2021年天津津南区双港中学高三数学文期末试题含解析

2021年天津津南区双港中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中的假命题是（）A．?x∈R，lgx=0 B．?x∈R，tanx=0 C．?x∈R，2x＞0 D．?x∈R，x2＞0参考答案：D考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 简易逻辑．分析： 举例说明是A、B真命题，根据指数函数的定义与性质，判断C是真命题；举例说明D是假命题．解答： 解：对于A，x=1时，lg1=0，∴A是真命题；对于B，x=0时，tan0=0，∴B是真命题；对于C，?x∈R，2x＞0，∴C是真命题；对于D，当x=0时，x2=0，∴D是假命题．故选：D．点评： 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目．2.设又是一个常数，已知当或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根，给出下列命题：

①和有一个相同的实根；

②和有一个相同的实根；

③的任一实根大于的任一实根；

④的任一实根小于的任一实根；其中正确命题的个数为

（

）

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：答案：A3.设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（） A． B．﹣ C．或﹣ D．或参考答案：A【考点】两角和与差的余弦函数． 【专题】三角函数的求值． 【分析】注意到角的变换β=α﹣（α﹣β），再利用两角差的余弦公式计算可得结果． 【解答】解：∵α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=， ∴sinα==； 同理可得， ∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=， 故选：A． 【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题． 4.是数列的前项和，且对都有，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A由，可知，两式相减，得，整理得由可得，则故选：A

5.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有(

)种.A.150

B.300

C.600

D.900参考答案：C略6.某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（

）年后需要更新设备.A.

10

B.

11

C.

13

D.

21参考答案：A由题意可知年的维护费用为，所以年平均污水处理费用为，由均值不等式得，当且仅当，即时取等号，所以选A.7.曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（

）。A、

B、

C、1

D、参考答案：解析：D。由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即则∴8.已知命题p：?c＞0，方程x2﹣x+c=0有解，则￢p为（）A．?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解 B．?c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解 D．?c＜0，方程x2﹣x+c=0有解参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：?c＞0，方程x2﹣x+c=0有解，则￢p为?c＞0，方程x2﹣x+c=0无解．故选：A．9.在中，，，则等于（

）.

A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则m的取值范围是A．（－∞，2）

B．（2，＋∞）C．（－∞，＋∞）

D．（－∞，2）∪（2，＋∞）

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的正根从小到大地依次排列为，则（1）；（2）；（3）；（4）正确的结论为___________参考答案：(2)12.（5分）设数列{an}满足：a1=1，a2=4，a3=9，an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3（n=4，5，…），则a2015=．参考答案：8057【考点】：数列递推式．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：由数列递推式得到an+1=an+an﹣1﹣an﹣2，进一步得到an+1+an﹣3=2an﹣1，说明数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列，由等差数列的通项公式求得a2015．解：由an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3，得an+1=an+an﹣1﹣an﹣2，两式作和得：an+1=2an﹣1﹣an﹣3．即an+1+an﹣3=2an﹣1（n=4，5，…）．∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列，∵a1=1，a3=9，∴奇数项公差为8．则a2015=a1+8（1008﹣1）=1+8×1006=8057．故答案为：8057．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．13.函数的定义域为

.参考答案：14.已知直线与曲线(为自然对数的底数)有公共点,则实数的取值范围是____________.A.

B.

C. D.参考答案：C15.已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.参考答案：【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

16.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点．设直线的斜率分别为，当最小时，双曲线的离心率为________________．参考答案：考点：1、双曲线的性质、双曲线的离心率；2、利用导数求最值及“点差法”的应用.【方法点睛】本题主要考查求双曲线的性质及双曲线的离心率、利用导数求最值及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.本题就是先根据点差法得到后，进一步解答的.17.已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上，，后顺次成为等比数列

的前三项.求数列的通项公式=_______________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第l组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的部分频率分布表如下：

区间人数频率第1组[25，30）500.1第2组[30，35）500.1第3组[35，40）a0.4第4组[40，45）150b（1）求a，b的值；（2）现在要从年龄较小的第l，2，3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人，在第l，2，3组抽取的义工的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率．参考答案：【考点】B7：频率分布表．【分析】（1）根据频率=求出参加活动的总人数，再求a、b的值；（2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，再用对立事件的概率公式计算对应的概率即可．【解答】解：（1）根据题意知，50÷0.1=500，所以共有500人参加活动；a=500×0.4=200，b==0.3；（2）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×=1，第2组的人数为6×=1，第3组的人数为6×=4，∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种；所以至少有1人年龄在第3组的概率为P=1﹣=．19.已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，是中点，与所成的角为，且.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.参考答案：解（1）证明：,为的中点……………2分又平面……………4分平面,平面……………6分（2）设中点为，连接、，则//，故即为与所成的角为

又且所以又，即所以三棱锥的体积三棱锥

20.(本小题满分12分)已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且,AB=EC=2,,O为AB的中点。（1）求证：EO⊥平面ABCD;（2）求点D到平面AEC的距离.参考答案：解：（1）证明：连接

为菱形 又 为正三角形 又 即又，

…………6分（2） 为正三角形，边长为2 由等体积法得

…………12分

21.已知集合（1）若，求的取值范围.（2）当取使不等式恒成立的最小值时，求（）.参考答案：解：或（1）当时，，所以或.（2）由，得依题意知，，则，即的最小值为-2.当时，或所以，故（.22.如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E． （1）求BD长； （2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD． 参考答案：【考点】相似三角形的判定． 【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可．