2022-2023学年人教A版选择性必修第三册正态分布讲义

7.5正态分布

新课程标准新学法解读

1.了解正态曲线和正态分布的意1.在理解正态分布的概念过程中，

义.增强数学抽象的学科素养.

2.理解正态曲线的性质.2.在求解正态分布问题的过程中，

3.了解3c原则，会用正态分布解提升逻辑推理、数学运算和数学建

决实际问题.模的核心素养.

课前篇•自主学习固基础

［笔记教材］

知识点1连续型随机变量

随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实

轴，但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.

知识点2正态曲线与正态分布

(1)解析式6后",%£R.其中//GR,。＞0为参

数，它的图象在％轴的上方，可以证明％轴和曲线之间的区域的面积

为1.我们称八%)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称

,若随机变量X的概率分布密度函数为“x),则称随机变量

X服从正态分布，记作(?),特别地，当〃=0,b=1时，称

随机变量X服从标准正态分布.

(2)正态曲线的性质

①正态曲线关于直线对称(即4决定正态曲线对称轴的

位置)，具有中间高、两边低的特点；

②正态曲线与％轴所围成的图形面积为;

③。决定正态曲线的“胖瘦”：。越大，说明标准差越大，数据

的集中程度越________，所以曲线越________;。越小，说明标准差

越小，数据的集中程度越_______,所以曲线越_________.

(3)3。原则

如果X~N〃，o2),那么

P(XW〃)=尸(X2〃)=,

P(\X—)W(7)=P(j.l—<7WXW/Z+<F)弋,

P(|X-〃|W2(7)=Pg2OWXW4+2(7)y,

P(|X-4|W3c)=P〃-3bWXW4+3c)Q.

最后的式子意味着，X约有99.73%的可能会落在距均值3个标

准差的范围之内，也就是说只有约的可能会落入这一范围之

外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的

”原则”.

上述结果可用图表示如下：

〃一〃-2。〃4+2。〃-3。"〃+3。

答案：(1)正态曲线

(2)①%=〃②1③弱胖强瘦

(3)50%68.27%95.45%99.73%0.27%3。

知识点3标准正态分布

(1)定义：当〃=,。=时，称随机变量X服从

标准正态分布，记作X〜.

(2)概率计算方法：

如果X〜N(0,l),那么对于任意a,通常记⑦3)=,其

中03)表示M。』)对应的正态曲线与％轴在区间(一8,4)内所围的面

积.

特别地，①(一。)+⑦(幻=.

思考：正态分布入N〃，标)化为标准正态分布的变换是什么？

答案：(1)01N(0,l)

(2)P(x<tz)1

思考：提示：借助x=Z法实现变换.

［重点理解］

1.正态分布完全由〃和。确定，参数〃是反映随机变量取值的

平均水平的特征数，可以用样本平均值去估计；。是衡量随机变量总

体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.

2.一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主

次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.

3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率是我们计算有关正态

分布概率的重要依据.当随机变量所在的区间不对称时，不妨先通过

分解或合成，再通过正态曲线的对称性解决问题.

［自我排查］

1.若fG)=^=e2，彳GR,则/(7)()

后

A.有最大值，也有最小值

B.有最大值，但无最小值

C.无最大值，也无最小值

D.有最小值，但无最大值

答案：B解析：当x=l时，/(%)有最大值#1)=加=茨，无

最小值.

2.(2021•河北保定第三中学高二期中)设随机变量:服从正态分

布NQi,cr),若函数於)=(+10%+^有零点的概率是:，则〃=()

A.8B.25C.10D.16

答案：B解析：因函数人x)=%2+i0x+4有零点，

则4=100—4。20,即。W25,

于是得尸QW25)=；.

又《〜〃)，根据正态分布的对称性可知/z=25,

故选B.

3.(多选题)把一条正态曲线。沿着横轴方向向右移动2个单位,

得到一条新的曲线。，下列说法中正确的是()

A.曲线b仍然是正态曲线

B.曲线。和曲线人的最高点的纵坐标相等

C.以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的

总体的方差大2

D.以曲线。为正态分布的总体的均值比以曲线。为正态分布的

总体的均值大2

答案：ABD解析：正态曲线向右平移2个单位，。不发生变化，

故C错误，其他正确.

4.(2021•安徽宣城高二期末)设X〜N(5,扭)，若X£(5,9)的概率

为0.45,则X£(l,+8)的概率为.

答案：0.95解析：由题意可知，〃=5,P(5<X<9)=0.45,

.,.P(l<X<5)=0,45,

P(X<l)=1-P(l<r<5)=0.5-0.45=0.05,

A/3U>1)=1-P(X<1)=1-0.05=0.95.

5.(2021•云南昆明高三一模)随着《生物多样性公约》第十五次

缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆

明市举办，“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作又成为国际

范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产

云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区

随机抽取100株滇山茶测量胸径D(厘米)作为样本，通过数据分析得

到。〜N(12.5,4.52).若将D221.5的植株建档重点监测，据此估算10

000株滇山茶建档的约有株.(附：若X〜M/Z,〃)，则P"

-oWXW//+c)=0.6827,Pa-2oWXW4+2a)=0.9545)

答案：228解析：由题意知：P(D22L5)=P(D2〃+2b),而PQi

-2cWX4+2Q=0.9545,

,1—P(/L2(TWXW/Z+2(7)

.,.P(O2〃+2(7)=-------------------^0.0228,

.,.10000株滇山茶建档的约有228株.

故答案为228.

课堂篇•重点难点要突破

研习1正态曲线的图象及其应用

［典例1］如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态

分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差.

思路点拨：给出了一个正态曲线，并给出了该曲线的对称轴和最

大值，就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式.

解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线％=20对称，

最大值是东，

所以〃=20.

11

，得(7—y/2.

由2血

于是概率密度函数的解析式是

1Q-20)''

小)(-8,+8),

~二.e

2G

总体随机变量的期望是4=20,方差是M=(g)2=2.

［巧归纳］

正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：

(1)对称轴方程为％=〃；

(2)最值为)岔.

这两点把握好了，参数〃，。便确定了，代入即可求出相应的解

析式.

1'o~~~

［练习1］已知三个正态分布密度函数必%)=怠/e”

(%£R,i=l,2,3)的图象如图所示，贝IJ()

A.〃I<〃2=43，。1=。2>6

B.〃I>"2=〃3，内=(72<。3

C.〃1=〃2<〃3，。1<。2=。3

D./ZI<〃2=43，。］=0"2<。3

答案：D解析：因为正态曲线关于％=;/对称，且//越大图象

越靠近右边，所以可得/，2=〃3.

又因为C的值反映的是这组数据的集中情况，其C值越小图象越

高瘦，a值越大图象越矮胖,

所以可得6=。2<6.

研习2利用正态分布的对称性求概率

［典例2］设X〜Ml。」).

(1)求证：P(1<X<2)=P(18<X<19)；

(2)若P(XW2)=a,求尸(10<X<18).

(1)证明：TX〜N(10,l),

.•.正态曲线/(%)关于直线％=10对称，

而区间(1,2)和(18,19)关于直线l=10对称，

所以P(1<X<2)=P(18<X<19).

(2)解：•.•P(XW2)+P(2<XW1O)+P(1O<X<18)+P(X218)=1,〃

=10,

P(XW2)=P(X218)=a,

P(2<XW10)=P(10<X<18)，

.•.2a+2P(1O<X<18)=1,

nrt1—2。1

即P(10<X<18)=—^—=2~a.

［巧归纳］

利用正态分布求概率的两个方法

1.对称法：由于正态曲线是关于直线x=4对称的，且概率的和

为1,故关于直线％=“对称的区间上概率相等.如：

(l)P(X<a)=l—P(X2a)；

(2)P(X</z~d)=P(X>R+a).

2."3cr"原则法：利用X落在区间口一er,〃+cr］,口一2cr,〃+2cr］,

仅一36〃+3用内的概率分别是0.6827,0.9545,0.9973求解.

［练习2］(2021•江苏淮安高三三模X多选题)若随机变量。〜

N(0,l),则下列结论正确的是()

A.该正态曲线关于直线％=1对称

B.若。仁1.52)=0.9357,贝I」001.52)=0.0643

C.若1.49)=0.9319,贝U尸《W一1.49)=0.9319

D.当尤>0时,若一工2%)=夕(%),则一(因2%)=2贝%)

答案：BD解析：A:由题设知：该正态曲线关于直线％=0对

称，错误；

B:。(4>1.52)=1—。(4・1.52)=0.0643,正确；

C:尸《W一1.49)=尸<21.49)=1—PQW1.49)=0.0681,错误；

D:尸(©2%)=尸(42%)+尸(4・一》),而由对称性知产(。2%)=尸(«

-x),所以尸(©2%)=2矶江正确.

故选BD.

研习3正态分布的实际应用

［典例3］某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条

路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间

(单位为分)服从正态分布M50,10%第二条路线沿环城公路走，路程

较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,4)

(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线？

(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线？

解：由题意得X〜N(50,102),丫〜N(60,42).

根据正态分布的2。区间性质P〃-2crW4W〃+2cr)=0.9545得到

如下结果：

对X：4=50；(7=10；2c区间为(30,70),

对上4=60；(7=4；2c区间为(52,68),

要尽量保证用时在XC(30,70),YU(52,68)才能保证有95%以上

的概率准时到达.

(1)时间只有70分钟可用，应该走第二条路线.

(2)时间只有65分钟可用，两种方案都能保证有95%以上的概率

准时到达，但是走路线一的平均用时比路线二少了10分钟，应该走

第一条路线.

［巧归纳］

解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌

握正态分布在口一er,/z+cr］,［jU—2a,/z+2可，［jU~3(7,//+3司三个区

间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.

［练习3］(2021•江西高二期末)某厂包装白糖的生产线，正常情

况下生产出来的白糖质量服从正态分布M500,52)(单位：g).

(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率约

为多少？

(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量

均小于485g.检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要

求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.

附：X〜N"/),则P(//-CWXW〃+(T)QO.6827,PgZoWXWp

+2(7)^0.9545,尸5一3<TWXW〃+3CT)心0.9973.

解：(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg,

由题意可知X〜Z(500,52).

由于485=500-3X5,所以根据正态分布的对称性与“3。原

则”可知

P(X<485)=1(1-P(500-3X5WXW500+3X5))心］X0.0027=

0.00135.

(2)检测员的判断是合理的.

因为如果生产线不出现异常的话，由⑴可知，随机抽取两包检

查，质量都小于485g的概率约为0.00135X0.00135心0.00000182

=1.82*10一6,几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认

为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.

课后篇•基础达标延伸阅读

1.设一随机试验的结果只有A和了，且尸(A)=机，令随机变量

1,

则^的方差等于(

0,

2m(l—in)

C.m(m—1)m(l-m)

答案：D

机变量^的分布列为

/.£)(。=(0-m)2X(1—m)+(l—m)2Xm=m(\—m).

故选D.

2.已知随机变量小的分布列为

若石(。=掾，则。©=.

答案：H解析：由已知，得X+尸；

又因为£（J=0.5Xl+2%+3y=w，

“，13

所以％=g,y=g.

^^n（a=（l-y）xo.5+（2-y）x|4-（3-y）x|=g.

3.（2021.全国高考乙卷数学（理））某厂研制了一种生产高精产品

的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备

和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为工

和亍，样本方差分别记为储和在

（1）求,J7,5j,5,；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否

有显著提高（如果万一亍）2，%*,则认为新设备生产

产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为

有显著提高）.

解：（1）7=

9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

10:13

y

10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

10

=10.3,

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

10

=0.036,

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22

10

=0.04.

⑵依题意,7-T=10.3-10=0.3=2X0.15=200.152=

240.0225,

0.036+0.04

2=2,0.0076,