2022-2023学年江苏省常州市溧阳市上兴中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年江苏省常州市溧阳市上兴中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）

4

2

3

5销售额（万元）

23

13

20

32根据上表可得回归方程中的为6，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（

）

A．36．6万元

B．36．8万元

C．37万元

D．37．2万元参考答案：C略2.身高与体重有关系可以用（

）分析来分析A.残差

B.

回归

C.

二维条形图

D.独立检验参考答案：B3.过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为

（

）

A．

B.

C.

D.

参考答案：D4.若将函数y=2sin（4x+?）的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称，则|?|的最小值是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】常规题型；三角函数的图像与性质．【分析】先根据左加右减的原则将函数y=2sin（4x+?）的图象向右平移个单位，然后根据图象关于y轴对称，知函数为偶函数，结合诱导公式求出|?|的最小值．【解答】解：将函数y=2sin（4x+?）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为，又图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数，故，即，所以|φ|的最小值为，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象的平移及三角函数的性质，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．三角函数奇偶性的转化结合诱导公式实现．5.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B

解析：从此圆锥可以看出三个圆锥，

6.若角是第四象限角，满足，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得的值．【详解】解：∴角满足，平方可得1+sin2，∴sin2，故选：B．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．7.若复数是纯虚数，则实数m为A.1

B.－1

C.0

D.±1、参考答案：D8.已知不等式|x–a|+|x–b|<1（其中a，b是常数）的解集是空集，则|a–b|的取值范围是（

）（A）(–1，1)

（B）(0，1)

（C）[1，+∞)

（D）(0，+∞)参考答案：C9.将函数的图象y=f（2x）如何变换得到y=f（2x-2）+1（

）A.将y=f（2x）的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.将y=f（2x）的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位C.将y=f（2x）的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位D.将y=f（2x）的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位参考答案：B10.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为

．参考答案：4【考点】等差数列的前n项和；等差数列．【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．12.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理，结合c2=（a﹣b）2+6，C=，求出ab=6，利用S△ABC=absinC，求出△ABC的面积．【解答】解：由c2=（a﹣b）2+6，可得c2=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6=a2+b2﹣ab，所以ab=6；所以S△ABC=absinC=×6×=．故答案为：．13.求与圆A：=49和圆B：=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程

参考答案：略14.“f′（x0）=0”是“可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值”的条件（选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”）参考答案：既不充分又不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数在极值点的导数等于零，可得充分性成立．再由导数等于零的点不一定是极值点可得必要性不成立，从而得出结论．解答：解：“定义在R上的可导函数在x=x0处取得极值”，不能推出“f′（x0）=0”成立，例如f（x）=|x|在x=0处有极小值为0，但f（x）在x=0处不可导，故充分性不成立．但由于导数等于零的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处得导数等于零，但函数在x=0处无极值，故由“f′（x0）=0”，不能退出“定义在R上的可导函数在x=x0处取得极值”成立，即必要性不成立，故答案为：既不充分也不必要条件．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的导数等于零的点与函数的极值点的关系，属于基础题．15.直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，若以（m，n）为点P的坐标，则过点P的一条直线与椭圆的公共点有个．参考答案：2【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．【分析】根据直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出m与n的关系式，得到m与n的绝对值的范围，在根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．【解答】解：将直线mx+ny﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2﹣6ny+9﹣3m2=0．令△＜0得，m2+n2＜3．又m、n不同时为零，∴0＜m2+n2＜3．由0＜m2+n2＜3，可知|n|＜，|m|＜，再由椭圆方程a=，b=可知P（m，n）在椭圆内部，∴过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个．故答案为2．16.数列的前n项的和Sn=2n2-n+1，则an=

参考答案：17.把点A的极坐标(6,)化为直角坐标为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如下图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0．05,此分数段的人数为5人．(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?

(2)求平均成绩.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(3)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于90分的概率．

参考答案：解析:(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人．

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,由=100,解得．∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人．

…8分(2)平均成绩为98分。(3)在抽取的学生中,任取一名学生,则分数不小于90分的概率为0．35+0．25+0．1+0．05=0．75．19.已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，∴．当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1则＞0，∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．20.已知左焦点为的椭圆过点，过上顶点作两条互相垂直的动弦交椭圆于两点．(1)

求椭圆的标准方程；(2)

若动弦所在直线的斜率为1，求直角三角形的面积；(3)

试问动直线是否过定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

参考答案：

略21.函数f（x）=x3+x在x=1处的切线为m．（1）求切线m的方程；（2）若曲线g（x）=sinx+ax在点A（0，g（0））处的切线与m垂直，求实数a的取值．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求出g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到a的值．【解答】解：（1）根据条件f′（x）=3x2+1，切点为（1，2），斜率为f′（1）=4，可得切线的方程为y﹣2=4（x﹣1），所以切线m的方程为4x﹣y﹣2=0；（2）根据条件g′（x）=cosx+a，又g（x）图象上一点A（0，g（0））处的切线与m垂直，则有，所以a的