2022-2023学年安徽省黄山市富蝎中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年安徽省黄山市富蝎中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设2a=5b=m，且，则m=（）A．B．10C．20D．100参考答案：A略2.已知双曲线的右焦点为F，其中一条渐近线与圆（x﹣c）2+y2＝a2（c2＝a2+b2，c＞0）交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心坐标与半径，利用点到直线的距离，结合已知条件转化求解即可．【详解】解：双曲线的右焦点为F（c，0），一条渐近线方程为：bx﹣ay＝0，圆（x﹣c）2+y2＝a2（c2＝a2+b2，c＞0）的圆心（c，0），半径为a，交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，可得：a，可得a2＞b2a2，又c2＝a2+b2，b2a2，可得c2，可得：e，得a2＞b2，可得e．所以双曲线C的离心率的取值范围是：．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力．3.如图，平面四边形ABCD中，E、F是AD、BD中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△，使平面⊥平面BCD，则四面体中，下列结论不正确是(

)A.EF∥平面B.异面直线CD与所成的角为90°C.异面直线EF与所成的角为60°D.直线与平面BCD所成的角为30°参考答案：C【分析】根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项A、B、C、D进行逐一判断其正确与否.【详解】解：选项A：因为E、F是AD、BD中点，所以，因为平面，平面，所以EF∥平面，所以选项A正确；选项B：因为平面⊥平面BCD，平面平面BCD，且∠BDC＝90°，即，又因为平面BCD，故平面，故，所以异面直线CD与所成的角为90°，选项B正确；选项C：由选项B可知平面，所以，因为AD＝CD＝2，即＝CD＝2，所以由勾股定理得，，在中，BC＝，在中，，故，即，因为，所以，故选项C错误；选项D：连接因为所以因为是中点，所以，因为平面⊥平面BCD，平面平面BCD，又因为平面，故平面，所以即为直线与平面BCD所成的角，在中，，，所以，所以，故直线与平面BCD所成的角为30°，故选项D正确，本题不正确的选项为C，故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明，能准确分析出线线、线面所成角等.4.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线C1的离心率为（）A. B.5 C. D.参考答案：C【分析】由双曲线C1与双曲线C2有相同的渐近线，列出方程求出m的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，解得，此时双曲线，则曲线的离心率为，故选C．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5.三个数，，的大小顺序是

A．

B．C．

D．参考答案：D6.若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0参考答案：C【考点】三角函数值的符号．【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．【解答】解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．7.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，Q为右支上一点，P点在直线x=﹣a上，且满足=，=λ（+）（λ≠0），则该双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1 C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由=，=λ（+）（λ≠0），可知OQ垂直平分PF2，求出P的坐标，可得Q的坐标，代入双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），可得出a，c的数量关系，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：∵=，=λ（+）（λ≠0），∴OQ垂直平分PF2，∴|OP|=c，∴P（﹣a，b），∴Q（，），代入双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），可得﹣=1，∴c﹣a=a，∴c=（+1）a，∴e==+1，故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A以D为原点，DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则D(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，B(2，2)∵E为BC的中点，∴，∴直线AE的方程为，直线BF的方程为联立，得∴，∴故选A点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用，向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.9.

．参考答案：

31

略10.已知数列是等差数列，且，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.____________.参考答案：12.是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：

略13.已知f（x）=，若a，b，c，d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为．参考答案：【考点】分段函数的应用．【分析】不妨设a＜b＜c，作出f（x）的图象，根据二次函数的对称轴可得a+d=8，根据对数函数的单调性和值域可得2＜a+b＜，进而可求得答案．【解答】解：不妨设a＜b＜c＜d，作出f（x）的图象，如图所示：当x＞2时，f（x）的对称轴为x=4，∵c与d关于x=4对称，∴a+d=8，由图象可知0＜a＜1＜b＜2，当|log2x|=1，解得x=或x=2，∴2＜a+b＜，∴10＜a+b+c+d＜故答案为：14.下列命题：①函数在上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线两侧；③数列为递减的等差数列，，设数列的前n项和为，则当时，取得最大值；④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都写上）.参考答案：②④.略15.给出下列5个命题：①是函数在区间（，4]上为单调减函数的充要条件；②如图所示，“嫦娥探月卫星”沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行,若用2Cl和2c2分别表示摘圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则有；③函数与它的反函数的图象若相交，则交点必在直线y=x上；④己知函数在（O,1)上满足，，贝U；⑤函数.，，/为虚数单位）的最小值为2其中所有真命题的代号是_____________________参考答案：②④.略16.下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的有

。（填写所有符合条件的序号）①

②

③

④

参考答案：②④试题分析：①令,,为奇函数;②,为偶函数,当时,,此时在上单调递增;③因为函数的定义域为,可知此函数为非奇非偶函数;④即,所以此函数为偶函数,又当时,此时函数在上单调递增.综上可得符合要求的有②④.考点：函数的单调性,奇偶性.17.①存在α∈(0，)使sinα＋cosα＝；②存在区间(a，b)使y＝cosx为减函数且sinx＜0；③y＝tanx在其定义域内为增函数；④y＝cos2x＋sin(－x)既有最大、最小值，又是偶函数；⑤y＝|sin(2x＋)|的最小正周期为π，以上命题错误的为________(填序号)．参考答案：①②③⑤

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣ax﹣2（e是自然对数的底数a∈R）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若k为整数，a=1，且当x＞0时，恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．参考答案：解：（1）f′（x）=ex﹣a．若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的增区间为（lna，+∞）；（2）由于a=1，所以f′（x）＜1?（k﹣x）（ex﹣1）＜x+1，当x＞0时，ex﹣1＞0，故（k﹣x）（ex﹣1）＜x+1?k＜+x﹣﹣﹣﹣①，令g（x）=+x（x＞0），则g′（x）=+1=函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0可得ea=a+2，所以，g（a）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（a）．故整数k的最大值为2考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的增区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．解答：解：（1）f′（x）=ex﹣a．若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的增区间为（lna，+∞）；（2）由于a=1，所以f′（x）＜1?（k﹣x）（ex﹣1）＜x+1，当x＞0时，ex﹣1＞0，故（k﹣x）（ex﹣1）＜x+1?k＜+x﹣﹣﹣﹣①，令g（x）=+x（x＞0），则g′（x）=+1=函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0可得ea=a+2，所以，g（a）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（a）．故整数k的最大值为2．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立思想的运用，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．19.（本小题满分12分）如图，直角三角形中,分别为边的中点。将沿折起,使二面角的余弦值为，求：（1）四棱锥的体积;（2）二面角的余弦值.参考答案：【知识点】线面垂直、面面垂直的判定；棱锥的体积；二面角.G5G7G11【答案解析】(1)（2）解析：,过点作,因为为二面角的平面角，所以

----------3分

----------6分

（2），

.----------10分所以为二面角的平面角，.----------12分【思路点拨】本题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．20.（本题14分）已知数列的前项和为，满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，若对任意的正整数，均有，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）解：由

高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

由，两式相减得

(3分）

(5分)

是首项为，公比为的等比数列

．

（7分）高考资源网w。w-w*k&s%5￥u（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

（8分）

由（10分）

由得，所以（12分）

故的最大项为．

（13分）

若对任意的正整数，均有，则m

（14分）略21.已知的内角所对的边分别是，且，（1）求角A的大小；

（2）当取最大值时，求角的大小.参考答案：解：由，得