比例与方程-方程（算术理论课件）

方程的概念小学数学教材中方程的定义01专家对方程的解释02主要学习内容关于方程的通俗解释03方程的概念04一、小学数学教材中方程的定义人教版，五年级上册，第63页二、专家对方程的解释

含有未知数的等式，叫做方程。使得方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。

方程概念的建立需要注意两点：1、方程是一个等式，教学适应通过实例使学生明确等式（等号两边的值相等），即等式的左边和等式的右边的含义；2、方程含有未知数，因为未知数是还没有确定数值的数，所以方程是一个有待研究的等式，需要研究未知数为何值时这个等式才成立。《小学教学全书》（数学卷）（顾汝佐，叶季明，王明欢，上海教育出版社，1995年12月，193页）二、专家对方程的解释

方程，系指含有未知数的等式。

例如x+2＝1，ax+b＝c，ax2+bx+c＝0，xy+x+y=3（其中a，b，c为已知数，x，y，z为未知数）等都是方程。方程式提出一个问题，当未知数为什么数（或数组）时等式成立。《简明数学辞典》陈森林主编，湖北人民出版社，1984年1月出版二、专家对方程的解释

求这样一些值，当自变量取这些值时，两给定的函数之值相等。函数所依赖的自变量通常称为未知数（unknown），使得两函数之值相等的自变量之值称为方程的解（solution）。在一般情况下，方程是下述问题的表示形式：求属于某些集合A的一些元素a，使得F（a）＝（a）,这里的F和是给定的由集合A到另一集合B的映射。《数学百科全书》（第二卷）（科学出版社，1995年10月，第374页）三、关于方程的通俗解释1、方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的等式关系。

《小学数学研究》（张奠宙等编著，高等教育出版社，2009年1月，第111页；张奠宙，华东师范大学教授，数学教育专业博士生导师，高中数学课程标准研制组组长）

2、在解决问题时，常用这样的方法：用字母或者符号代表未知量，让它和已知量一起参与运算，根据数量关系列出一些等式，再用数学方法求出这些字母和符号代表的未知量。这种含有未知量参与运算的等式，叫做方程。

（涂荣豹，南京师范大学教授，数学教育专业博士生导师，南京数学会会长，全国数学教育研究会理事长）四、方程的基本概念

毫无疑问，方程是等式。但等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。甚至含有未知数的等式也不一定是方程，例如0x=0。事实上，方程一词在中国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即线性方程组。从函数的观点出发，可以重新定义方程。

定义1：形如f（x，y，...，z)=g（x，y，...，z)的等式叫做方程，其中f，g是变元x，y，...，z的函数，且至少其中之一不是常值函数。变元x，y，...，z叫做方程的未知数，它的最高次数叫做方程的次数，它的个数叫做方程的元数。f（x，y，...，z)和g（x，y，...，z)定义域的交集叫做方程的定义域，通常记作M。四、方程的基本概念在小学阶段，只要求学生初步了解方程的概念，能判断一个等式是否为方程，比如4x-12=21、4x=400等是方程，而33-12=21、x+5≠10、4x＞400等不是方程，不要涉及x＝5是否为方程这种有争议的问题。同时，要让学生理解“方程的解”与“解方程”是不同的概念。“解方程”是寻求方程未知数等于多少的过程，是一个动词，是一个过程。“方程的解”是求解之后的结果，是一个名词。定义2

如果方程f（x，y，...，z)=g（x，y，...，z)的定义域为M，如果存在数组(a，b，...，c)∈M，使得f(a，b，...，c)=g(a，b，...，c)成立，那么称数组(a，b，...，c)为方程的解。方程解的集合称为方程的解集，求方程解集的过程称为解方程。如果两个方程的解集相等，那么这两个方程称为同解方程。方程的类型与求解方程的类型与求解01方程的发展历史02主要学习内容一、方程的类型与求解

方程中的未知数是方程的“元”，未知数的最高次数是方程的“次”。方程的分类可表示如下：

一、方程的类型与求解

一、方程的类型与求解要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程;若是，再对它进行整理;如果能整理为ax+b=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元一次方程。一元一次方程通常的求解步骤：1、“去分母”2、“去括号”3、“移项”4、“合并同类项”5、“系数化为1”一、方程的类型与求解

一、方程的类型与求解

一、方程的类型与求解

一、方程的类型与求解

一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b,c的值(注意符号):②求出△=b2-4ac的值(若△<0，则方程无实数根；若△>0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等实数根）③在△=b2-4ac≥0的前提下，把a，b,c的值代入公式进行计算，求出方程的根。一、方程的类型与求解（4）因式分解法

利用因式分解求出方程的解的方法。

因式分解法是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么两个因式的值都有可能为0，就能得到两个一元一次方程的解，把原方程进行了降次，解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题(数学化归思想)。

使用因式分解法的条件是方程的左边易于分解，而右边等于0，关键在于熟练掌握因式分解的技巧与方法。一般步骤为:①移项，使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。一、方程的类型与求解3、二元一次方程组

含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。

由两个二元一次方程联立组成的方程组，叫二元一次方程组。二元一次方程组中各个方程的公共解，是二元一次方程组的解。如果二元一次方程组有解，则有且只有唯一的一组解，即x，y的值只有一个；但也有无数个解的特殊情况。

“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”，就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫作消元解法。用消元的方法解二元一次方程组常用的是代入消元法和加减消元法。二、方程的发展

二、方程的发展

二、方程的发展希腊数学家丢番图的《算术》中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还包括大量的不定方程。印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给了一般二次方程的求根公式。

花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一次、二次方程，分六章来叙述。二、方程的发展13世纪，我国在求高次方程数值解，以及解高次方程上有重大突破。

秦九昭给出了一般高次方程的数值解法。金代数学家李冶的“天元术”通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等。之后，我国数学家又很快把这种方法推广到了多元高次方程组，先后产生了二元术、三元术，最后由元代数学家朱世杰，创立了四元术，即最多可有四个未知教，分别称作天、地、人、物。二、方程的发展16世纪最伟大的数学成就就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。1515年，费罗用代数方法求解三次方程x3+mx=n。1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如x3+mx2=n的三次方程的代数解法。1545年，卡尔丹在《大衍术》中给出了三次方程和四次方程的解法。之后，人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终。19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表示出来。二、方程的发展代数学符号发展的历史，大致可分为三个阶段第一个阶段为3世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，所以有人称之为文字叙述代数。第二个阶段为3~16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，通常称为简化代数。丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。李冶发展、总结的天元术与朱世杰创立的四元术，实际上已经是一种半符号式的代数。它比希腊、印度的简化代数向前迈进了一步。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，称为符号代数。法国数学家韦达（1540-1603年)在他的《分析方法入门》著作中，首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算。韦达开创的符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式。笛卡尔用字母表前面的a，b，c等表示已知量，而用排在字母表后面的字母x，y，z代表未知量，这种用法已经成为当今的标准用法。方程的求解方程的求解01方程的同解原理02主要学习内容一、方程的求解

方程的本质是未知数参与运算，建立起等式关系。使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。解方程的关键在于转化，把新的问题划归为已经解决的问题，最终转化为x=a的形式。

小学数学中解方程可以用算术方法，也可以用代数方法。算术方法是利用加与减、乘与除互为逆运算的关系解方程。

【例如】方程x+a=b是一个加法算式，未知数x是一个加数，解方程求出未知数x的值相当于已知加法算式中的“和”与“一个加数”，求“另一个加数”的运算，利用“一个加数=和-另一个加数”即可得到所求x的值。

一、方程的求解代数方法是利用由同解原理引出的等式基本性质解方程，实质是对方程进行变形转化。二、方程的同解原理

方程解的集合称为方程的解集，求方程解集的过程称为解方程。如果两个方程的解集相同，那么这两个方程称为同解方程。

二、方程的同解原理方程的同解原理2（加法定理)

如果方程f（x，y，...，z)=g（x，y，...，z)的定义域为M，且函数h（x，y，...，z)在M上总有意义，那么方程f（x，y，...，z)=g（x，y，...，z)与方程f（x，y，...，z)+h（x，y，...，z)=g（x，y，...，z)+h（x，y，...，z)同解。方程的同解原理3（乘法定理)

如果方程f（x，y，...，z)=g（x，y，...，z)的定义域为M，且函数h（x，y，...，z)在M上总有意义且不等于零，那么方程f（x，y，...，z)=g（x，y，...，z)与方程f（x，