2022-2023学年山西省临汾市霍州开元街道办事处联合学校高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年山西省临汾市霍州开元街道办事处联合学校高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B2.如图所示是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】在正方体中切割三棱锥，根据各边长度计算各面面积．【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P﹣ABC，故AC＝1，PA﹣2，BC＝，∴SABC＝SPAC＝，，，∴多面体的表面积为．故选：D．【点睛】本题考查了棱锥的三视图与表面积计算，属于中档题．

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于（）A．54B．45C．36D．27参考答案：A4.函数在下列哪个区间上是增函数()A．(－∞，]

B．[，＋∞)C．[1,2]

D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)参考答案：A略5.{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24

B．27

C．30

D．33参考答案：D6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（

）（参考数据：，，）A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年参考答案：B试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．7.已知函数，若f(a)=1则f(-a)=（）A.0

B.-1

C.-2

D.-3参考答案：D考查奇函数特性，故选D8.在等比数列中，若，与的等比中项为，则的最小值为

（

） A．4 B． C．8 D．16参考答案：C9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，累加各个面的面积，可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，其底面半径为1，高为2，故其表面积：，故选：．【点睛】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}的前n项和为（n∈N*），对任意正整数n，数列{bn}的项都满足等式，则bn=．参考答案：考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列{an}的前n项和Sn，表示出数列{an}的前n﹣1项和Sn﹣1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入也满足，故此数列为等差数列，求出的an即为通项公式，即可求出bn即为通项公式．解答：解：当n=1时，S1=2×12=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，又n=1时，a1=2，满足通项公式，∴此数列为等差数列，其通项公式为an=4n﹣2，又数列{bn}的项都满足等式，则bn==，即．故答案为：．点评：此题考查了等差数列的通项公式，灵活运用an=Sn﹣Sn﹣1求出数列的通项公式是解本题的关键．12.已知实数满足，若的最大值为则参考答案：013.已知集合|，若，则实数m的取值范围是

参考答案：14.（文）某高校随机抽查720名的在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是，则

.参考答案：200了解商品最新信息的人数有，由，解得15.函数的定义域为

参考答案：16.对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有,那么我们称和在上是接近的．若与在闭区间上是接近的，则的取值范围是

△

．参考答案：答案：17.已知实数、满足，则的最大值是__________．参考答案：在坐标系中作出不等式组的可行域，三个顶点分别是，，，由图可知，当，时，的值最大是．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知椭圆的焦距为，离心率为.(1)求椭圆方程；(2)设过椭圆顶点B(0，b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．参考答案：（1）椭圆的方程为＋y2＝1.（2）当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，k2＝.19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．（1）求a，b，c的值；（2）求方向上的投影．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）?，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b．即可得出．（2）由（1）可知：cosA=，可得cosC=cos2A=2cos2A﹣1．由于与的夹角为（π﹣C），可得方向上的投影=cos（π﹣C）．【解答】解：（1）∵a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．∴可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：=，化为．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）?，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b=5．∴a，b，c的值分别为4，5，6．（2）由（1）可知：cosA=，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1=．∵与的夹角为（π﹣C），∴方向上的投影=cos（π﹣C）=5×（﹣cosC=）=﹣．20.（本小题满分12分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：求数列{bn}的通项公式；(3)令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式∴数列{an}的通项公式为an＝2n.∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1∴Hn＝。∴数列{cn}的前n项和Tn＝＋.21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是圆切线,是切点,割线是圆的直径，交于，，,.（1）求线段的长；（2）求证：.

参考答案：见解析【知识点】几何选讲解：（Ⅰ）因为是圆直径

所以,

，又,，

所以，

又可知，所以

根据切割线定理得：

，

即

（Ⅱ）过作于，

则，从而有，

又由题意知所以，

因此，即

22.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．参考答案：解：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；从而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2；显然k1≠k2；直线AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；设点C的坐标为（x1，y1），则2?x1=，从而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；又直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．

…（16分）考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据椭圆的几何性质，利用离心率e以及AB的长，求出a、b的值；（2）方法一：结合椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，利用斜率的关系，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，计算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N的坐标，计算kMN的值；从而得出正确的结论．方法二：利用椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线的斜率，由直线与椭圆联立，求出M、N点的坐标，计算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N点的坐标，计算kMN的值，即可得出正确的结论．解答：解：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；从而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从