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千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐(完整版)利用微分中值定理证明不等式微分中值定理证实不等式

微分中值定理主要有下面几种：

1、费马定理：设函数()fx在点0x的某邻域内有定义,且在点0x可导,若点0x为()fx的极值点,则必有

0()0fx'=.

2、罗尔中值定理：若函数()fx满足如下条件：

（1）()fx在闭区间[,]ab上延续；

（2）()fx在开区间(,)ab内可导；

（3）()()fafb=,

则在开区间(,)ab内至少存在一点ξ,使得

()0fξ'=.

3、拉格朗日中值定理：若函数()fx满足如下条件：

（1）()fx在闭区间[,]ab上延续；

（2）()fx在开区间(,)ab内可导；

则在开区间(,)ab内至少存在一点ξ,使得

()()()fbfafba

ξ-'=-.4、柯西中值定理：若函数()fx,()gx满足如下条件：

（1）在闭区间[,]ab上延续；

（2）在开区间(,)ab内可导；

（3）()fx',()gx'不同时为零；

（4）()()gagb≠；

则在开区间(),ab内存在一点ξ,使得

()()()()()()

ffbfa

ggbgaξξ'-='-.

微分中值定理在证实不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵便运用相关微分中值定理,举行系统的分析,从而得以巧妙解决.

例1、设⑴(),()fxfx'在[,]ab上延续；

⑵()fx''在(,)ab内存在；

⑶()()0;fafb==

⑷在(,)ab内存在点c,使得()0;fc>

求证在(,)ab内存在ξ,使()0fξ'',1xx=也是极大值点,所以

1()0fx'=.由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2!

ffafxfxaxaxaxξξ'''-=-+-∈.所以()0fξ''时成立.

下证当0ba<<时,有

lnabaababb

--<<①作辅助函数()lnfxx=,

则()fx在[,]ba上满足拉格朗日中值定理,则(,)baξ?∈使

lnln1ababξ

-=-②因为0baξ<<<,所以

111ab

ξ<<③由②③有1lnln1abaabb

-<<-,即lnabaababb

--<<.总结：普通证实办法有两种

①利用泰勒定理把函数()fx在特别点绽开,结论即可得证.②利用拉格朗日中值定理证实不等式,其步骤为：第一步按照待证不等式构造一个合适的函数()fx,使不等式的一边是这个函数在区间[,]ab上的增量()()fbfa-；

其次步验证()fx在[,]ab上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为(

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