2021-2022学年上海市第八中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年上海市第八中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“且”是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件[]

C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件参考答案：【知识点】充分条件、必要条件.

A2D

解析：推不出，例如时，，也推不出，所以“且”是“”既非充分条件也非必要条件，所以选D【思路点拨】根据两条件的相互关系可判定它们非充分与非必要条件.2.如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于(

) A．

B．

C． D．参考答案：B3.函数f(x)＝2(x－x3)e|x|的图像大致是参考答案：B4.（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[0,π/6]

D．[0,π/3]参考答案：D【考点】：直线与圆的位置关系．【分析】：用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是，故选：D．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．5.已知椭圆C：，的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为I，直线交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】连接和，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：的内心为，连接和，可得为的平分线，即有，，可得，即有，即有，故选：B．【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．6.一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，由它飞入几何体F-AMCD内的概率为____________.A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知定义在（-1，1）上的函数f(x)，其导函数为=l+cosx，且f（0）=0，如果+f(l－x2）<0，则实数x的取值范围为

A．（0，1）

B．（1，）

C．

D．（1，）（－，－1）参考答案：B8.已知函数的定义域为，且对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围为（

） A．

B．C．

D．参考答案：D略9.动直线与函数和函数的图象分别交于两点，则的最大值为 ()A. B. C. D.参考答案：B10.函数的定义域是A.

B.

C.

D.R参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，，.根据以上等式，可猜想出的一般结论是

；参考答案：，略12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1且若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为

．参考答案：考点：分段函数图像13.（5分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=．参考答案：【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：连接DF，BF，利用正六边形的性质和余弦定理即可得出（）与的夹角为120°，AC=3，再利用数量积的定义即可得出．解：连接DF，BF，则△BDF是等边三角形，∴与的夹角为120°，∵，即与的夹角为120°，∵AB=1，∴AC2=12+12﹣2×1×1×cos120°=3，∴AC=．即．∴==﹣．故答案为．【点评】：熟练掌握正六边形的性质和余弦定理、数量积的定义、向量的夹角是解题的关键．14.方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为

．参考答案：x=0和x=1【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x的一元二次方程，求得3x的值，进一步求得x值得答案．【解答】解：由log2（9x+7）=2+log2（3x+1），得log2（9x+7）=log24（3x+1），即9x+7=4（3x+1），化为（3x）2﹣4?3x+3=0，解得：3x=1和3x=3，∴x=0和x=1．故答案为：x=0和x=1．15.已知圆直线，点，使得存在点，使（O为坐标原点），则的取值范围是__________________.参考答案：略16.若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为．参考答案：﹣15考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据展开式的各项系数绝对值之和为4n=1024，求得n=5．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中x项的系数．解答：解：在的展开式中，令x=1，可得展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1024=210，∴n=5．故展开式的通项公式为Tr+1=令=1，求得r=1，故展开式中x项的系数为﹣15．故答案为：﹣15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．17.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.、设矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为，求ad－bc的值．参考答案：由特征值、特征向量定义可知，A，即，得

………………5分同理可得解得．因此ad－bc＝2－6＝－4．

………………10分19.如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=，将（图1）沿直线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C为60°（如图2）（1）求证：AE⊥平面BDC；（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先根据条件得到BD⊥平面AEM；进而通过求边长得到AE⊥ME；即可得到结论；（2）先建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．【解答】（1）证明：如图1取BD中点M，连接AM，ME．∵AB=AD=，∴AM⊥BD∵DB=2，DC=1，BC=，DB2+DC2=BC2，∴△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线∴ME∥CD，ME=CD，∴ME⊥BD，ME=，∴∠AME是二面角A﹣BD﹣C的平面角，∴∠AME=60°…∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，∴BD⊥AE∵AB=AD=，DB=2，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AM=BD=1，∴AAE2=AM2+ME2﹣2AM?ME?cos∠AME=，∴AE=，∴AE2+ME2=1=AM2，∴AE⊥ME=M，∴BD∩ME，BD?平面BDC，ME?面BDC，∴AE⊥平面BDC

…（2）解：如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz，则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E（0，，0），A（0，，），D（﹣1，0，0），C（﹣1，1，0），∴=（1，，），=（0，1，0），=（0，0，﹣），…设平面ACD的法向量为=（x，y，z）则，∴=（，0，﹣2），设直线AE与平面ADC所成角为α，则sinα==

…∴直线AE与平面ADC所成角的正弦值为

…20.（本小题满分13分）已知=在点处的切线与轴垂直,．（1）求的值及的单调区间；（2）已知函数(为正实数),若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围。

参考答案：（1）由已知可得，所以，∴所以，由，由的增区间为，减区间为

……………6分（2）对于任意，总存在，使得，

由（1）知，当时，取得最大值.对于，其对称轴为当时，，，从而。当时，，，从而。综上可知：。

……………13分21.已知函数f（x）=﹣1．（1）试判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；导数的综合应用．【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负明确的函数的单调区间；（2）分类讨论极值点与区间[m，2m]的位置关系，从而确定函数f（x）在[m，2m]上的单调性，即可求函数的最大值．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=，令f′（x）＞0，而x＞0，可得0＜x＜e，令f′（x）＜0，可得x＞e，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；（2）①当0＜2m≤e，即0＜m≤时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递增，∴f（x）max=f（2m）=﹣1，②当m≥e时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递减，∴f（x）max=f（m）=﹣1，③当m＜e＜2m，即＜m＜e时，由（1）知，函数f（x）在[m，e]上单调递增，（e，2m]上单调递减，∴f（x）max=f（e）=﹣1，∴f（x）在[m，2m]上的最大值为f（x）max=．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．22.（本小题满分14分）如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．（1）求直线及抛物线的方程；（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，．问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）（法一）点在抛物线上，．

……2分设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由得，，由，得，则直线方程为．两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，有，解得或