2023年高三数学一轮复习概率与统计

千里之行，始于足下让知识带有温度。第2页/共2页精品文档推荐高三数学一轮复习概率与统计2022届一轮复习概率与统计

高考要求:

概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注重一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想办法.重难点归纳:

本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能大事的概率、互斥大事有一个发生的概率、互相自立大事同时发生的概率和自立重复试验.其次部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.

涉及的思维办法:观看与实验、分析与综合、普通化与特别化.主要思维形式有:规律思维、聚合思维、形象思维和制造性思维.典型题例示范讲解:

例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下:［10，15］4［30，35)9［15，20)5［35，40)8［20，25)10［40，45)3［25，30)11

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.

命题意图:本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法.学问依托:频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法.错解分析:解答本题时，计算简单浮现失误，且要注重频率分布与累积频率分布的区分.技巧与办法:本题关键在于把握三种表格的区分与联系.解

(2)

例2袋子A和B中装有若干个匀称的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是3

1

，从B中摸出一个红球的概率为p．

(Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；

(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望Eξ．(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是

2

5

，求p的值．命题意图:本题考查利用概率学问和期望的计算办法.学问依托:概率的计算及期望的概念的有关学问.

错解分析:在本题中，随机变量确实定，稍有不慎，就将产生失误.技巧与办法:可借助n次自立重复实验概率公式计算概率.

解:(Ⅰ)（i）22

24

1218

33381

C???????=??????

(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；

由n次自立重复实验概率公式()()

1nk

kk

nnPkCpp-=-，得

()5

05

132022243

PCξ??

==?-=

???；()4

1511801133243PCξ??==??-=

???()2

3

25

11802133243

PCξ????

==??-=

??????()32

3511173133243

PCξ????==??-=

??????（或()3280217

31243243

Pξ+?==-

=）

随机变量ξ的分布列是

ξ的数学期望是:

32808017131012324324324324381

Eξ=

?+?+?+?=.(Ⅱ)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球.

由1

22335

mmpm+=，得1330p=.

例3如图，用A、B、C三类不同的元件衔接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工

作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分离求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2.

(N2)

A

BC

(N1)C

BA

解:记元件A、B、C正常工作的大事分离为A、B、C，由已知条件P(A)=0.80,.P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)由于大事A、B、C是互相自立的，所以，系统N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648.

(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)·［1－P(CB?)］=P(A)·［1－P(B)P(C)］

=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792故系统N2正常工作的概率为0.792.同学巩固练习:

1.甲射击命中目标的概率是

21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是4

1

.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()

10

7

D.54C.32B.43A.2.已知随机变量ζ的分布列为:P(ζ=k)=3

1

,k=1,2,3,则P(3ζ+5)等于

A6

B9

C3

D4

3.1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望Eζ=_________.

4.某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参与某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.

5.甲、乙两人各举行一次射击，假如两人击中目标的概率都是0.6，计算:(1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率.

6.已知延续型随机变量ζ的概率密度函数f(x)=??

?

??≥<≤-≤20211

0xxaxx

(1)求常数a的值，并画出ζ的概率密度曲线；

(2)求P(1＜ζ＜

2

3＝.7.设P在［0,5］上随机地取值，求方程x2+px+

2

1

4+p=0有实根的概率.8.设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？

参考答案:

1.解析:设甲命中目标为大事A，乙命中目标为大事B，丙命中目标为大事C，则目标被击中的大事可以表示为A+B+C，即击中目标表示大事A、B、C中至少有一个发生.

.

4

1)411)(311)(211()](1[)](1[)](1[)()()()(==-?-?-=??=??∴CPBPAPCPBPAPCBAP

故目标被击中的概率为1－P(A·B·C)=1－4

3

41=答案:A

2.解析:Eξ=(1+2+3)·31=2，Eξ2=(12+22+32)·31=314∴Dξ=Eξ2－(Eξ)2=3

14－22=32

.

∴D(3ξ+5)=9Eξ=6.

答案:A

3.解析:由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=4

3

CC11219=,

1121313939

39234

121212CCCCCC991(1),(2),(3)44220220

2C2C2CPPPξξξ?=========3991

01230.3444220220

Eξ∴=?

+?+?+?=答案:0.34.解析:由于每组人数为13，因此，每组选1人有C113种办法，所以所求概率为

P=452

4

113C)C(.答案:452

4

113C)C(5.解:(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做大事A，“乙射击一次击中目标”叫做大事B.明显大事A、B互相自立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36

答:两人都击中目标的概率是0.36

(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24

甲未击中、乙击中的概率是P(A·B)=P(A)P(B)=0.24，明显，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不行能同时发生，即大事A·B与A·B互斥，所以恰有一人击中目标的概率是

P(A·B)+P(A·B)=0.24+0.24=0.48答:其中恰有一人击中目标的概率是0.48.

(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=P(A·B)+［P(A·B)+P(A)·B］=0.36+0.48=0.84

答:至少有一人击中目标的概率是0.84.

6.解:(1)由于ξ所在区间上的概率总和为1，

所以

21

(1－a+2－a)·1=1,∴a=2

1

概率密度曲线如图:(2)P(1＜ξ＜

23＝=9

323)121(21=?+?7.解:一元二次方程有实数根?Δ≥0而Δ=P2－4(

2

1

4+P)=P2－P－2=(P+1)(P－2)解得P≤－1或P≥2

故所求概率为P=

5

3

]5,0[)},2[]1,{(]5.0[=+∞--∞的长度的长度8.解:以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X－B(5，0.2)，于是X有概率分布

P(X=k)=Ck

50.2k0.85－

k,k=0,1,2,3,4,5.

以Y表示一周内所获利润，则

Y=g(X)=???

??

??≥-===32201

50

10XXXX若若若若

Y的概率分布为:

P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328