2022届高考数学一轮总复习第八篇第7讲立体几何中的向量方法理湘教版

第7讲立体几何中的向量方法（一）A级基础操练时间：30分钟满分：55分一、选择题每题5分，共20分1．若直线1，2的方向向量分别为a＝2,4，－4，＝－6,9,6，则．bA．∥2B．1⊥21C．1与2相交但不垂直D．以上均不正确答案B2．若直线的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使∥α的是．A．a＝1,0,0，n＝－2,0,0B．a＝1,3,5，n＝1,0,1C．a＝0,2,1，n＝－1,0，－1D．a＝1，－1,3，n＝0,3,1解析若∥α，则a·n＝·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0答案D3．平面α经过三点A－1,0,1垂直的是

，B1,1,2

，C2，－1,0

，则下列向量中与平面．

α

的法向量不B．6，－2，－2C．4,2,2

D．－1,1,4解析

设平面

α

的法向量为

n，则

n⊥错误!、N分别为

BB1、C1D1的中点，成立适合的坐标系，求平面

AMN的一个法向量．解以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴成立空间直角坐标系如下图．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A1,0,0，M错误!，N错误!∴错误!N的一个法向量为n＝，，，∴错误!是线段EF的中点．求证：1AM∥平面BDE；2AM⊥平面BDF证明1成立如下图的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE则N错误!，E0,0,1，A错误!，错误!，0，M错误!∴错误!不共线．∴NE∥AM又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，AM∥平面BDE2由1知错误!⊥DF同理AM⊥BF又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDFB级能力打破时间：30分钟满分：45分一、选择题每题5分，共10分1．已知错误!在AC1上且错误!，，，∵点M在AC1上且错误!错误!，|错误!，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与ON上，∴Q＋Q＝3，∴＋＝1，即点P坐标知足＋＝1∴有2个切合题意的点P，即对应有2个λ答案2三、解答题共25分5．12分在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．1求证：EF⊥CD；2在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．1证明如图，以DA、DC、DP所在直线分别为轴，轴、轴成立空间直角坐标系，设AD＝a，则D0,0,0、Aa,0,0、Ba，a,0、C0，a,0、E错误!、P0,0，a、F错误!错误!＝错误!，错误!＝0，a,0．∵错误!·错误!＝0，∴错误!⊥错误!，即EF⊥CD2解设G,0，，则错误!＝错误!，若使GF⊥平面PCB，则由错误!·错误!＝错误!·a,0,0＝a错误!＝0，得＝错误!；由错误!·错误!＝错误!·0，－a，a2＝错误!＋a错误!＝0，得＝0∴G点坐标为错误!，即G点为AD的中点．6．13分2022·湖南如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．1证明：CD⊥平面PAE；2若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．解如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴成立空间直角坐标系．设PA＝h，则有关各点的坐标为：A0,0,0，B4,0,0，C4，3,0，D0,5,0，E2,4,0，P0,0，h．1易知错误!＝－4,2,0，错误!＝2,4,0，错误!＝0,0，h．因为错误!·错误!＝－8＋8＋0＝0，错误!·错误!＝0，所以CD⊥AE，CD⊥，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE2由题设和1知，错误!·错误!分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|co〈错误!，错误!〉|＝|co〈错误!，错误!〉|，即错误!＝错误!由1知，错误!＝－4,2,0，错误!＝0,0，－h，又错误!＝4