数值分析良2减少误差计算原则

避免绝对值小的数作除数避免两个相近的数据相减要防止大数“吃掉”小数尽量减少计算工作量选用数值稳定性好的算法二、数值计算中的一些基本原则避免绝对值小的数作除数这一原则主要指尽量避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。设 （

x≠0），如果

x的绝对值远小于

y的绝对值，由于避免两个相近的数据相减如果y

≈x，现分析两个数的近似数作减法所得结果的误差.

设

z=

y

–

x，则利用误差估计有相对误差估计当y≈x时，有z≈0，计算结果的相对误差限可能很大，导致数值计算结果的有效数字位数减少。+4=1.0000000000000×1013+0.0000000000004×1013要防止大数“吃掉”小数一个绝对值很大的数和一个绝对值很小的数直接相加时，很可能发生所谓“大数吃小数”的现象。例如，a=1013，b=4，设想这两个数在具有12位浮点数计算机系统（12位有效位数系）中相加a

+

b=

1013实际加法操作如下Sk=

Sk－1xk+

ak

，（

k=

1，2，…，n

）尽量减少计算工作量在考虑算法时应注意简化计算步骤，减少运算次数。计算工作量小的算法不仅节约运行时间，而且使误差积累小。例2

设计算法用于计算多项式算法一：S

0=

a0

，Pn（x）=

Sn计算一个n

次多项值需要用2n

次乘法。尽量减少计算工作量另一种典型算法是秦九韶算法算法二：Sn=

an，Sk－1=

a

k

－1+

xSk，（k=

n，n－1，…，1），Pn（x）=

S0计算一个n

次多项值需要用n

次乘法。选用数值稳定性好的算法不同的算法在执行过程中对数据误差的影响是不一样的。舍入误差对计算结果影响不大的算法被称为数值稳定的算法.In=

e

-101x

n

e

x

dx例3

利用递推式计算定积分(n=0，1，2，…，20

)的值。算法一：其中得递推关系式利用递推式可得20个数据如下表：10x

e

dxn

nS10.36787944117144S110.

07735222935878S20.26424111765712S120.

07177324769464S30.20727664702865S130.

06694777996972S40.17089341188538S140.

06273108042387S50.14553294057308S150.

05903379364190S60.12680235656152S160.

05545930172957S70.11238350406936S170.

05719187059731S

8

1£

(max

ex

)

x0.

10093196744509n

dx

=

e

S18-0.

029453670751540£Sx£190n

0+1.09161229299417S191.

55961974427919S100.08387707005829S20-30.

19239488558378对积分值有估计式：算法二：由递推公式有由In

的估计式取有利用递推式可得20个数据如下表：S10.36787944117144S110.07735222886266S20.26424111765712S120.07177325364803S30.20727664702865S130.06694770257562S40.17089341188538S140.06273216394138S50.14553294057308S150.05901754087930S60.12680235656153S160.05571934593124S70.11238350406930S170.05277111916899S80.10093196744559S180.05011985495809S90.09161229298966S190.04772275579621S100.08387707010