高中数学-利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE4PAGE利用导数研究函数的极值教学设计考纲解读：能够认识极值与最值的区别；会利用导数求函数的极值及最值.学习目标:1.理解极大值、极小值的定义，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.能够认识极值与最值的区别；会利用导数求函数的极值及最值；3.会利用函数的极值求参数的取值范围.学习重点：会利用导数判断函数的单调性，求函数极值及最值.学习难点：已知函数的极值，求有关参数的取值范围.预习要求：请同学们自己预习课本27-30页内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题.教材助读：1.极值点与极值概念:⑴已知函数,设是定义域内任意一点,若对附近的所有点,都有_________,则称函数在点处取得极大值,记作_______,______称为函数的一个极大值点.⑵已知函数,设是定义域内任意一点,若对附近的所有点,都有_________,则称函数在点处取得极小值,记作_______,______称为函数的一个极小值点.⑶_________与_________统称为极值,_________与_________统称为极值点.2.函数的_________与_________统称为最值.3.设在附近邻域可导.如果在的左侧邻域____，右侧邻域____，则称是函数的极大值；如果在的左侧邻域____，右侧邻域____，则称是函数的极小值.4.已知在定义域上可导,条件p:;条件q:为函数的极值点.则p是q的_____条件.预习疑惑：___________________________________________________________________.探究案探究点1：利用导数求函数极值、最值例1.5.已知函数.⑴求函数的极值；⑵求函数在区间上的最值.例2.求证：当时，.变式练习：1.设在上可导,其导函数为,且的图像如图所示,则下列结论一定成立的是()-2012A.的极大值为,极小值为;-2012B.的极大值为,极小值为;C.的极大值为,极小值为;D.的极大值为,极小值为.2.已知函数.⑴求函数的极值；⑵求函数在区间上的最值.探究点2：极值、最值的应用例3.函数在处有极大值6，在处有极小值.⑴求的值；⑵求在区间上的最大值和最小值；⑶若方程有三个不同的实根，求实数的范围.变式练习：1.函数在内有极小值，则（）A.B.C.D.2.已知函数在处取得极值，则实数的值是______.探究点3：恒成立与存在性问题例4.已知函数在和处取得极值.若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.变式练习：1.已知函数.若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.2.已知函数在和处取得极值.若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.()课后检测：第2题1.下列函数中,是极值点的函数是()第2题2.函数定义域为开区间，导函数在内的图象,如图所示，则函数在开区间内有()个极小值点.A．1B．2C．3D．43.函数在区间上的最小值为()4.函数有极值的充要条件是()5.设函数,则()A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极小值点D.为的极大值点6.函数在处有极值-2,则的值分别为()7.函数无极值，则实数的取值范围是________.8.函数在上只有一个零点，则实数的取值范围是________.9.已知,求证：.10.已知函数.是否存在实数值，使在区间上取得最大值3,最小值-29.若存在,求出值;若不存在,请说明理由.利用导数研究函数的极值学情分析在前面的学习中，学生已经有了一定的知识准备。不过鉴于我校学生的水平普遍偏低，理解和应用知识的能力稍显不足，所以在教学中，有必要从基础入手，指导学生先做到对解题方法和步骤的机械模仿，在此基础上，努力提升认识水平，力争让尽可能多的学生达到知识的融会贯通。新课程理念的显著特征和核心任务就是从根本上转变教学方式和学习方式。因此要让学生在自主学习和合作探究的过程中，真正成为知识的发现者和知识的应用者。利用导数研究函数的极值效果分析本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。其后还有利用导数求函数的最值问题，因此本节课还要起到承上启下的作用.由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致，大学里还将继续深入学习，因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明.让学生掌握的重点内容：求可导函数的极值的方法和一般步骤，必须在课堂上就过手.对于难点问题：为函数极值点与=0的逻辑关系，可由教师层层递进性的主动提出，师生共同探究完成，体现教师的主导性和学生的主体性.本节教案中的研究性问题为补充例题，选取它的目的是想体现知识的完整性，教师可根据自己学生的认知能力以及课时情况适当删减.作业采取适当分层的办法，既可以照顾大多数，又让学有余力者可以发挥.利用导数研究函数的极值教材分析《利用导数研究函数的极值》是新课标人教B版教材选修2-2第一章第三节的第二小节。第三章的内容主要分为两个部分：一是导数的概念、运算及其应用；二是定积分的概念和微积分基本定理。本节属于导数的应用部分，是本章的重点之一，也是高考题中经常考察的部分。前面有了导数的概念、运算做基础，而且还研究过了利用导数研究函数的单调性，后面是《导数的实际应用》，所以本节在整个章节中起到了承上启下的作用。利用导数研究函数的极值评测练习一、选择题1．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案]C[解析]如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C3．函数y＝2－x2－x3的极值情况是()A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D．既有极大值也有极小值[答案]D[解析]y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，当x>0或x<－eq\f(2,3)时，y′<0，当－eq\f(2,3)<x<0时y′>0，∴当x＝－eq\f(2,3)时取极小值，当x＝0时取极大值．4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()

A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]A[解析]由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是()A．①④ B．②④C．①② D．③④[答案]B6．函数y＝|x－1|，下列结论中正确的是()A．y有极小值0，且0也是最小值B．y有最小值0，但0不是极小值C．y有极小值0，但不是最小值D．因为y在x＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值[答案]A7．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A.eq\f(2\r(3),9) B.eq\f(2\r(2),9)C.eq\f(3\r(2),9) D.eq\f(3,8)[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)∈[0,1]，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),9).8．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()A．极大值为eq\f(4,27)，极小值为0B．极大值为0，极小值为eq\f(4,27)C．极大值为0，极小值为－eq\f(4,27)D．极大值为－eq\f(4,27)，极小值为0[答案]A[解析]由题意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3③由①②得p＝2，q＝－1.∴f′(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(4,27)，f(1)＝0.9．已知函数y＝|x2－3x＋2|，则()A．y有极小值，但无极大值B．y有极小值0，但无极大值C．y有极小值0，极大值eq\f(1,4)D．y有极大值eq\f(1,4)，但无极大值[答案]C[解析]作出函数y＝|x2－3x＋2|的图象，由图象知选C.10．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A．(a，b)B．(a，c)C．(b，c)D．(a＋b，c)[答案]A[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意，知1、－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，1－1＝－eq\f(2b,3a)，b＝0.二、填空题11．函数y＝eq\f(2x,x2＋1)的极大值为____________，极小值为____________．[答案]－1，－3[解析]y′＝eq\f(2(1＋x)(1－x),(x2＋1)2)，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－3，当x＝1时，取极大值－1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．[答案]a＋4eq\r(2)a－4eq\r(2)[解析]y′＝3x2－6＝3(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令y′>0，得x>eq\r(2)或x<－eq\r(2)，令y′<0，得－eq\r(2)<x<eq\r(2)，∴当x＝－eq\r(2)时取极大值a＋4eq\r(2)，当x＝eq\r(2)时取极小值a－4eq\r(2).13．函数y＝x－x3(x∈[0,2])的最小值是________．[答案]－6[解析]y′＝1－3x2，令y′＝0，得x＝±eq\f(\r(3),3)，f(0)＝0，f(2)＝－6，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－eq\f(2\r(3),9)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(\r(3),3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(\r(3),3)－eq\f(\r(3),9)＝eq\f(2\r(3),9)，∴最小值为－6.14．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．[答案]6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．三、解答题15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)1(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值f(－1)减极小值f(3)增(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.16．求下列函数的最值(1)f(x)＝3x－x3(－eq\r(3)≤x≤3)；(2)f(x)＝sin2x－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤x≤\f(π,2))).[解析](1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，∴x＝1和x＝－1是函数f(x)在[－eq\r(3)，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又f(x)在区间端点的取值为f(－eq\r(3))＝0，f(3)＝－18.比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±eq\f(π,3)，∴x＝±eq\f(π,6).∴函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的两个极值分别为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又f(x)在区间端点的取值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比较以上函数值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).17．已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．[解析]f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．令f′(x)＝0，所以x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0○．(1)当Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a>0，即a<0或a>4时，设○有两个不同的根x1，x2，不妨设x1<x2，所以f′(x)＝ex(x－x1)(x－x2).即f(x)有两个极值点．(2)当Δ＝0，即a＝0或a＝4时，设有两个相等实根x1，所以f′(x)＝ex(x－x1)2≥0，所以f(x)无极值．(3)当Δ<0，即0<a<4时，x2＋(a＋2)x＋2a＋1>0，所以f′(x)>0.故f(x)也无极值．综上所述，当a<0或a>4时，f(x)有两个极值，当0≤a≤4时f(x)无极值．18．(2010·江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)－ax(a>0)．(提示：[ln(2－x)]′＝－eq\f(1,2－x))(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为eq\f(1,2)，求a的值．[分析]所给函数的非基本函数，故求单调区间和最值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性．及函数定义域的确定．[解析]函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2－x)＋a，(1)当a＝1时，f′(x)＝eq\f(－x2＋2,x(2－x))，所以f(x)的单调递增区间为(0，eq\r(2))，单调递减区间为(eq\r(2)，2)；(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝eq\f(2－2x,x(2－x))＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝eq\f(1,2).利用导数研究函数的极值课后反思1.逐层铺垫，降低难度如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此设计符合学生认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等数学思想方法。对学生今后学习和分析数学问题很有帮助。2.恰当使用信息技术恰当地使用多媒体和计算机，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.3.采用“启发引导—讨论探究—概括归纳”教学模式精心设置问题链，要给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会。