A.

B.

C.

D.

8.已知在正方形ABCD中，P是对角线BD上一个动点，过P作CD、AD的平行线分别交正方形ABCD的边于E、F和M、N，若BP=x，图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是(

)A.

B.

C.

D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共16分）9.方程3−x4+2x=0的解是______．10.分解因式：4x2−8x+4=

11.已知点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在一次函数y=−2x+1的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1______y2(12.如图(示意图)所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为2.4m，测得AB=1.8m，BC=13.2m，则建筑物CD的高为______m.

13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积为______．

14.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为______．

15.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2，3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.小林赢的概率是______．16.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为______．题号

学生12345678得分甲╳√╳√╳╳√╳30乙╳╳√√√╳╳√25丙√╳╳╳√√√╳25丁╳√╳√√╳√√m三、解答题（本大题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题5.0分)

计算：3tan30°−(14)18.(本小题5.0分)

解不等式组：2x−6<3xx−2+x−1319.(本小题5.0分)

已知3x2−x−1=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−2x(1−x)20.(本小题5.0分)

同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．

已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=12AB．

法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD．

法二：如图2，延长BC到D，使得BC=CD，连接AD．

你选择方法______

证明：21.(本小题6.0分)

如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，BC//AD，AD=EO．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)连接DE，若AC=4，∠BCD=120°，求DE的值．22.(本小题5.0分)

在平面直角坐标系xOy中，直线y1=−2x+1与反比例函数y2=kx(k≠0)图象的一个交点为点M．

(1)当点M的坐标为(2,m)时，求k的值；

(2)当x<−1时，对于x23.(本小题6.0分)

第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市.北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛.该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：成绩(分)x≤4545.54646.54747.54848.54949.550人数(人)2102111414注：成绩只能为0.5的整数倍．

b.将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下(数据分组：x≤45，45<x≤46，46<x≤47，47<x≤48，48<x≤49，49<x≤50)：

c.两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数第一次46.7546.75第二次48.50m根据以上信息，回答下列问题：

(1)请补全折线统计图，并标明数据；

(2)请完善c中的统计表，m的值是______；

(3)若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有______名学生成绩达到优秀；

(4)通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在45<x≤46这一组”.请你判断小明的说法______(填“正确”或“错误”)，你的理由是______．24.(本小题5.0分)

如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)已知人梯BC=3.15米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功(接触到人梯则代表表演成功)？请说明理由．25.(本小题6.0分)

如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点.CD为⊙O切线，D为切点，OE⊥BD于点H，交CD于点E．

(1)求证：∠BDC=∠BOE；

(2)若sinC=13，AD=4，求EH26.(本小题6.0分)

在平面直角坐标系xOy中，A(−3,y1)，B(a2,y2)，C(m,y3)在抛物线y=−x2+2ax+c(a>0)上．

(1)抛物线的对称轴为直线x=______，直接写出y1和y2的大小关系y1______y2；

(2)27.(本小题7.0分)

在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠BAC=∠BDC=α，将射线AD绕点A顺时针旋转α，与BD相交于点E．

(1)如图1，探究∠AEB和∠ADC的数量关系并证明；

(2)如图2，当α=90°时，过点E作EG//AD交BC于点G，射线AD与射线BC相交于点F.请补全图形，写出FG与AB的数量关系，并证明．

28.(本小题7.0分)

在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k≠0)在x轴及其上方的部分记为射线l.对于定点A(23,0)和直线y=kx(k≠0)，给出如下定义：同时将射线AO和直线y=kx分别绕点A和原点O顺时针旋转α(0°<α<180°)得到l1和l2，l1与l2的交点为点P，我们称点P为射线l的“k−α”双旋点.如图，点P为y=2x的“2−30°”双旋点．

(1)若k=−3

①在给定的平面直角坐标系xOy中，画出“k−90°”的双旋点P1；

②直接写出α=30°的双旋点P2的坐标______；

③点P1(1,1)、P2(3,3)、P3(0,2)是y=kx的“−3−α”双旋点的是______；

(2)直线y=−2x+4分别交x轴、y轴于点M、N，若存在α，使直线y=kx答案和解析1.【答案】A

解：41600=4.16×104．

故选：A．

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a2.【答案】D

解：∵表示数a的点在数轴上位于2和3之间，

∴表示数−a的点在数轴上位于−2和−3之间，

又∵b<−a，

∴表示数b的点位于表示数−a的点的左侧，

所以b的值可能是3．

故选：D．

先判断出表示−a的点的位置，再根据b<−a判断出表示b的大致位置判断选项即可．

本题考查数轴，相反数的概念，以及实数大小比较等知识，熟悉利用数轴比较实数的大小的方法是解题的关键．

3.【答案】C

解：A.由图可知，A中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么A不符合题意．

B.由图可知，B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么B不符合题意．

C.由图可知，C中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，那么C符合题意．

D.由图可知，D中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么D不符合题意．

故选：C．

根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题．

本题主要考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．

根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．

【解答】

解：∵正多边形的内角和是540°，

∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，

∵多边形的外角和都是360°，

∴多边形的每个外角=360°÷5=72°．

故选：C5.【答案】C

解：∵x2−(k+3)x+2k+1=0，

∴Δ=b2−4ac=[−(k+3)]2−4×1×(2k+1)

=k2+6k+9−8k−4

=k2−2k+5

=(k−1)2+4，

∵(k−1)2≥0，

∴Δ=(k−1)2+4≥4>0，

∴方程有两个不相等的实根．

故选：C．

6.【答案】D

解：由题意可知，x−甲=15×(60+70+70+60+80)=68，x−乙=15×(70+80+80+70+90)=78，

∴x−7.【答案】B

解：沿后面下面剪开可得C选项的平面展开图，沿后面右面剪开可得A选项的平面展开图，沿下面右面剪开可得D选项的平面展开图．

所以平面展开图不可能是B选项的平面展开图．

故选：B．

根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意分两种情况剪开．

本题考查了正方体的表面展开图．正方体共有11种表面展开图，注意分情况讨论．

8.【答案】D

解：设正方形ABCD的边长为a，

∵四边形ABCD为正方形，MP//BF，MB//BF，

∴四边形MBFP为正方形，

∵BP=x，

∴BF=BM=22x，

∴AM=CF=a−22x，

∴S阴影部分=22x(a−22x)×2=−22x2+29.【答案】x=3

解：3−x4+2x=0，

3−x=0，

解得：x=3，

检验：当x=3时，4+2x≠0，

∴x=3是原方程的解．

故答案为：x=3．

按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．

10.【答案】4(x−1)【解析】【分析】

先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

【解答】

解：4x2−8x+4=4(x2−2x+1)=4(x−111.【答案】>

解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，

∴y随着x的增大而减小．

∵A(m−1,y1)，B(m,y2)是一次函数y=−2x+1的图象上的两个点，m−1<m，

∴y1>y2．12.【答案】20

解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，

∴EB//DC，

∴△ABE∽△ACD，

∴ABAC=BECD，

∵BE=2.4m，AB=1.8m，BC=13.2m，

∴AC=AB+BC=15m，

∴1.815=2.4DC，

解得：DC=20，

即建筑物CD的高是20m，

故答案为：13.【答案】2

解：由作法得AG平分∠BAC，

过G点作GH⊥AC于H，如图，

∵GB⊥AB，GH⊥AC，

∴GH=GB=1，

∴S△ACG=12⋅AC⋅GH=12×1×4=2．

故答案为：2．

根据基本作图可判断AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于14.【答案】2解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，

∵CH=22+22=22，BH=2，BC=12+32=10，

∴CH215.【答案】49解：由题意画出树状图如下：

所有可能情况如下：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)．

标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，

标号之和为奇数的概率是：49，

即小林赢的概率是49．

故答案为：49．

根据题意画出树状图得出所有等情况数，)根据概率公式先求出标号之和为奇数的概率即可，

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率=16.【答案】30

解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是25分，所以第2，5两题答案正确；

又因为甲得分30分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是×××√√×√×；

对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分m=6×5=30，

故答案为：30．

由乙丙的答案和得分得出第2，5两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余6题答案均正确；由正确答案求出丁的得分，可得m值．

本题考查了推理与论证，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，以乙、丙得分一样为突破口，属于中档题．

17.【答案】解：原式=3×33−4−23+【解析】先代入特殊角的函数值，计算负整数指数幂化简二次根式，再算乘法，最后算加减．

本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．

18.【答案】解：解不等式2x−6<3x，得x>−6，

解不等式x−2+x−13≤1，得x≤2.5，

故不等式组的解集为【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查了解一元一次不等式，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．

19.【答案】解：原式=4x2−9+2x2−2x

=6x2−2x−9，

∵3x2−x−1=0，

∴3x【解析】利用多项式乘多项式、多项式乘单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．

本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．

20.【答案】方法一或方法二

【解析】证明：选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD，

∴∠BCD=∠BDC，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠B=180°−90°−30°=60°，

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴BC=CD，

∴∠ACD=90°−60°=30°，

∴CD=AD，

∴BC=AD=BD，

∴BC=12AB；

选择方法二：延长BC到D，使得BC=CD，连接AD，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=180°−90°=90°=∠ACB，

在△ACB和△ACD中，

AC=AC∠ACB=∠ACDBC=DC，

∴△ACB≌△ACD(SAS)，

∴BC=DC，

∴BC=12AB．

故答案为：方法一或方法二．

选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD，根据等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可；

选择方法二：延长BC到D，使得BC=CD，连接AD，利用SAS证明21.【答案】(1)证明：∵四边形BECO是矩形，

∴BC=EO，∠BOC=90°，

∴AC⊥BD，

∵AD=EO，

∴AD=BC，

∵BC//AD，

∴四边形ABCD是菱形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，

∴∠ABC=180°−120°=60°，AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO，∠ABO=∠CBO，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=4，

∴BO=AB2−AO2=23，

∴BD=43，

∵四边形【解析】(1)根据矩形的性质得到BC=EO，∠BOC=90°，推出AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；

(2)根据菱形的性质得到∠ABC=180°−120°=60°，AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO，∠ABO=∠CBO，推出△ABC是等边三角形，得到AB=AC=4，根据勾股定理得到BO=23，求得BD=43，根据矩形的性质得到BE=CO=2，∠DBE=90°22.【答案】解：(1)将点M(2,m)代入y1=−2x+1，

得−4+1=m，

∴m=−3，

∴点M坐标为(2,−3)，

∴k=2×(−3)=−6；

(2)如图所示：

①当k>0时，当x<−1时，对于x的每一个值，都有y1>y2，

②当k<0时，x=−1时，−2×(−1)+1≥−k，

解得−3≤k<0，

综上所述，满足条件的k的取值范围是【解析】(1)将点M代入y1=−2x+1，求出m的值，再将点M坐标代入反比例函数解析式求k的值即可；

(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征，分情况讨论：①当k>0时，②当k<0时，分别求解即可．

23.【答案】49.5

384

错误

虽然45<x≤46这一组人数最多，但也可能出现在x≤45或49<x≤50这两组中

解：(1)成绩为46分的学生人数为：30−18−2−1−3−2=4，

补全折线统计图如图所示：

(2)根据统计表，第15个和第16个数据均为49.5，

∴m=49.5；

故答案为：49.5；

(3)480×30−2−430=384(名)，

答：本学期九年级约有384名学生成绩达到优秀；

故答案为：384；

(4)错误，理由：虽然45<x≤46这一组人数最多，但也可能出现在x≤45或49<x≤50这两组中．

故答案为：错误；虽然45<x≤46这一组人数最多，但也可能出现在x≤45或49<x≤50这两组中．

(1)计算长成绩为46分的学生人数，补全折线统计图即可；

(2)根据中位数的定义即可得到结论；

(3)求出成绩为46.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论；

(4)根据众数的定义即可得到结论．

本题考查了频数(率)24.【答案】解：(1)设该抛物线的解析式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，

将点A(0,1)代入y=a(x−3)2+5得：1=a(0−3)2+5，

解得：a=−49，

∴该抛物线的解析式为y=−49(x−3)2+5【解析】(1)由抛物线的顶点为(3,5)，可设该抛物线的解析式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，代入点A的坐标，可求出a值，进而可得出该抛物线的解析式；

(2)这次表演不能成功，代入x=5，求出y值，由该值>3.15，可得出这次表演不能成功．

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x=5时25.【答案】(1)证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∵CD为⊙O切线，

∴∠ODC=90°，

∴∠ADO=∠BDC，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∴∠BDC=∠A，

∵OE⊥BD，

∴OC//AD，

∴∠A=∠BOE，

∴∠BDC=∠BOE；

(2)解：∵∠CDO=90°，

∴sinC=ODOC=13，

设OD=x，OC=3x，

∵OE//AD，

∴△COE∽△CAD，

∴OEAD=OCCA，

∴OE4=3x4x，

∴OE=3，

∵OE⊥BD，

∴BH=DE，

∵BO=AO，

∴OH是△ABD的中位线，

∴OH=12AD=2，

∴EH=3−2=1；

∵∠ODE=∠OHD=90°，∠DOH=∠EOD，【解析】(1)连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠ODC=90°，求得∠ADO=∠BDC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO，求得∠BDC=∠A，根据平行线的性质即可得到结论；

(2)设OD=x，OC=3x，根据相似三角形的性质得到OE=3，根据三角形的中位线定理得到OH=12AD=2，求得EH=3−2=1；根据相似三角形的性质即可得到结论．26.【答案】a

<

12解：(1)∵抛物线的解析式为：y=−x2+2ax+c(a>0)，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线：x=−2a2×(−1)=a，

∴当x<a时，y随x的增大而增大，

∵−3<a2<a，

∴y1<y2；

故答案为：a，<；

(2)当m=4时，y1=y3，

∴抛物线的对称轴为直线：x=−3+42=12，

∴a=12，

故答案为：12；

②由题意可知，抛物线y=−x2+2ax+c开口向下，对称轴为直线x=a，

∴点A(−3,y1)关于对称轴的对称点A′(2a+3,y1)，C(m,y3)关于对称轴的对称点C′(2a−m,y3)27.【答案】解：(1)结论：∠AEB=∠ADC．

理由：由题意得：∠DAE=a，∠BDC=∠BAC=α，

∴∠AEB=∠EAD+∠ADE=∠ADE+a=∠ADE+CDB=∠ADC；

(2)图形如图所示．结论：GF=2AB．

理由：设AC交BD于点O.过点C作CT//BD交AF于点T．

∵∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAE=∠CAD，

∵∠BAO=∠ODC=90°，∠AOB=∠DOC，

∴∠ABE=∠ACD，

在△BAE和△CAD中，

∠BAE=∠CADAB=AC∠ABE=∠ACD，

∴△BAE≌△CAD(ASA)，

∴BE=CD，AE=AD，

∴∠ADE=∠AED=45°，

∵CT//BD，

∴∠ADB=∠DTC=45°，∠EBG=∠TCF，

∵∠BDC=90°，

∴∠CDT=∠CTD=45°，

∴CD=CT，

∵EG//AF，

∴∠BGE=∠CFT，

在△BEG和△CTF中，

∠EGB=∠TFC∠EBG=∠TCFBE=CT，

∴△BEG≌△CTF(AAS)，

∴BG=CF，

∴BC=GF，

【解析】(1)结论：∠AEB=∠ADC；利用三角形的外角的性质证明即可；

(2)结论：GF=2AB.证明△BAE≌△CAD(ASA)，推出BE=CD，AE=AD，再证明△BEG≌△CTF(AAS)，推出BC=GF，可得结论．

本题考查作图28.【答案】(0,2)

P2，P解：①如图所示，

②如图所示，

∵k=−3，

设y=−3x上在x轴上方的部分任意一点坐标为z(m,−3m)，则tan∠ZOy=33，

∴y=−3x与y轴的夹角为30°，

∴A(23,0)，∠OAP2=α=30°，