2022高三数学开学摸底考试卷03文含答案

2022高三数学开学摸底考试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合/={xeN|K烬9},B={x\O<x<5},则=

A.{2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|£W5}D.{x|Kx<5}

B

,/集合4={x£N|《运9}={12,3,4,5,6,7,8,9},

5={x|0<x<5},

=2,3,4}.

故选B.

2.设复数z满足匕三=i,则彳=

1-z

A.iB.-iC.1D.1+Z

B

因为净所以z=±=（7+'）（>i）=々

1+Z（14-0（1-02

故选B.

3.2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛

活动，以庆祝中国共产党成立100周年.比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分

的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30,150］内，其频率分

布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为

A.650B.660C.680D.700

A

由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在(30,90］分的频率为(0.0025+0.0075+0.0075)x20=0.35,

所以学生初赛成绩大于90分的频率为1-0.35=0.65，

则该校获得复赛资格的人数为0.65x1000=650.

故选A.

4.某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为。=250024e°°⑵，其中/=0表示2020年的人口

数量，则鹅城人口数量达到的年份大约是(/〃2ao.693,打3”1.099,/〃5”1.609)

A.2040年B.2045年C.2030年D.2050年

A

令250024产=320000,

则eo.oi2,=320000,两边取对数得sola=320000

250024250024

320000

0.0120.012

过去20年或21年，，=0表示2020年的人口数量,

则鹅城人口数量达到的年份大约是2040年或2041年.

故选A.

5.已知直线/:任+N—岳=0与双曲线=l(h>0)的一条渐近线平行，且这两条平行线间

4

的距离为一，则双曲线。的焦距为

3

A.4B.6C.25/3D.8

B

2

直线/与双曲线C:--%•=I仍>0)的一条渐近线平行，

不妨设直线/与渐近线bx-y=0平行,

由云+y-正4=0可知，/过点(血,0),

•••两条平行线间的距离吗‘

c2=9,双曲线C的焦距为6.

故选B.

6.三棱锥/-3C。的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则三棱锥的左视图为

如图三棱锥A-BCD的四个顶点为正方体的四个顶点,

则观察可知其左视图为

故选A.

7.设p:2x2-3x+lW0，(2a+l)x+a(a+l)W0,若「4的必要不充分条件是，则实数〃的

取值范围是

A.[0,-]B.(0,-]

C.(-oo,0)U[p-H»)D.(-oo,0)U(1,+oo)

A

p:2x2-3x+K0,解得;令(，

q:x2-(2a+l)x+a(a+l)W0,Q令W。+1，

・・•可是「q的必要不充分条件，「.p是夕的充分不必要条件，

L<1

.一、2，等号不能同时成立，

区。+1

解得OWawL

2

则实数0的取值范围[0,1].

故选A.

8.一艘海警船从港口〃出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。方向直线航行，30分钟后到达8处,

这时候接到从。处发出的一求救信号，已知。在3的北偏东65°,港口N的东偏南20。处，那么8,

C两点的距离是海里

A.1073B.10>/2C.20D.1572

B

f北

Z^5^20=►东

如图所示，\

由题意知，ZSAC=30°,NABC=105°,/8=40x-=20,

2

所以44a5=45。：

在A48C中，由正弦定理可得8C=------xsin30°==1072；

sin450

所以8、C两点的距离是10&海里.

故选B.

1+sin70°

---------------j-------=

2-2sin210°

A.2B.-1C.1D.-

2

C

1+sin70°_1+cos20。_1+（1-25疗10°）_1

2-2sin210°-2-2sin210°~2-2sin2100~,

故选C.

10.把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，

则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为

A.3B.mC.2D.2

8125643

B

将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为"=44=256,

四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为加=3,=81,

所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为尸=2-.

256

故选B.

11.已知三棱锥4一8。。满足：AB=AC=AD,ABC。是边长为2的等边三角形.其外接球的球心

。满足：OB+OC+OD=Q,则该三棱锥的体积为

112

A.-B.-C.-D.1

633

C

因为48=4。=40,ASCD是边长为2的等边三角形，

所以过点A作AO'A.面BCD于点O',。'是\BCD的外心，

因为赤+反+历=0,所以。是△BCD的外心，

则。与O'重合，

在中，CD=2,CO=OD,ZCOD=120°,

所以。。=立。=毡，

33

所以NO=8O=CO=Z）O=毡，

3

则该三棱锥的体积为［4Oxs,。叵x正x2?=2.

3233343

故选C.

12.己知y=/(x+2)为奇函数,且/(3+x)=/(3-x),当xw[O,I]时,

/(x)=2*+log4(x+1)-1,则/(2021)=

3

A.-B.2C.3+log43D.9

A

因为N=/(x+2)为奇函数，

所以y=/(x)的图像关于(2,0)对称，即/(2+x)=-/(2-x),

因为/(3+x)=/(3-x),

所以函数的图像关于x=3对称，〃x+4)=/(-x+2),

/(2+x)=-/W>即/(4+x)=/(x),

故函数的周期T=4,

v

因为当xe[0,1]时,/(x)=2+log4(x+l)-l,

则”2021)=/(1)=2+log42-l=-.

故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数/(幻=由+0x2+(0+2就.若/(x)的图象关于原点(0,0))对称，则曲线旦=/(»)在点(1,3)处的

切线方程为—.

5x-y-2=0

由题函数f(x)=x}+ax2+(a+2)x.，(尤)的图象关于原点(0,0))对称,

知为奇函数，可得a=0,f(x)=x3+2x.:.f'(x)=3x2+2,

f(1)=5=k.所以切线方程为5x-y-2=0.

故5x-y-2=0.

14.已知向量方=(3,1),6=(1,0),c=a+kb.若,则k=—

_10

因为向量5=(3,1),6=(1,0),c=a+kh,

由@，^,则小伍+/)=|初2+质石=32+12+%.(3、1+1*0)=10+3&=0,

解得左=_W.

3

故工

3

2V2

15.设耳，工分别是椭圆氏x7+方=1(〃>6>0)的左、右焦点，过点耳的直线交椭圆后于4,6两点,

|力耳|=3|8"|,若cos/Jg8=《，则椭圆E的离心率为.

V2

设|耳8|=%(%>0),则|4月|=31,|AB|=4k,

/.|AF2\=2a-3k,\BF2\=2a-k.

3

vcosZAF2B=-,

在zMBE中，由余弦定理得，|/8|2=|"；|2+|8玛『―2|"巴卜|86|85乙优8,

(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2(2a-3Jc)(2a-k),

化简可得(a+%)(a—3左)=0,而a+%>0,故,a=3k,

AF21=|AFX|=3/:,|BF21=5k,

2

.\|BF21=|AF2『+|48『，

/.AF、_LAF2,

而是等腰直角三角形,

二.椭圆的离心率e=£=也，

a2

故也.

2

y

(2^...

16.设函数f(x)=〃sin(x+工)+>/5bsin(x-工)(a>0),若VxeR,"(x)lW|〃O)|，则：-2b的最小值为

63

2V2

函数/(x)=asin(x+工)+闻sin(x--)

63

=asin(x+令-6bcos(x+令

=J/+3〃sin(x+二一⑶，其中tan9=^^,a>0,

6a

因为DxwR，i/a)iwi〃o)i，

所以/(0)为函数/、a)的最值，

则有0+.一°=卜+%町丘Z,

故e=-g-A4,4wz,

所以tan°=tan(-y-ki)=tan(-y)=-V3,

故迤=-石，

a

所以8=-4,a>0,

故2b=—h2a22J—2a=2A/2，

aaVa

.B

当且仅当，=2Q,即。=注时取等号，

a2

所以L-2b的最小值为272.

a

故2vL

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题

考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17.已知数列｛%｝满足q=I,。用=用」.

见+2

（1）求证数列为等差数列；

（2）设a=a”4+i，求数列也｝的前〃项和[.

4

（1）证明见解析；（2）T=2-----.

n〃+2

（1）数列应｝满足q=1,a„+｝=.整理得a,。””=2a,-2a“+],

凡+2

故—!一一‘=!（常数），

%42

所以数列是以1为首项，,为公差的等差数列.

a..2

g为公差的等差数列.

（2）由于数列是以1为首项,

2

所以'=1+，(〃-1)='+1,故an

K22n+1

9711

所以"="5右寸4（寸壬），

)=4(；--)=2-4

则:

77+2〃+277+2

18.为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社

区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者担心接种疫苗后会有副作用.为了了解接种某种疫苗后是

否会引起疲乏症状，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如表：

无疲乏症状有疲乏症状总计

未接种疫苗10025n

接种疫苗Xy75

总计150tn200

（1）求2x2列联表中的数据x,y,m,〃的值，并确定能否有95%的把握认为有疲乏症状与接种此

种疫苗有关；

(2)从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，再从这6人中随机抽取

2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.

P7.“2n(ad-be)2,,

PIT：K=----------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

尸(片次)0.1500.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

(1)有；(2)—.

15

(1)由题意得，“=100+25=125,zn=200-150=50,x=150-100=50,y=75-50=25,

小200x(100x25-25x50)240­

所以K=---------------------—=——~4.44>3.841,

125x75x150x509

故有95%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.

(2)从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，

其中有疲乏症状的有纪x6=2人，记为a,b；无疲乏症状的有留x6=4人，记为C,D,E,F,

7575

则从这6人中随机抽取2人的情况有"，aC,aD,aE,aF,bC,hD,bE,bF,CD,CE,

CF,DE,DF,EF,共15种，

这2人中恰有1人有疲乏症状的情况有“C,aD,aE,aF,bC,bD,bE,方尸，共8种.

故所求概率

15

19.如图，在三棱柱/8C-44G中，AiA=A[B=A[C=2y/l,AB=AC=2,NA4c=90。.

(1)证明:平面4BC_L平面48G；

(2)求四棱锥4-8CC4的体积.

(1)证明：取8c的中点连接ZM,A.M,

■：AB=AC=2,ABAC=90°,

BC=2V2,AM=41,

'：A[B=4c=2>/2=BC,AtM±BC,AXM=&,

222

AtM+AM=A}A,g|JAtM1AM,

又8。门,=”,BC、/Mu平面48C,

4M_L平面N8C,

A.Mu平面A,BC,

平面48C_L平面NBC,

平面ABC//平面4AG,

平面A、BC±平面481G.

(2)解：由(1)知，4A/_L平面4ffC,

三棱柱的高为4〃=后，

而S1Mc=；AB-AC=-^x2x2=2)

'''/梭柱=4"•S^BC~&x2=2-y6,

^A,-ABC=§4",S^BC=，

四棱锥4一BCQB、的体积V=V，梭柱-=2"-孚=乎•

20.如图，己知椭圆C:二+《=1(。>6>0)经过点(1,也)，离心率为直，直线/经过椭圆C的右焦点

a"b22

F,交椭圆于N,B两点、.

(I)求椭圆C的方程.

(II)若直线/交y轴于点M,且位=2万，MB=pBF,当直线/的倾斜角变化时，4+〃是否为定

值？若是，请求出义+〃的值；否则，请说明理由.

(1)y+/=1；(2)-4.

(I)设椭圆的半焦距为c,

-11

—+-7=1

a22b2

则有卜=—,解得。=夜力=1,0=1,

a2

a2=b2+c2

所以椭圆C的方程为：+/=i；

(H)由(I)知，尸(1,0),由条件得直线/的斜率必存在,

设方程为y=%(工一1),又M(0,-k),设4a,必),B(X2,y2)>

2

X2_]

则由'，解得(1+2户)--4人+2/_2=0,

y=k(x-\)

4k22k2-2

所以X]+&=l+2k2，X'X2~1+2k2

因为拓i=/l箫，

则有（X[,X+左）=彳（1-再，-X），

所以行二

1—

同理可得〃=上一

—

1X2

4k24(无2-1)

―,_jj+x,-2XjX

所以彳+〃=21+2-1+2k°

1_X|1_X[1_(X)+x?)+再々[4k~+2K_2

-T+2庐1+2返

即；1+〃是定值-4.

21.已知e是自然对数的底数，函数/（x）=2ei-"2,其中“eR.

(1)当a=l时,若g(x)=/，(x),求g(x)的单调区间;

(2)若“X)在R上恰有三个零点，求°的取值范围.

(1)在(fl)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；⑵(1,+oo).

(1)当1=1时,f'(x)=2ex-'-2x

令g(x)=/'(x)，则g'(x)=2ex-'-2,

.,.当X<1时，g'(x)<o,g(x)在(-8,1)上单调递减；

当x>l时g'(x)>0,g(x)在(1,+co)上单调递增.

.•./'(x)=g(x)》g(1)=0.，/(x)在R上单调递增.

2

(2)•.•/(0)=-^0,.•./(X)的零点xwO,

e

令/'(x)=2e、T-a/=0,可得a=」，

X

设〃(x)=B(x*0),

X

7“、2ex-'-x2-2ex-'-2x2eA-1(x-2)

•♦・"—?—'

令〃'(x)=0,得x=2,且僦2)=1，

.,.当xw(-8,0)时，h\x)>0,/?(x)单调递增且〃(x)w(0,+oo)；

当xw(0,2)时，h'(x)<0,，(x)单调递减且Mx)eg,+8)；

当xe(2,+oo)时，h\x)>0,〃(x)单调递增且〃(x)e(],+8),

作图/z(x)的大致图象，如图所示，

由图象可知，当。>1时，y=a与y=〃(x)的图象有三个交点，即/(x)有三个不同的零点,

,a的取值范围是(],+<»).

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计

分.【选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

22.在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为F=cos”①为参数)，M是G上的动点，动点

[y=1+sina

P满足。P=3OM.

(1)求动点尸的轨迹C2的参数方程；

(2)在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线6=三与G异于极点的交点为/,与

6

G异于极点的交点为8，求45.

⑴f=3cosaQ为参数)；(2)2.

[y=3+3sina

(1)设尸(x,y),M(x0,y0),由丽=3而，得「=况①，

3

[y=y0

又M的G上，.•.(a为参数)，②

[为=1+sina

将②代入①得f=3cosa(0为参数)，即为C,的参数方程.

[y=3+3sma

(2)解法一：G的参数方程化为普通方程为/+/-2^=