高中文科数学-第十章-概率课件

第一节随机事件的概率1．概率和频率(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用______________来估计概率P(A)．频率fn(A)名称定义符号表示包含关系如果事件A_______，则事件B__________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)______(或______)相等关系若BA，且_______，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)某事件发生当且仅当____________或___________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)______(或______)发生一定发生事件A发生事件B发生A∪BA＋B2.事件的关系与运算交事件(积事件)某事件发生当且仅当___________且__________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)______(或____)互斥事件若A∩B为_______事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝对立事件若A∩B为_______事件，A∪B为__________，那么称事件A与事件B互为对立事件

事件A发生事件B发生A∩BAB不可能不可能必然事件3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：____________．(2)必然事件的概率P(E)＝____．(3)不可能事件的概率P(F)＝__．(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝___________．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝_________．0≤P(A)≤10P(A)＋P(B)1－P(B)11．频率与概率有什么区别与联系？【提示】

频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2．互斥事件与对立事件有什么区别和联系？【提示】

两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件．【解析】

由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2000张也可能不中奖．【答案】

D2．(2013·泰安模拟)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为(

)A．①

B．②

C．③

D．④【解析】

至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．【答案】

B3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(

)A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.5【解析】

“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.【答案】

C4．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．5．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________．(结果用最简分数表示)．判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件，某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是女生．【思路点拨】

首先明确任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果进一步判定事件间的关系．【尝试解答】

(1)是互斥事件，不是对立事件．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生；但其并事件不是必然事件．所以是互斥事件，不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)是互斥事件且是对立事件．“至少有1名男生”，即“选出的两人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以也是对立事件．

1．求解的关键是明确“任选2名同学”的各种可能情况，看研究的事件包含哪些试验结果，从而判定事件间的关系．2．(1)对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解．(2)对立事件是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】

(1)是互斥事件，不是对立事件．“抽出黑桃”与“抽出红桃”是不可能同时发生，但可以都不发生，所以两事件互斥不对立．(2)是互斥事件，且对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

(2013·唐山质检)如图10－1－1所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【思路点拨】

(1)根据频数分布表计算频率，利用频率估计概率；(2)分别根据不同路径估计概率，并比较大小，做出判定．【尝试解答】

(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5.∴估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)，因此，甲应该选择路径L1，同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分别为48÷60＝0.8，36÷40＝0.9，∴估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，因此乙应该选择路径L2.

1．(1)解题的关键是正确计算选择不同路径时，事件发生的频率，并用频率估计概率；(2)第(2)问的实质是比较选择不同路径概率的大小．2．概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率越稳定于一个常数，可用频率来估计概率．(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图10－4－2所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．图10—1—2国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率．【思路点拨】

该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率．另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率．【尝试解答】

记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则B表示事件“射击一次，命中不足8环”．又B＝A8＋A9＋A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.∴P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.

1．解答本题时，首先应正确判断各事件的关系，然后把所求事件用已知概率的事件表示，最后用概率加法公式求解．2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法．【答案】

C1.频率与概率有本质的区别．频率随着实验次数的改变而发生变化，概率是大量随机事件现象的客观规律，是一个常数．2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)．从近两年高考命题看，随机事件及其概率基本上不单独考查，但概率与统计交汇(如2012·北京)、互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型渗透是命题的热点，题目不超过中等难度，重点考查学生分析问题与数学计算能力，解题的关键是准确理解事件间关系及其概率．

(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.思想方法之十八用正难则反思想求

互斥事件的概率一次购物量1至4件5至8件9至12