组合与组合数1

组合与组合数的两个性质徐文超工作室制作问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙有顺序无顺序

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合定义:排列定义:

一般地说，从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.思考:排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？

共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?判断下列问题是组合问题还是排列问题?

(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?

有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc

如:已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)6个练习:

中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军．（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况。（1）中国—美国中国—古巴中国—俄罗斯美国—古巴美国—俄罗斯古巴—俄罗斯（2）冠军中中中美美美古古古俄俄俄亚军美古俄中古俄中美俄中美古组合数:从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示如:思考:如何计算:写出从a,b,c,d

四个元素中任取三个元素的所有组合。aabc

，abd

，acd

，bcd.bcddbccd写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有排列.cdbdbccdacadbdadabbcacabbcdacdabdabcbacd组合（先取）排列（排序）abcabdacdbcdabc

baccabacb

bca

cbaabdbaddabadb

bda

dbaacdcaddacadc

cda

dcabcd

cbd

dbcbdc

cdb

dcb组合数公式:

从n个不同元中取出m个元素的排列数1、我们2、等式特点：等式两边下标相同，上标之和等于下标．3、此性质作用：当m>n/2时，计算可变为计算，能够使运算简化．4、（x,y,n为自然数）规定：Cn

=10mCn

n-mCn

当Cn

=Cn

时，则x=y或x+y=nxyCn

=Cnn-mm性质1：我说…Cn

=Cnn-mm性质1：m!(n–m)!∵Cn

=mn!=n!m!(n–m)!又Cn

=n-mn!

(n–m)![n-(n–m)]!∴Cn

=Cnmn-m证明：我来试一试！性质2.

Cn+1=Cn+Cn

mmm-1(m-1)![n-(m-1)]!证明:∵Cn

+Cn=

+n!m!(n–m)!n!mm-1=n!(n–m+1)+n!mm!(n–m+1)!

=(n–m+1+m)n!m!(n+1–m)!=(n+1)!m![(n+1)–m]!=Cn+1m∴Cn+1=Cn

+Cn

.mmm-1…证明来我C5016练习:C8=

C7+

C7323C49+

C49=

16

15

C10=

4

特例1:2:Cn+1=

Cn

+

Cnm

?

?Cn+1=

Cn+

Cnm

m-1

mC9+

C934

?+??…猜我例1计算：⑴

⑵

．例2求证：

（2）已知C18=C18

，求n的值1、计算：（1）C100

98（2）C200620053、n3n-62、(1)已知Cn=Cn

，求n的值137已知C15=C15

，求x的值x22x练习与巩固2、求的值4、（1）求证：Cn+1=Cn

+Cn-1+Cn-1mm-1mm-14、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值

2

2

2222(2)求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值

222222巩固：1、

C100－C9990