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文档简介
a11
x1
+
a12
x2
+
+
a1n
xn
=
b1
a
x
+
a
x
+
+
a
x
=
b21
1
22
2
2n
n
2设线性方程组
an1
x1
+
an2
x2
+
+
ann
xn
=
bn若常数项b1
,b2
,,bn不全为零,
则称此方程组为非齐次线性方程组;
若常数项
b1
,
b2
,,bn
全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念一、克拉默法则如果线性方程组
a11
x1
+
a12
x2
+
+
a1n
xn
=
b1(1)an1
x1
+
an2
x2
+
+
annxn
=
bn
a
x
+
a
x
+
+
a
x
=
b21
1
22
2
2n
n
2a1nan1
an
2
anna11
a12a22的系数行列式不等于零，即D
=a21a2
n
„
0DD
D
D
DD
D,
x
=
,
x
=
,
,
x
=
Dn
.x
=222
3
n11其中Dj
是把系数行列式D
中第j
列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n
阶行列式，即bnb1an1
an
,
j
-1
an
,
j
+1
anna11
a1
,
j
-1
a1
,
j
+1
a1nDj
=
那么线性方程组1)有解，并且解是唯一的，解可以表为证明用D中第j列元素的代数余子式A1
j
,A2
j
,,Anj依次乘方程组(1)的n个方程,得=
bnAnj(a
x
+
a
x
+
+
a
x
)A
=
b
A(an1
x1
+
an
2
x2
+
+
ann
xn
)Anj2 2
j21
1
22
2 2
n
n
2
j=
b1
A1
j
a11
x1
+
a12
x2
+
+
a1n
xn
)A1
j在把n
个方程依次相加，得n=
bk
Akj
,k=1由代数余子式的性质可知,上式中x
j的系数等于D,nn
n
k=1
k=1
k=1
ak1
Akj
x1
++akj
Akj
xj
++akn
Akj
xn于是
Dxj
=
Dj
j
=
1,2,,
n).DDDDDD
D,
x
=
,
x
=x
=n,
,
x
=
Dn
.232211而其余xi
i
„
j)的系数均为0;又等式右端为Dj
.2)当D
„0
时,方程组2)有唯一的一个解由于方程组2)与方程组1)等价,故D=
Dn
.DDD
DD
D,
x
=
,
x
=x
=n,
,
x232211也是方程组的1)解.二、重要定理定理4
如果线性方程组
1)的系数行列式则1)一定有解,且解是唯一的.D
„
0,定理4’解，则它的系数行列式必为零.如果线性方程组1)无解或有两个不同的齐次线性方程组的相关定理(
)2an1
x1
+
an
2
x2
+
+
ann
xn
=
0
a11
x1
+
a12
x2
+
+
a1n
xn
=
0a
x
+
a
x
+
+
a
x
=
021
1
22
2 2
n
nD
„0
则齐次线性方程组定理5
如果齐次线性方程组
2)的系数行列式2)没有非零解.定理5’如果齐次线性方程组2)有非零解,则它的系数行列式必为零.系数行列式D
=0
a11
x1
+
a12
x2
+
+
a1n
xn
=
0a
x
+
a
x
+
+
a
x
=
021
1
22
2
2n
n
an1
x1
+
an2
x2
+
+
ann
xn
=
0有非零解.例1
用克拉默则解方程组2解D
=
2
x1
x
12
x
x1
+
4+
x2
-
5
x3
+
x4
=
8,-
3
x2
-
6
x4
=
9,-
x3
+
2
x4
=
-5,x2
-
7
x3
+
6
x4
=
0.21-
5107-
5131-
30-
6r1
-
2r21-
30-
602-
12r4
-
r202-
1214-
7607-
712
1
2
c
+
2c3
2c
+
2c-
3-
53-0-
10-
7-
7-
27
-
5
13=
-
2
-
1
27
-
7
12-
3
3-
7
-
2==
27,81-
519-
30-
6-
52-
1204-
76D1
==
81,22
8
-
5
11
9
0
-
6D
=0
-
5
-
1
21
0
-
7
6=
-108,2
1
8
13D
==
-27,2
1
-
5
8410-
329-
5-
62D
=10-
320-
19-
5140614-
70=
27,1=
=
3,D
27D
811\
x
=2=
-4,2=D
27D
-108x
==
-1,33=D
27D
-27x
=4D
27x
=
D4
=
27
=
1.例2
用克拉默法则解方程组
3
x
+
4
x
=
4,2
4
3
x1
+
5
x2
+
2
x3
+
x4
=
3,1
2
3
4
x1
-
x2
-
3
x3
+
2
x4
=
5
6.
x
+
x
+
x
+
x
=
11
6,解3
5
2
10
3
0D
=1
1
1
11
-
1
-
3
24
=
67
„
0,D1
=
11
6673
5
2
14
3
0
41
1 1
=
3
,5
6
-1
-3
23
3
2
10
4
0
411
6
1
11 5
6
-
3
2D2
=
1=
0,33
5
3
10
3
4D
=1
1 11
6
11
-1 5
6
224
67=
,43
5
2
30
3
0
4D
=1
1
1 11
61
-1
-3 5
6=
67,D673
1
1D
67
3= =
,1\
x
==
0,D
67D
0x=
2
=2,D67
3
1D
67
22
=3x
===
1.4
=D
67D
67x4
=1
2
3+
x
=
0,x1
+
x
2
+
(1
-
l
)x
3
=
0,
2
x
+
(3
-
l
)x例3
问
l
取何值时，齐次方程组
(1
-
l
)x1
-
2
x
2
+
4
x
3
=
0,有非零解？解1
-
l-
24D
=23
-
l1111
-
l1
-
l
-
3
+
l
4=
2 1
-
l
11
0 1
-
l=
(1
-
l
)3
+
(l
-
3
)-
4(1
-
l
)-
2(1
-
l
)(-
3
+
l=
(1
-
l
)3
+
2(1
-
l
)2
+
l
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