现代信号处理-同态处理分析课件

PARTIII同态信号处理

HomomorphicSignalProsessing第五章同态信号处理5.2乘法同态系统5.4复倒谱5.5复倒谱的计算5.1同态系统的基本概念5.3卷积同态系统5.0引言5.0引言加性组合信号1(频域可分离)r(n)x(n)信号1y(n)信号25.0引言加性组合信号(MMSE分离)r(n)x(n)信号y(n)噪声5.0引言非线性组合信号r(n)x(n)信号1y(n)信号2r(n)x(n)信号

y(n)乘法卷积5.1同态系统的基本概念1.线性系统叠加原理设x1(n)和x2(n)为系统的两个输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即叠加原理要求：满足叠加原理的系统称为线性系统。5.1同态系统的基本概念2.广义叠加原理将系统中的运算用符号抽象化系统的输入中：信号间的运算用*表示

(加、乘、卷积等)常数与信号间的运算用△表示(乘、幂、开方等)5.1同态系统的基本概念系统的输出中：信号间的运算用〇表示

(加、乘、卷积等)常数与信号间的运算用

表示(乘、幂、开方等)用H表示系统变换，用C表示系统中的常数。5.1同态系统的基本概念定义:若在系统中下式成立 则称该系统满足广义叠加原理，并称该系统为同态系统(HomomorphicSystem)。说明：同态系统强调在某运算下同态。*〇

△5.1同态系统的基本概念3.同态系统的分类若*和〇均为加法，△和

均为乘法，则称该系统为加法同态系统，或线性系统。若*为乘法，〇也为乘法，则称该系统为乘法运算同态系统或乘法同态系统。若*为卷积，〇也为卷积，则称该系统为卷积运算同态系统或卷积同态系统。若*为乘法，〇为卷积，则称该系统为乘法和卷积运算同态系统。*〇△

5.1同态系统的基本概念3.同态系统的分类信号变换x2(n)能否构成乘法同态系统?信号变换3x

(n)能否构成乘法同态系统?5.1同态系统的基本概念4.同态系统的规范形式任何同态系统都可以表示成由三个子系统级联的形式：+和〇同态系统*和+同态系统+同态系统D*[•]L[•]D〇

-1[•]〇

*△++++××××5.1同态系统的基本概念5.同态系统的特征系统将信号之间的*运算转化成+运算的系统称为*运算的特征系统。将信号之间的+运算转化成〇运算的系统称为〇运算的特征系统的逆系统。D〇

-1[•]〇

+×D*[•]*△+×5.2乘法同态系统1.乘法同态系统的运算信号之间的运算：*≡〇≡乘法运算常数与信号之间的运算：△≡

≡指数运算5.2乘法同态系统2.乘法同态系统的规范形式设输入为，其中为常数，则D×[•]L[•]D×-1[•]×幂运算×幂运算++++××××5.2乘法同态系统3.特征系统D×[•]将信号间的乘法运算转换成加法运算；将常数与信号间的幂运算转换成乘法运算。

D×[•]是对数运算：

D×-1[•]是指数运算：5.2乘法同态系统4.规范形式的实现框图5.应用可表示成多个分量乘积的信号有：衰落信道的输出信号调幅波复对数线性系统复指数××++++5.2乘法同态系统同态滤波的作用：若要处理乘性混合信号，先对其进行分离，增强其中某个信号分量，同时压缩或削弱另一个信号分量。5.3卷积同态系统1.规范形式D*[•]将信号间的卷积运算转换成加法运算:D*-1[•]将加法运算转换成卷积运算:D*[•]L[•]D*-1[•]**++++5.3卷积同态系统2.特征系统D*[•]的实现先用Z变换将卷积组合信号变成乘法组合信号：再用复对数将乘法运算变为加法运算：Z[•]ln[•]Z-1[•]+*××++5.3卷积同态系统最后用逆Z变换将信号由Z域变换到时域：3.D*-1[•]的实现i)对信号进行Z变换，将信号由时域变换到Z域：Z[•]exp[•]Z-1[•]*++××+5.3卷积同态系统ii)用复指数运算将加法运算变为乘法运算：iii)用逆Z变换将信号由Z域变换到时域，且乘法变为卷积：5.4复倒谱1.定义称为信号x(n)的复倒谱(Cepstrum)。卷积同态系统的D*[•]将卷积运算组合的信号转换成它们的复倒谱之和。5.4复倒谱2.序列的复倒谱设x(n)的Z变换为 其中：为零点，为极点；的模均小于1；为单位圆内、外零点的数目；为单位圆内、外极点的数目。5.4复倒谱

计算

5.4复倒谱同理可得：计算同理可得：5.4复倒谱项:

先不考虑。lnA项:综上可得：5.4复倒谱3.序列复倒谱的性质i)为无限长序列，幅度按的速度衰减，能量主要集中在低时段。ii)若x(n)为最小相位序列，即零极点均在单位圆内，，则其复倒谱为因果序列。5.4复倒谱iii)若x(n)为最大相位序列，即零极点均在单位圆外，，则其复倒谱为反因果序列。iv)间隔Np的冲激序列的复倒谱仍为一个间隔为Np的冲激序列。v)实序列的复倒谱也是实序列。性质iv证明:性质iv证明(续):性质v证明若x(n)为实序列，则 其中为偶函数，为奇函数。 于是在中实部为偶对称，虚部为奇对称，即为共轭偶对称。因此也为实序列。5.4复倒谱4.复对数的定义复对数的多值性

可见与之间的变换不唯一，因而导致x(n)与之间不是一一对应的。5.4复倒谱复对数多值性的解决设定相位的主值区间为 ，定义取主值运算ARG[]： 其中为“模”运算，它使 显然，ARG[X(z)]与X(z)是一一对应的。5.4复倒谱若令 则可解决复对数的多值性问题。

5.4复倒谱复对数的解析性i)如果是稳定和因果的，那么要求在单位圆上收敛。ii)要求在收敛域内是解析的，则要求在单位圆上连续、可微分，变换唯一。5.4复倒谱iii)ARG[X(z)]不能保证在单位圆上连续。因此需对复对数的定义做进一步修改:

其中

即通过加入修正项消除ARG[X(z)]的不连续性。5.5复倒谱的计算

5.5.1按定义计算5.5.2最小相位序列复倒谱的计算5.5.3复对数求导数法计算复倒谱(自学)5.5.4递推计算方法(自学)5.5.1按定义计算1.引入如果输入序列x(n)的Z变换X(z)的收敛域包含单位圆，则x(n)的付氏变换存在。可以在单位圆上计算复倒谱，即用序列付氏变换(SFT)代替Z变换计算复倒谱。在数字实现时，用DFT实现序列付氏变换。5.5.1按定义计算按定义计算流程：其中k为归一化数字频率。DFTln[•]IDFT5.5.1按定义计算2.说明设x(n)是N点的时间序列，X(k)为其N点DFT，则X(k)的复对数仍是N点序列。由于是在一个周期内的N个等间隔频率点上的样值，不是真正的复倒谱，而是复倒谱经过以N为周期进行延拓的结果。5.5.1按定义计算一般是无限长序列，因此各周期延拓之间一定存在混叠。由于的主要能量集中在低时段，当N足够大时，混叠的影响可忽略。5.5.1按定义计算3.复对数多值性问题的解决要求：既唯一又连续。解决方法：相位展开 在不连续的主值相位上叠加一个校正相位来得到连续的瞬时相位，即

设

5.5.1按定义计算主值相位的计算校正相位的确定当k=0，当k=1,2,..5.5.1按定义计算示例：连续相位/相位主值/相位校正/5.5.2最小相位序列复倒谱的计算1.几个有用的结论设x(n)为最小相位序列，则i)可由它的偶序列完全恢复出，在 处的值可由它的奇序列恢复出。说明：设与分别表示的共轭偶部与共轭奇部，则5.5.2最小相位序列复倒谱的计算

由于x(n)为最小相位序列，为因果序列。因此当n>0时，当n=0时，当n<0时，5.5.2最小相位序列复倒谱的计算

综上得 其中5.5.2最小相位序列复倒谱的计算ii)付氏变换为实数，等于付氏变换的实部。的付氏变换为虚数，等于付氏变换的虚部。

iii)与是一对付氏变换。说明只需就可以计算出。5.5.2最小相位序列复倒谱的