2023年高数下公式总结

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高数下公式总结高等数学下册公式总结

1、N维空间中两点之间的距离公式：1212,,,n,,,np(xx...x),Q(yy...y)的距离

PQ=

2、多元函数zf(x,y)=求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都临时

看作常量。比如，z

x

??表示对x求偏导，计算时把y当作常量，只对x求导就可以了。

3、二阶混合偏导数在偏导数延续的条件下与求导次序无关，即22zz

xyyx

??=????。4、多元函数zf(x,y)=的全微分公式：zzdzdxdyxy

??=

+??。5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t)φ?===，其导数公式：

dzzduzdv

dtudtvdt

??=+??。6、隐函数F(x,y)=0的求导公式：

Xy

Fdy

dXF'=-'，其中xyF,F''分离表示对x,y

求偏导数。方程组的情形：0

F(x,y,u,v){

G(x,y,u,v)==的各个偏导数是：

FFvx

GG

uxvxFF

uvGGuv

?=-?，FFuxGGvux

xFF

uvGGuv

?=-?，FFyvGGyvuyFFuvGGuv

?=-?，

FFyu

GGuy

v

yFF

uvGGuv

?=-

?。7、曲线Γ的参数方程是：x(t),y(t),z(t)?φω===，则该曲线过点

000M(x,y,z)的法平面方程是：

0000000(t)(xx)(t)(yy)(t)(zz)?φω'''-+-+-=

切线方程是：

000000(xx)(yy)(zz)

(t)(t)(t)

?φω=='''。8、曲面方程(,,)Fxyz＝0在点000M(x,y,z)处的法线方程是：

000xyz(xx)(yy)(zz)

FFF==

'''

，切平面方程是：0000x

yzF(xx)F(yy)F(zz)'''-+-+-=。9、求多元函数z=f(x,y)极值步骤：

第一步：求出函数对x,y的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值其次步：求出000000xxxyyyf(x,y)A,f(x,y)B,f(x,y)C===

第三步：推断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是微小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法推断

10、二重积分的性质：（1）

(,)(,)D

D

kfxydkfxydσσ=????

（2）[(,)(,)](,)(,)D

D

D

fxy

gxydfxydgxydσσσ±=±??????

(3)

1

2

(,)(,)(,)D

DDfxydfxydfxydσσσ=+??????

(4)若(,)(,)fxygxy，其中,ab表示向量,ba的夹角，且

若ab⊥，则有ab＝0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）

1

11122121121221222

()()()i

jk

abxyzyzyzixzxzjxyxykxyz?==-+-+-，其中,,ijk是x轴、y轴、z轴的方向向量

16、常数项无穷级数1231nnnuuuuu∞

=∑=+++++，令123...nnsuuuu=++++称为

无穷级数的部分和，若limnxss→∞

=，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级

数的一个必要非充分地定理是：若1

nnu∞

=∑收敛，则必有lim0nxu→∞

=

17、三种特殊的无穷级数：（1）调和级数11

nn

∞

=∑

是发散的，无须证明就可以直接引用（2）几何级数1

n

naq∞

=∑，当1q时发散

（3）p级数11

p

nn

∞

=∑

，当1p>时收敛，当1p≤时发散18、正项级数1

nnu∞

=∑的判敛办法：

（1）比较判敛法：若存在两个正项级数1

nnu∞

=∑，1

nnv∞

=∑，且有nnvu≤，若nu收敛，则n

v收敛；若nv发散，则nu发散

（2）比较判敛法的极限形式：若lim

,(0)n

xn

ullv→∞=>，则nu和nv具有相同的敛散性

（3）比值判敛法：对于1

nnu∞

=∑，1

lim

nxn

ulu+→∞=，若1l，则原

级数发散

19、交叉级数11(1)nnnu∞

-=∑-的判敛办法：同时满足1nnuu+>及lim0nxu→∞

=，则级数收敛，

否则原级数发散

20、肯定收敛和条件收敛：对于1

nnu∞

=∑，若1

nnu∞

=∑收敛，则称其肯定收敛；若1

nnu∞

=∑发

散，但是1

nnu∞

=∑收敛，则称其条件收敛

21、函数项无穷级数形如：1231

()()()()...()...nnnuxuxuxuxux∞

=∑=+++++，通常研究

的是幂级数形如：2301230

nnnnnaxaaxaxaxax∞

=∑=++++++，

（1）收敛半径及收敛区间：1lim

,nxn

aaρ+→∞=则收敛半径1

Rρ=，收敛区间则为(,)RR-，

但是要注重的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛办法验证

（2）几种常见函数的幂级数绽开式：0!nx

nxen∞

==∑，sinx=(21)n-11-1(21)!

nnxn-∞=∑-（），

20cos(1)(2)!nn

nxxn∞

==∑-，011n

nxx∞==∑-，0

1(1)1nnnxx∞==∑-+

22、常微分方程的类型及解题办法：

（1）可分别变量的微分方程：(,)yfxy'=，总是可以分别变量化简为

()()

dydx

fyfx=的形式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解

（2）齐次方程：(,)yfxy'=，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为()yfx

的形式，令

y

ux

=，则原方程化简为可分别变量方程形式()uxufu'+=来求解

（3）一阶线性微分方程：形如()()ypxyfx'+=的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程()0ypxy'+=的解y=()cQx，然后使用常熟变易法，令()cux=，把原方程的解()()yuxQx=带入原方程，求出()ux，再带入()()yuxQx=中，即求出所需的解

（4）全微分方程：形如(,)(,)0pxydxQxydy+=的方程，只要满足

(,)(,)

pxyQxyyx

??=??，则称其为全微分方程，其解为00(,)(,)xyupxydxQxydy=+??

（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：

第一种：()yfx''=的形式，只需对方程延续两次积分就可以求出方程的解

其次种：(,)yfxy'''=的形式，首先令yz'=，则原方程降阶为可分别变量的一阶微分方程(,)zfxz'=的形式，继续求解即可

第三种：(,)yfyy'''=的形式，同样令yz'=，因为dzdzdydz

yzydxdydxdy

''''==

==，所以原方程转化为一阶微分方程

(,)dz

zfyzdy

=的形式，继续求解即可（6）二阶常系数齐次微分方程：0ypyqy'''++=，求解时首先求出该方程对应的特

征方程2

0rprq++=的解1,2rr，若实根12rr≠，则解为1212rx

rx

ycece=+；若实根12rr=，则解为112()rx

yccxe=+；若为虚根abi±，则解为12(cossin)ax

yecbxcbx=+

（8）二阶常系数非齐次微分方程：()rx

mypyqyPxe'''++=，求解时先按（7）的办法求其对应的齐次微分方程的通解1y，然后设出原方程的特解