2022-2023学年山东省青岛市高三年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年度第一学期期末考试

高三数学试题

本试题卷共6页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

i-2

I.复数1+i的虚部为()

3.33

—1—

A.2B.2C.2D.2

2,若(。+力+(。7)的展开式中含有炉

项的系数为18,则。=:()

33_3

A2B.2C.2或一2D.2或

-2

3已知集合6{(3)x2+V—2x=0},8={(x/)|y=Mx+l)}若

贝O

6…6—

A.3--3B.-8

C.行或不D.C6或小一后

4.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，

它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条楼的中点截去一个三棱锥,

共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则

该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为()

也

A.2B.1C.血D.2&

5.“小=1”是“函数2'-加为奇函数，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知函数/G）=2sin3+9X0<e（兀）的部分图像如下图所示，将/（X）的图像向

—_/\_y=g（x）+gj±]

左平移12个单位后得到函数y=的图像，则函数的最小值为（）

A.一4B.4C.4D.0

7.为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中

各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区

间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）

A.甲班众数小于乙班众数B.乙班成绩的75百分位数为79

C.甲班的中位数为74D,甲班平均数大于乙班平均数估计

值

8,已知定义域为［°1］的“类康托尔函数”/(“)满足：①

②/㈤=则｛幅)=

/(x,)</(x2)；③/(x)+/(I)=lo

1111

A.32B.64C.128D.256

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分.

9.通过长期调查知，人类汗液中A指标的值X服从正态分布“00，2-5一)则()

参考数据：若X〜~3/)，则。("F，X""+")=0・6827；

尸(〃-2bKXW〃+2cr)=0.9545

A.估计100人中汗液A指标的值超过10的人数约为50

B.估计100人中汗液A指标的值超过12.5的人数约为16

C.估计100人中汗液A指标的值不超过15的人数约为95

5

D.随机抽检5人中汗液A指标的值恰有2人超过10的概率为16

10.已知对任意平面向量"8=(X/),把而绕其起点沿逆时针方向旋转°角得到向量

AP

=Geos。-ysin6,xsme+ycos。)，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转夕角得到点

P.已知平面内点'O,。，点8(2+/」-)，网=2近，冠而>0,点B绕点/沿

71

逆时针方向旋转3角得到点P,则()

A网=2&B.万=（一2,2）

C.B的坐标为（4，T）D.尸的坐标为（A"'"）

—。：与+口=1（“〉0/〉0）

II.已知°为坐标原点，离心率为3的椭圆ab的左，右焦点

分别为片，工，°与曲线夕=c°"恰有三个交点，则（）

A.椭圆C的长轴长为G

B.0的内接正方形面积等于3

c.点少在c上，W%，则△阳居的面积等于1

D,曲线0与曲线y=&x_41nx+21n2-1没有交点

12.已知数列入和也｝满足％=Ly。「=沁如，22%%则

（）

A/2b2—5B.数列｛""+2"｝是等比数列

C.数列｛""一2b"f是等差数列D.勺“>%

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13已知sina+siM=1cosa+cos/7=V2则cos（a-0=

14.将8块完全相同的巧克力分配给4B,C,。四人，每人至少分到1块且最多分到3

块，则不同的分配方案共有种（用数字作答）.

15,已知。为坐标原点，抛物线°：/=2*（夕>0）的焦点为尸，过尸的直线交C于

A,8两点，A,8中点。在x轴上方且其横坐标为1,=3,则直线N8的斜率为

16.已知球。的半径为2,圆锥沙的顶点和底面圆周上的点均在球。上，记球心。到圆锥

少底面的距离为人,圆锥沙的底面半经为".则（1）〃.尸的最大值为；（2）圆锥

W体积的最大值为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17,在^ABC中，siiiS-sinC-coM+2sirb4-sinC•cos5=3sin4siafi-cosC,内角A,

B,C的对边分别记为“，b,c.

♦+2/

(1)求的值；

(2)求cosC的最小值.

18.如图1所示，在中，点、E,下在线段力6上，点。在线段8c上，

AE=EF=FB=1,CE=2,DF=l,CE1AB,将A/CE,ABDF分别沿CE,DF折

起至点4B重合为点G,形成如图2所示的几何体力,在几何体力中作答下面的问题.

图1图2

(1)证明：平面MGJ•平面CEFD：

(2)求点。到平面CFG的距离.

19.记数列｛""｝的前"项和为S”，.给出下列两个条件：条件①：数列

｛%｝和数歹+q｝均为等比数列；条件②：2飞+2"-%+…+2%="%试在上面的两

个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两间的解答：

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

(1)求数列"J的通项公式；

⑵记正项数列也｝的前〃项和为乙，4=出，4=%,4T“=bjbf求

2n

Z[(T)'姐+」

/=1

20.由〃?〃个小正方形构成长方形网格有阳行和〃列.每次将一个小球放到一个小正方形内，

放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为「，放红球的概率为q,p+q=L

1

_p=q=一

(1)若机=2,2,记》表示io。轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统

计数据如表：

n12345

y7656423026

求y关于〃的回归方程lny=b〃+a,并预测“=1°时，y的值；(精确到1)

12

p——q二一

(2)若加=2,〃=2,3,3,记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为

随机变量X,求X的分布列和数学期望：

(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：(1—P'")+。—-1

k

2七匕一斤•歹

I———5

2

底A__2Z〃，•1”,.=53

附：经验回归方程系数：I,a=y-bx,日,

Iny=3.8

21.己知°为坐标原点，动直线‘："区+"'(局A。)与双曲线Ox_乒_19〉0)的

D:—+/=12

渐近线交于4,8两点，与椭圆2交于E,尸两点.当-=10时，

2@+砺)=3何+方)

(1)求双曲线°的方程；

(2)若动直线/与C相切，证明：的面积为定值.

22,已知函数”“一自的最小值和8^)=山(1+)6的最大值相等.

(1)求“；

Inx>e~x---

(2)证明：ex；

_/H+1.

1]

1+——------>e2m+2

2m(加+1)

(3)已知加是正整数，证明:

2022-2023学年度第一学期期末考试

高三数学试题

本试题卷共6页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

i-2

1.复数1+i的虚部为()

3.331

A.2*B,2C.-2D,-2

【答案】B

【解析】

i-2

【分析】根据复数的运算求得1+i的结果，即可得答案.

i-2-_(-i-2-)-(-l-i-)-=--l-+-3i---1--31-i

【详解】由题意复数1+i(l+i)(】-i)222,

i-23

故复数1+i的虚部为2,

故选：B

2.若(a+x)+("%)的展开式中含有V项的系数为18,则。=()

3

A.2B.2C.2或-2D.2或

-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列出方程，即可求得a,即得答案.

【详解】由题意S+X)的展开式中含有/项的系数为18,

即C：a+C*~(—I)?=18,即4+2。2=6,

_3

解得a=-2或2,

故选：C

3.已知集合"={("/)，+「-2x=0},8={(x,y)|y=Mx+l)%4c8N0

则()

V3,V3

A-T-^-TB「百WG

k』k钎2rr

C.3或3D.kN0>或

【答案】A

【解析】

I-----41

【分析】根据集合表示点的含义，可得直线与圆相交或相切，然后得到,整理

解出不等式即可得出答案.

【详解】由已知可得，集合A表示的点('J)在圆*+/-2%=°上，圆心为°，°),半

径厂=1,集合8表示的点为直线歹=“(》+1),即丘一竹上=°上的点.

由可知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切，

包41

所以圆心°'°)到直线丘一丁+左=°的距离1介，即JA+1,

整理可得3K—14°,解得33.

故选：A.

4.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，

它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,

共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则

该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为()

也

A.2B.1C.近D.2夜

【答案】D

【解析】

【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求出平面和平面

的法向量，即可求平面E尸G和平面G/7K夹角的余弦值，进而可求解.

【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图,

平面EFG和平面GHK为有公共顶点的两个正三角形所在平面,

则E(l,0,2)1(2,1,2),G(2,0,1),0),K(l,0,0),

设平面EFG的法向量为"?=(x/，z),EC=(1,1,0),EG=(1,0,-1),

EF•应=x+y=0

<

所以［EG•拓=x—z=0,令x=l,y=-l,z=l,所以〃2=(1,-1,1),

设平面G7/K的法向量为〃=(。，仇。)，G//=(0,1,-1),GX-=(-1,0,-1),

GHn=b-c=0

V

所以［GK•万=-"c=0,令a=l,b=—l,c=—l,所以〃=。,一1,一1),

设平面平面EFG和平面G〃K的夹角为°,

-----m-n11

cos<m,n>=....=—j=--j==-

则nn3

cos0=Icos<m9n>1=—

因为平面瓦6和平面G〃K的夹角为锐角，所以।13,

sin0-V1-cos20=2四,tan3=‘由"=2^2

所以3cos。

故选：D

5.“%=1”是"函数2、一机为奇函数，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由“=1时，结合奇函数定义可判断2'-"为奇函数，举反例说明函数

2、-〃？为奇函数时，可能是，，，=-1,不能得出一定是加=1,由此可判断答案.

f(x)=

【详解】当机=1时，’2'—1,其定义域为｛x|x00｝关于原点对称,

升+11+2r7X+1

/,(-%)=-——=,_—=-/(X)/(x)=-----

且满足J2-11-2、八，，故八'2'-1为奇函数；

2X-]

f(x)=----

当m=-I时，2、+1,其定义域为R关于原点对称，

/./、2-r-11-2',/\2'-1

./(-X)==——=-f(x)/(x)=---

且满足2、+11+2、，故2+1为奇函数，

即函数2'为奇函数不能推出，〃=1,还可能是加=-1

2X+m

/(X)

故"机=1”是"函数2》一加为奇函数”的充分不必要条件,

故选：A

6,已知函数/(')=25出(勿工+9)(0＜夕＜兀)的部分图像如下图所示，将/(x)的图像向

白y=*(x)kg(x)+gg)

左平移12个单位后得到函数)一的图像，则函数的最小值为()

9_7

A.~4B.4C.4D.0

【答案】B

【解析】

f(x)=2sinI2x+—

【分析】先计算I3，再由平移得g（"）=2c°s2x,代入并配方计算即

可.

-T=---,T=it

【详解】由图可知4123，故0=2,

71f(x)=2sinf2x+y

（p——

又°＜夕＜兀，故3,故

7T

g(x)=2i:sin2x+—+—=2cos2x

则123

g(x)+g2cos2x+2cosx=4cos2x+2cosx-22cosx+-

则2

cosx=--y=g(x)+gjq]--

当4时，12J的最小值为4.

故选：B

7.为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中

各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区

间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）

频数

7

6

5一•

4

3

2

1

0开「一□’%「知一口-开事丁丁

5758596768697987888998分数

甲班物理成绩

A.甲班众数小于乙班众数B.乙班成绩的75百分位数为79

C.甲班的中位数为74D.甲班平均数大于乙班平均数估计

值

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知数据图，计算甲班众数和乙班众数，判断A；根据频率分布直方图计算

乙班成绩的75百分位数，判断B；求出甲班的中位数，判断C；求出两个班级的平均分，

即可判断D.

【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79,

乙班众数设为x,则xe170,80),由于物理成绩均为整数，故70<x<79,

故甲班众数不小于乙班众数，A错误；

对于乙班物理成绩的频率分布直方图，

前三个矩形的面积之和为(8°2°+085+0.030)x10=0.75,

故乙班成绩的75百分位数为80,B错误；

由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，

故甲班的中位数为79,C错误；

甲班平均数为

—57x2+58+59+67+68x2+69x2+79x6+87+88x2+89+98…

x™=----------------------------------------------------=74.8

120,

乙班平均数估计值为

.=10(55x0.02+65x0.025+75x0.03+85x0.02+95x0.005=71.5<74.8

即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确，

故选：D

8,已知定义域为［°』］的“类康托尔函数"3满足：①一“<々41,

/(x,)</(x2)；②③/(x)+/(l-x)=l则泡卜()

1111

A.32B.64C,128D.256

【答案】C

【解析】

2

【分析】根据函数的定义分别赋值得到2,然后再利用

/。）=2不）〃x）=2"号）V0<…<1

⑸得到3,再次赋值，利用VUS%<X2SI,

/（』）"/（/）即可求解.

【详解】因为（“2<1,/0）令8=0可得：/（0）=0,

又因为/（x）+/（l-x）=l,令x=0可得：/。）=1,令“2可得：”5）2,

/（A.佃可得:左）=2吟*餐）…2”熨

令x=l，〃=7,则有/⑴=2"（三）=128/（］访），所以/弓而）=击，

x=1A.心=26/弓）=6”（士）=:/$）=士

令2,"=6,则有2314582,所以1458128,

—!—<—!—<―/（—!—）</（—!—）</（—!—）

因为218720231458,所以218720231458,

---—/（----）<f（----）-

也即1282023128,所以2023128,

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分.

9,通过长期调查知，人类汗液中A指标的值X服从正态分布N°Q2-52）则（）

参考数据：若则。（〃—。“——。”。他？；

P（〃-+2。）=0.9545

A.估计100人中汗液A指标的值超过10的人数约为50

B.估计•1°。人中汗液A指标的值超过12.5的人数约为16

C.估计100人中汗液A指标的值不超过15的人数约为95

5

D.随机抽检5人中汗液A指标的值恰有2人超过10的概率为16

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正态分布的性质，进行ABC选项的判断；结合正态分布的性质以及二项分

布的概率计算公式即可判断选项D.

【详解】由〃=1°,可得汗液A指标的值超过10的

P（X>10）=-

概率为2.所以100人中汗液A指标的值

100x1=50

超过1°的人数约为2，故A对；

同理，D选项中，随机抽检5人中汗液A指标的值恰有

2人超过1。的概率为：（2八2J16,故口对；

由〃+cr=10+2.5=12.5,所以100人中汗液A指标的值

超过12.5的人数约为-12$）

=100xU（匕咕“空£）100X匕”竺“16

2=2,B对；

由〃+2b=10+2.5x2=15,100人中汗液A指标的值

不超过15的人数约为

100x：X«〃+2b）+p（〃_2b4XK〃+2o~）

=100x（>89545+095451

I2八98,故c错.

故选：ABD

10.已知对任意平面向量"8=GJ),把刀绕其起点沿逆时针方向旋转°角得到向量

力P=(xcos6-ysine,xsin6+ycose),叫做把点B绕点/沿逆时针方向旋转。角得到点

P.已知平面内点(，)，点(，)，网=2应,而石>0,点a绕点力沿

71

逆时针方向旋转3角得到点P，则o

A网=2&B.万=(一2,2)

C.8的坐标为-I)D.P的坐标为(3+"'")

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意表示出"8=(5),结合题设可求得"2,即得"8=(2,-2),

'(4一1),判断B，C；根据题中定义求得N坐标，可得点P坐标，判断D；再求得

所=(若-1,6+1),求得其模，判断A.

【详解】由题意可知点"°」)，点8(2+，/-)，故”=(5),

因为|阔=2&,故八(_/)2=8,」2=4,

又在•方>0,即。,-。(2,1)>0,,2->0,.」>0,故f=2,

所以"=(')，(’),故B错误，C正确；

71

因为点B绕点A沿逆时针方向旋转3角得到点P,

AP=2cos—+2sin—,2sin--2cos—^=(1+G,73-1)

所以13333),

则由(1+百，百T)+(2,1)=(3+瓜扬，可得点P坐标为(3+瓜6),故D正确；

故而=(痒1,百+1),则网751)2+(6+1)2=20A正确，

故选：ACD

22

rv、

C,——2~=l（Q〉O,b〉O）

11.已知。为坐标原点，离心率为3的椭圆crS的左，右焦点

分别为片，鸟，C与曲线N=c°"恰有三个交点，则（）

A.椭圆C的长轴长为百

B.C的内接正方形面积等于3

C.点印在C上，吟,吟，则△啊B的面积等于1

D.曲线C与曲线y=J^x_41nx+21n2-1没有交点

【答案】BCD

【解析】

【分析】由椭圆与余弦函数都关于歹轴对称，可得其中一个交点为（°』），从而可求6=1,

，2I

—+V=1

3%2=3

根据离心率求得4=百，从而可判断A；联立U=x，求出4,从而可判断

B；设防|=私|吟|=〃，根据椭圆的定义可得加+〃=2昆又/+〃2=（2C）2=8,

V2,

一+y=1

<3

从而可求加〃，即可求面积，从而可判断C；设直线，：N=-X+2,联立〔N=—x+2,

可得直线/与椭圆C相切，且直线/在椭圆的右上方，设

/（x）=V2x-41nx+21n2-l-（-x+2））利用导数证明/（》）>°,从而可判断D.

C\—-+:-y=l（ci>0,b>0）

【详解】因为椭圆a-b-与曲线N=cosx都关于y轴对称，且c与

曲线歹=co&r恰有三个交点,

所以其中一个交点的横坐标为o.

又cos°=1,所以该交点坐标为（0，1）,所以6=1.

『3,解得"二百,

因为椭圆的离心率为3,所以&

故椭圆C的长轴长为2G,故A错误.

椭圆的方程为3',

设0的内接正方形与C在第一象限的交点为P，设尸(x/)G>°),

—+/=1

323

联立〔丁="，可得4,

2

故C的内接正方形面积为W.2忖=以一=3,故B正确

设网”网=〃，因为点用在G上所以网+网=加+〃=26

因为他，吟，所以苏+〃J(2C)2=8

所以(帆+a7-2机〃=12—2机〃=8,解得相〃=2.

S=L〃2〃=JX2=1

所以的面积为22,故c正确.

设直线，：y=_x+2,

(x221

—+=1

,3

联立J=-x+2,可得x+3(-x+2)=3,即4/-12X+9=0,

△=(一12)—4x4x9=。,所以直线/与椭圆c相切，且直线/在椭圆的右上方.

设/(x)=y/2x-41nx+2In2-1-(-x+2)

=(s/2+l)x-41nx+21n2-3(x>0)

J(x)=0+1—“(x)=o可得x=高=46-1)

当"(4(3-1))时，r(x)<0,函数/(x)单调递减；

当》《(起-1)+8)时，f%)>0,函数/(x)单调递增

所以"心力)

=(s/2+1^<4(V2-1)-4111^4(72-1)1+211-12-3

=l+21n2-41n^4（V2-l）j=l+21n2-4ln4+ln伊-1）

=1-61n2-41n伊-1）=1-61n2+ln/+lJ

=1-61n2+ln«7+12及）

«7+12夜）e（17+⑵义2.5

=In--------L>]nA-----L——>o

6464,

即即正》一41nx+21n2-l〉一x+2,

故函数^二血刀-41nx+21n2—l的图象在y=—x+2的上方，

所以曲线C与曲线》=四》一4山》+21n2-1没有交点，故D正确.

故选:BCD.

【点睛】关键点睛：

(1)由椭圆与余弦函数都关于了轴对称，可得其中一个交点为(°』)；

(2)取直线，：N=-X+2,根据直线/与椭圆的位置关系及直线/与曲线

y=届一41nx+21n2-l的位置关系求解.

<>、z/"3〃-1_12=3卜一1

12.已知数列也｝和色｝满足q=1,4=°,""4"2,2(，4厕

()

…1

a2-2b2=-(+2b\

A.2B.数列是等比数列

C.数列｛""-24｝是等差数列口.>a"

【答案】BCD

【解析】

【分析】通过合理赋值即可判断A,对B两式作和即可判断，对C两式作差即可判断，对

(1Y,+1.

aa

„+i~„=~T+]

D,通过BC选项求出〈'J,则可判断D正确.

a-,=—tz]——+1=—2b-,—~~b}——--1=——

【详解】对A选项，令〃=1,则-424,244,

b2=--_2ha2-2b2=-

则-8,则4一“2-"则4,则A错误,

a］+2b［=—a+b=—(a+2b)

对B选项，由题意中两式相加得22。故B正确,

对C选项，由题意中两式作差得一2bli+1=an-2bn+2,

即Q+i-2&J-Q-22)=2,则c正确，

对D选项,由B得。—"I),a„-2bn=l+2(n-i)=2n-l

2%=以+(2〃一1)

两式相加得,

/I

--+］〉0

若〃Nl,〃eN,显然I2),则%+1>%成立，

故选：BCD.

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13已知sina+sin/=1cosa+cos^=V2则一△)=

【答案】2##0.5

【解析】

【分析】将已知两式平方相加，结合两角差的余弦公式，即可求得答案.

［详解］因为sina+sin/?=1,cosa+cos^=J^

故(sina+sin/?)2=sin2a+sin2/+2sinasin4=1

(cos6Z+cos/7)2=cos2a+cos2/7+2cosacos万=2

以上两式相力口可得2+2sinasin尸+2cosacos/7=3,即2(sinasin/y+cosacosfi)=1

cos(a-^)=-

故2,

故答案为：2

14.将8块完全相同的巧克力分配给Z,B,C,。四人，每人至少分到1块且最多分到3

块，则不同的分配方案共有种(用数字作答).

【答案】19

【解析】

【分析】将分配方案分为3类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理解决即可.

【详解】满足条件的分配方案可分为3类，第一类每人2块，第二类有两人3块，两人1

块，第三类，一人3块，一人一块，2人2块，

属于第一类的分配方案有1个，

属于第二类的分配方案有C；个，即6个，

属于第三类的分配方案有个，即12个，

故满足条件的分配方案的总数为19个，

故答案为：19.

15.已知0为坐标原点，抛物线C：「=2PX(P>O)的焦点为尸，过口的直线交C于

A,8两点，A,8中点。在x轴上方且其横坐标为1,卜却=3,则直线力8的斜率为

【答案】6

【解析】

y=k(x->0)

【分析】设出直线的方程为：2，将直线方程与抛物线方程联立,

利用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标即可求解.

【详解】由题意可知：直线N8的斜率存在且大于零，

则设直线45的方程为：，一贴2)(“>°),4&，%)*(%2，%),

y2=2Px

Iy=k(x--)k2x2-(k2p+2p)x+-0

联立方程组12,整理可得：4,

X]+修=p（l+

则4,又因为43中点。的横坐标为1,

c八2、2k2

药+吃=2=。（1+/）P=7TF

所以《，则k+2,

由弦长公式可得:

|/1S|=Jl+%~一%|=Jl+%~Ja+%）~-4%1•==J1+左~^4—p~

,\2

2k2

19=（1+公）（4"）=（1+公）4-

+吃

阿=3,则有2

又因为

化简整理可得：2/+左2—10=°,即（斤2-2）（2卜+5）=°,解得：攵2=2,

因为左＞0,所以k=6,

故答案为：母

16.已知球。的半径为2,圆锥沙的顶点和底面圆周上的点均在球。上，记球心。到圆锥

少底面的距离为〃，圆锥沙的底面半经为〃.则（1）〃.尸的最大值为:（2）圆锥

W体积的最大值为.

256兀256

-------------------7T

【答案】①.2②.81##81

【解析】

【分析】讨论球心与圆锥的位置关系，确定力"的关系，结合基本不等式求〃•r的最大值,

由锥体体积公式表示圆锥序体积，利用导数求其最值.

【详解】当球心在圆锥内或圆锥的底面上时，过圆锥的轴作截面可得:

B

则/0|=r,OA=OB=2,OOi=ho<h<2

所以/+川=4,

r2+h~

rh<

所以2当且仅当〃=h=五时等号成立,故汕的最大值为2,

V=；兀「2（2+0）=；兀8一02）（2+右）

圆锥的体积其中0。<2,

1

V=-71(8+4A-2A2-/23)

所以3

=--7i(3A2+4/7-4)=-1K(3A-2)(A+2)

所以3I)

2

o</?<-r=-n(8+4h-2h2-h3}

当3时，广>0,函数3单调递增,

2

-<h<2V=-7t(8+4/?-2A2-//3)

当3时，P'<0,函数3单调递减,

h=Z256K

当3时，体积厂取最大值，最大值为81

当球心在圆锥外时，过圆锥的轴作截面可得:

D

则0。2=八OC=OD=2,O02=h,o<A<2

所以/+川=4,

公李=2r

所以2,当且仅当厂=力=12时等号成立，故泌的最大值为2,

V^-m2(2-A)=-7t(4-/22Y2-//)

圆锥的体积33'',其中°<//<2,

V=-7i(8-4h-2h2+h3)

所以3'7

P，=,兀(3/?2_4〃-4)=1兀(3"+2)(〃一2)

所以33

,0＜V（h）＜—

当°＜力＜2时，V＜0,函数'（刀单调递减，所以3

256无

综上所述，〃•尸的最大值为2,圆锥力体积的最大值为81

256兀

故答案为：2；81.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.在^ABC中，sinB-sinC•cosJ+2sirU•sinC•cos5=3siivl-sinfi•cosC,内角A,

B,0的对边分别记为Jb,c.

a2+2b2

2

（1）求c的值；

（2）求cosC的最小值.

【答案】（1）3；

72

(2)3

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算可得/+2〃=3c2,从而

a2+2b2

代入c?,即可求解出答案：（2）根据余弦定理，结合（1）的结论化简表示得

ab

cosC---1---

3b6a,再利用基本不等式即可求解cosC的最小值.

【小问1详解】

由正弦定理边角互化可得,

bc-cosJ+lac-cosB=3ab-cosC,

餐士2℃.立X=3奶三

be-

由余弦定理得，2hc2ac2ab

+/+,2一心3任+〃-。2)

化简得22

从而得3c2-。2-2〃=0,即/+2〃=3c2,

a2+2h23c之

c2--cF

【小问2详解】

由余弦定理得，

ccr-c23/+3〃-3c23/+3/-d+2〃)2/+/ab

cosC=--------------=-------------------=--------------------------=----------=—+—

2ab6ab6ab6ab3b6a

因为在&48c中a,b均大于0,

.•・COsCdjJ^q

3b6aN3b6a3

a_b

当且仅当弘6a,即〃=2/时取等号，

也

所以cosC的最小值为3.

【点睛】思路点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为

边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦

定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范

围.

18.如图1所示，在ANBC中，点E,F在线段上，点力在线段8C上，

AE=