2022年四川省德阳市广汉金轮中学高二数学理期末试题含解析

2022年四川省德阳市广汉金轮中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（

）（参考公式：）A.2 B. C.4 D.参考答案：B【分析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.则在中，有，再根据体积为可求及，在中，有，解出后可得正确的选项.【详解】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.设底面正方形的边长为，正四棱锥的高为，则.因为该正四棱锥的侧棱长为，所以，即……①又因为正四棱锥的体积为4，所以……②由①得，代入②得，配凑得，，即，得或.因为，所以，再将代入①中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半径等于.故选B.【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.2.已知向量，向量垂直，则实数的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.以椭圆+=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线渐近线方程是（） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x参考答案：B【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质． 【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出椭圆的焦点与顶点坐标，即可求出双曲线的顶点与焦点坐标，然后求解双曲线渐近线方程． 【解答】解：椭圆+=1的焦点（±1，0），顶点（±2，0）， 可得双曲线的a=1，c=2，b=， 双曲线渐近线方程是：y=x． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 4.化简(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选D；6.下列判断错误的是（）A．“am2＜bm2”是“a＜b”成立的充分不必要条件B．命题“?x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02﹣1＞0”C．“若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题参考答案：D【考点】四种命题．【分析】利用特称命题的性质，充要条件的定义，全称命题的性质，及复合命题真假的判断方法，逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：“am2＜bm2”能推出“a＜b”，但是，由“a＜b”当m=0时，则推不出“am2＜bm2”故A正确；全称命题的否定为特称命题，则命题“?x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02﹣1＞0，故B正确；若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直，为真命题，则其逆否命题为也真命题，故C正确若p∧q为假命题，则p，q可能一个为真命题，一个为假命题，故D错误，故选D【点评】本题考查逻辑语言，充要条件的判断及复合命题真假性的判断．属于基础题．7.已知直线l过点，且倾斜角为150°，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为若直线l交曲线C于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为()A.5 B.7 C.15 D.20参考答案：B【分析】先写出直线的参数方程,再把曲线C的极坐标化成直角坐标,把直线的参数方程代入圆的方程整理,利用直线参数方程t的几何意义求解.【详解】由题知直线l的参数方程为(t为参数)，把曲线C的极坐标方程ρ2－2ρcosθ＝15化为直角坐标方程是x2＋y2－2x＝15.将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋3t－7＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－7，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝7.故答案为：B.【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程，考查极坐标化直角坐标，考查直线和曲线的弦长计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,.当动点在定点下方时,.8.平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有

A．l∥β

B．l?β

C．l与β相交

D．以上三种情况都有可能参考答案：D略9.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（

） A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D.α∥β或α与β相交参考答案：D10.设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（） A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴|PF1|=2x，|F1F2|=x， 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=x， ∴C的离心率为：e==． 故选D． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________．参考答案：：：设正四棱锥底面中心为O，则由题意知O为半球所在球的球心，且SO⊥平面ABCD，设球的半径为r，则OS＝OA＝OB＝OC＝OD＝r，所以AB＝r，S四边形ABCD＝AB2＝2r2.所以正四棱锥的体积V1＝×S四边形ABCD×OS＝×2r2×r＝.解得r＝.所以半球的体积V＝×πr3＝π×()3＝π.12.已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝______.参考答案：略13.已知函数f（x）=x3+ax2，曲线y=f（x）在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，则切线方程为．参考答案：3x+y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义和两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，b，即可求出切线方程．【解答】解：函数的导数为y′=f′（x）=3x2+2ax，∵曲线在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，∴曲线在点P处的切线斜率k=﹣3，即k=f′（﹣1）=3﹣2a=﹣3，解得a=3，此时f（x）=x3+3x2，此时b=f（﹣1）=﹣1+3=2，即切点P（﹣1，2），则切线方程为y﹣2=﹣3（x+1），即3x+y+1=0故答案为：3x+y+1=0．14.已知函数在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数a的最大值为_______.参考答案：2【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.【详解】因为当时，有不等式成立，所以，令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，由题得所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.因为对，不等式恒成立，所以，因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.当x＞0时，，所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.所以，所以a＜e,所以正整数a的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.15.（5分）已知函数f（x）=mx+在x=处有极值，则m=_________．参考答案：-116.,则参考答案：117.的展开式中的系数是

．参考答案：243二项式展开式的通项为，∴展开式中x2的系数为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c均为实数，求证：．参考答案：【考点】不等式的证明．【分析】使用分析法，两边平方寻找使不等式成立的条件，只需条件恒成立即可【解答】证明：要证a2+b2+c2≥（a+b+c）2只要证3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca即证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca因为a2+b2≥2ab，b2+c2≥2ab，c2+a2≥2ca，所以2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca成立，且以上各步均可逆，所以原不等式成立．19.已知函数(1)当时，求不等式的解集；(2)已知关于的不等式的解集为，求的值。参考答案：解：(1)当时，当时，由；当时，由，不成立；当时，由；综上，所以，当时，不等式的解集为(2)记则由得，即由已知不等式的解集为亦即的解集为所以解得略20.(本小题满分12分)已知为直角梯形，,平面，(Ⅰ)求证：平面;(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得。 2分（Ⅰ）证明法一：因为，所以, 4分所以,,平面，平面，所以平面. 6分证明法二：因为平面，平面，所以,又因为=90°，即，,平面，平面，所以平面. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量，设平面的法向量，又,且所以所以平面的一个法向量为所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分21.设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.参考答案：（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得由,从而.所以，椭圆的方程为.（II）解：设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为由的面积是面积的2倍，可得，从而，即.易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程组消去，可得.由，可得，两边平方，整理得，解得，或.当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意.

所以，的值为.22.(本题满分13分)已知抛物线：的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点(在、之间)．（1）为抛物线的焦点，若，求的值；（2）如果抛物线上总存在点，使得，试求的取值范围．参考答案：（1）记A点到准线距离为，直线的倾斜角为，由抛物线的定义知，……………（2分）∴，………………