2021年浙江省宁波市四明职业中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年浙江省宁波市四明职业中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：∵去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，每位同学选择每一条线路的可能性相同，∴这两位同学选择同一条路线的概率为p==．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．2.设，且为正实数，则2

1

0

参考答案：3.已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略4.设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）

B．f（x）的图象在[，]上递减C．f（x）的最大值为A

D．f（x）的一个对称中心是点（，0）参考答案：D考点： 三角函数的最值；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题： 计算题．分析： 由周期公式可先求ω，根据函数对称轴处取得函数最值，由函数的图象关于直线x=对称，可得sin（?+）=±1，代入可得?=，根据三角函数的性质逐个检验选项．解答： 解：T=π，∴ω=2．∵图象关于直线x=对称，sin（φ+×2）=±1即×2+φ=+kπ，k∈Z又∵﹣＜φ＜，∴φ=∴f（x）=Asin（2x+）．再用检验法逐项验证．故选D点评： 本题考查了三角函数的性质：周期公式的应用；三角函数对称轴的性质，正弦函数在对称轴处取得最值．5.设函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且，f[f（x）－ex＋x]＝e．若不等式f（x）＋f′（x）≥ax对x∈（0，＋∞）恒成立，则a的取值范围是A．（－∞，e－2]B．（－∞，e－1]C．（－∞，2e－3]D．（－∞，2e－1]参考答案：D6.已知，若，使得，则实数m的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.过椭圆的右焦点作轴的垂线交椭圆于A,B两点，已知双曲线的焦点在轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A,B两点，则双曲线的离心率为(

)A

B

C

D2参考答案：答案:B8.已知命题p:,且a>0,有,命题q:,,则下列判断正确的是

A．p是假命题

B．q是真命题C．是真命题

D．是真命题

参考答案：C略9.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，因为为纯虚数，故，故|z|=|(2a+1)+i|=.10.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（

）A．球

B．三棱锥

C．正方体

D．圆柱圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量x、y满足，若的最大值为，则

参考答案：令，则，因为的最大值为，所以，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时有最大值，由，解得，即。12.设实数满足=4,则的最小值为

.参考答案：13.若x，y均为正实数，则的最小值为_______.参考答案：【分析】将所求式子变为，利用基本不等式可求得，则可知当时，可求得最小值.【详解】当，即时取得最小值为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.14.如图所示的韦恩图中，、是非空集合，定义*表示阴影部分集合.若，，，则*B=

参考答案：15.设复数z满足（i为虚数单位），则z=

．参考答案：i,

,

16.（5分）（2012?湛江模拟）已知⊙O的割线PAB交⊙OA，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为2．参考答案：【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=3，AB=4，PO=5，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．解：设⊙O的半径为R则PC=PO﹣OC=5﹣RPD=PO+OD=5+R又∵PA=3，AB=4，∴PB=PA+AB=7由切割线定理易得：PA?PB=PC?PD即3×7=（5﹣R）×（5+R）解得R=2故答案：2【点评】：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件的方程是解答的关键．17.设处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________.参考答案：-1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由题意可得即g（x）＜﹣a恒成立，作出函数g（x）的图象，求得函数g（x）的最大值为g（x）max=1，可得﹣a＞1，∴从而求得a的范围．（2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象，由题意可知，把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），则它与y=x的图象始终有3个交点，从而得到a的范围．【解答】解：（1）令g（x）=|x+1|﹣|x|，则由题意可得f（x）≥0的解集为?，即g（x）≥﹣a的解集为?，即g（x）＜﹣a恒成立．∵，作出函数g（x）的图象，由图可知，函数g（x）的最小值为g（x）min=﹣1；函数g（x）的最大值为g（x）max=1．∴﹣a＞1，∴a＜﹣1，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象如下图所示，由题意可知，把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的恒成立问题，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，对任意N，都有.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.参考答案：（1）解法1：当时，，，………1分两式相减得，……………3分即，得.

……………5分当时，，即.

……………6分∴数列是以为首项，公差为的等差数列.∴.

……………7分解法2：由，得，

……………1分整理得，，

……………2分两边同除以得，.

……………3分∴数列是以为首项，公差为的等差数列.∴.

∴.

……………4分当时，.

……………5分又适合上式，

……………6分∴数列的通项公式为.

……………7分（2）解法1：∵，

∴.

……………9分∴，①，②

……………11分①②得.

……………13分∴.

……………14分解法2：∵，∴.

……………9分∴.由，

……………11分两边对取导数得，.

………12分令，得.

……………13分∴.

……………14分20.（本题满分12分）已知，满足．（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；（2）（文）当时，恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解（1）由得…………3分即所以，其最小正周期为．

…………6分（文）（2）,因此的最小值为，…………9分由恒成立，得，所以实数的取值范围是.

略21.（本小题满分分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点．①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．

参考答案：解：（Ⅰ）因为满足，，…………2分。解得，则椭圆方程为

……………4分（Ⅱ）（1）将代入中得……………………6分……………7分因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分（2）由（1）知，所以

……………11分………12分略22.（本题满分13分）如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为．点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面．（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若，求四边形的面积．

参考答案：（Ⅰ