电动力学第五章课件

2023/6/8第四章电磁波的传播1第四章电磁波的传播（9课时）

三类典型的电磁波问题：传播，激发，与介质相互作用

电磁场的波动性和波动方程，定解问题转换（传播问题）

时谐电磁场，独立齐次边值关系绝缘介质和导体中的电磁波，电磁波在界面上的反射和折射有限空间的电磁波的传播，谐振腔和波导管节次节名小节标题4.1电磁场波动方程和时谐电磁场电磁场的波动方程，时谐电磁场，无限均匀、线性各向同性绝缘介质中的平面.电磁波，电磁波的偏振4.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射定解问题的提法，定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束，边值关系对反射波和折射波频率和波矢的约束，边值关系对反射波和折射波的幅度约束，物理分析，能量守恒和动量守恒关系4.3导体介质中的电磁波基本方程，无限均匀导体中的平面电磁波，电磁波在导体表面的反射与折射4.4谐振腔和波导管基本方程和边界条件，谐振腔，波导管2023/6/8第四章电磁波的传播24.1电磁场波动方程和时谐电磁场电磁场的波动方程(分区均匀线性各向同性介质)1.基本方程(4.1.2)(4.1.3)2.边值关系(4.1.4){{绝缘介质、普通导体界面：i0=0

绝缘介质界面：0＝0

(4.1.5){(4.1.1)齐次边值关系直接用于求解，非齐次边值关系事后用来确定界面场源2023/6/8第四章电磁波的传播34.1电磁场波动方程和时谐电磁场3.电场波动方程

将电磁性能方程(4.1.3)代入麦克斯韦方程(4.1.1)得{(4.1.6)运用矢量分析手段，从方程中消去B，化作仅含E的方程：(4.1.7)类似步骤可导出(4.1.12)2023/6/8第四章电磁波的传播44.1电磁场波动方程和时谐电磁场4.电场波动方程的定解问题

原定解问题(4.1.6)初始条件：边界条件：

新定解问题(a)基本方程(4.1.7)(将证式(4.1.6)第二式自动成立)(b)

定解条件：电场：磁场：（为何不需要标定边条件？）

新老定解问题之间的等效性②①①②证毕2023/6/8第四章电磁波的传播54.1电磁场波动方程和时谐电磁场二时谐电磁场1.定义：在空间任一点以稳恒振幅随时间作简谐周期变化的电磁场,称为时谐电磁场,或称为定态电磁场.2.时谐电磁场的复数表述

(4.1.13)

(4.1.15)3.定态波动方程

(4.1.16){

(4.1.17)

由式(4.1.17)，B=0自动满足幅度因子满足的方程化为椭圆型，定解问题转化为边值问题，只需给定边界条件和无限远处的渐近条件

解的唯一性问题：需由时谐场叠加得通解，然后借助初始条件和其他外部约束条件解决；例如电磁波的反射和折射将证明解的唯一性2023/6/8第四章电磁波的传播64.1电磁场波动方程和时谐电磁场4.时谐电磁场的边值关系

原边值关系

(4.1.4)绝缘介质、普通导体界面：i0=0

绝缘介质界面：0＝0

(4.1.5){

齐次边值关系可由导出SC电场切向分量连续导致磁感应强度法向分量自动连续;对时谐场，后者不独立！一般结论:切向分量连续的任意矢量场，其旋度的法向分量连续：2023/6/8第四章电磁波的传播74.1电磁场波动方程和时谐电磁场

绝缘介质、普通导体界面(i0=0)：

(a)绝缘介质界面：0＝0

齐次边值关系可由导出证SC磁场强度切向分量连续导致电位移矢量法向分量自动连续；后者不独立！(b)普通导体界面：0

0

，关于电位移矢量法向分量的边值关系为非齐次，不直接用于求解，而是事后用来计算导体界面的自由面电荷密度结论：用于求解时谐场的独立齐次边值关系如下：2023/6/8第四章电磁波的传播84.1电磁场波动方程和时谐电磁场

理想导体或超导体边界(体内E=B=0)

作为电磁场的边界

与边值关系自洽的边界条件1（良导体或超导体）2S

事后用于计算边界面上的传导电流密度和自由电荷密度n说明：Bn=0可由E=0导出，即自动满足。2023/6/8第四章电磁波的传播94.1电磁场波动方程和时谐电磁场5.复数表示下的乘法运算

乘积的瞬时值：取复数量的实部（瞬时值）之后进行乘法运算

乘积的周期平均值：可直接由复数量进行计算类比交流电的平均功率表达式：平均功率复电压(共轭）复电流可写下电磁能密度、能流密度和功率密度{(4.1.21)(4.1.22)(4.1.23)的周期平均值：2023/6/8第四章电磁波的传播104.1电磁场波动方程和时谐电磁场三无限均匀线性各向同性绝缘介质中的平面电磁波用直角坐标下的分离变量法求解，对E的某个分量u:取实部：

求解过程（波矢）2023/6/8第四章电磁波的传播114.1电磁场波动方程和时谐电磁场

物理分析1.平面波(波阵面为平面），沿波矢k方向传播，相速度为2.横波，E、B、k满足右手正交关系(见右图)EBk3.E和B

同相变化，且4.平均电磁能量密度、能流密度和动量密度：（n为折射率）(4.1.28)(4.1.28)(4.1.29)(4.1.30)2023/6/8第四章电磁波的传播124.1电磁场波动方程和时谐电磁场5.平均动量流密度：

动量流密度表达式（瞬时值）：相对基矢(eE,eB,ek)及其并矢展开（技巧：选择合适坐标系）(4.1.33)(4.1.34)瞬时动量流密度：平均动量流密度：2023/6/8第四章电磁波的传播134.1电磁场波动方程和时谐电磁场电磁波的偏振1.定义：横电磁波中电场的振动状态针对横电磁波，E和B均与传播方向垂直只需分析电场的振动状态：Re(B)=kRe(E)/2.数学描述：不妨设电磁波沿z轴传播，k=kez

偏振度：{：偏振度的模：偏振度的辐角

通过在Re(Ex)－Re(Ey)平面作图，描出电场矢尖运动轨迹

从电场矢尖运动轨迹判断偏振特性（个例分析）

按偏振度的模和辐角的取值给出偏振特性的定量判据（综合）(E0x,E0y为正实数)3.分析步骤：2023/6/8第四章电磁波的传播144.1电磁场波动方程和时谐电磁场4.

典型结果线偏振：电矢量矢尖轨迹为直线

判据：偏振度R为实数（偏振度的辐角＝0）圆偏振：电矢量矢尖轨迹为圆周

判据：偏振度为虚数单位，R=i图4－1ReExReEyReE0ReEyReE0ReExOO左旋(R=i)右旋(R=－i)右手定则：大拇指指向传播方向（纸面），电矢量旋转方向与四指方向一致为右旋，反之为左旋（也适合于椭圆偏振情况）2023/6/8第四章电磁波的传播154.1电磁场波动方程和时谐电磁场椭圆偏振：电矢量矢尖轨迹为椭圆

判据：偏振度为复数；将辐角约化至（0，2）范围，左旋椭圆偏振（R=i为左圆偏振）右旋椭圆偏振（R=i为右圆偏振）任意（椭圆）偏振波的分解（参见4.1节末尾的定性陈述）分解为左旋圆偏振波和右旋圆偏振波线偏振基矢：左旋圆偏振基矢：右旋圆偏振基矢复基矢正交归一关系：{圆偏振与线偏振分量的关系：分解为x向线偏振波和y向线偏振

自然光（非偏振光）：电矢量振动方向随机等概率分布，例如太阳光2023/6/8第四章电磁波的传播164.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射定解问题的提法必要性：我们期望解的存在性和唯一性，即给定入射波就能唯一地确定反射波和折射波，从而给出反射折射规律的确定描述图4－2xzO2,21,1n12给定入射波:（4.2.1)确定反射波和折射波:(4.2.6)满足定态波动方程和无散条件，满足界面上的边值关系:(4.2.5)2.定解问题描述：电磁波从1侧入射至界面

z＝0(4.2.8)(4.2.9)(4.2.7)2023/6/8第四章电磁波的传播174.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射二定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束

(4.2.11)

(4.2.10)三边值关系对反射波和折射波的频率和波矢的约束

(4.2.12)由时间t的任意性推得

(4.2.13)由(4.2.10)

得不能由上式断定以考察点为原点，引入局地圆柱坐标：

(4.2.16)2023/6/8第四章电磁波的传播184.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射

(4.2.16)上式表明：反射波和折射波的波矢位于n-k平面（称为入射面）内。取入射面为x-z平面，则由(4.2.16)得

(4.2.18)

(4.2.17)反射波和入射波的频率和波矢被唯一确定，原通解中求和不复存在。四反射定律和折射定律xzkk12k图4－3由(4.2.18)得

(4.2.19)

(4.2.20)2023/6/8第四章电磁波的传播194.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射边值关系对反射波和折射波的幅度约束独立齐次边值关系

解的存在性和唯一性

E与k垂直，E"与k"垂直，各有两个独立分量；独立边值关系共计4个，解唯一存在。

尝试分两种情况进行求解：1.E垂直于入射面，2.E平行于入射面；

依据：叠加原理

目的：将4元代数方程化为两组2元代数方程求解，简化计算过程2023/6/8第四章电磁波的传播204.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射1.E垂直于入射面zHEHxkkEHEk图4－4猜测：E和E"也垂直于入射面；规定：指向纸面为电场正向，按电场、磁场、波矢右手正交关系标出磁场强度正向，示于图4－4{以下一律取

(4.2.21){2023/6/8第四章电磁波的传播214.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射2.E平行于入射面（H垂直于入射面）猜测：H和H"也垂直于入射面；规定：指向纸面为磁场正向，按电场、磁场、波矢右手正交关系标出电场强度正向，示于图4－5{

(4.2.22){zHEHxkkEHEk图4－5式（4.2.21）和（4.2.22）：菲涅耳公式2023/6/8第四章电磁波的传播224.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射六物理分析偏振特性：两种偏振波的反射波和折射波幅度不同；自然光经反射和折射后变为部分偏振光。特别当＋"＝90º时，E平行于入射面的波不发生反射，反射波为偏振方向与入射面垂直的线偏振波。（布儒斯特定律；布儒斯特角）半波损失：当2

>1

时，有>"，对E垂直入射面的情况，有E/E<0，反射波与入射波反相，称为半波损失。全反射：当2

<1

时，有

<

；当入射角大于某个临界值时，将达到90或失去意义，折射波消失，入射波发生全反射。E垂直于入射面:E平行于入射面:菲涅耳公式2023/6/8第四章电磁波的传播234.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射全反射的数学分析：临界入射角：{=c"=/2；

>c

sin>1，"为虚数！

这表示，k“为复数矢量；而在复数法中，波矢允许为复数量，其实部为物理波矢(正余弦函数)，虚部反映平面波随空间的衰减(指数函数)。折射波电场：

折射波沿界面传播，沿z向指数衰减，此时有

传播速度为，由介质1波速和入射角决定；反射系数为1，即发生全反射2023/6/8第四章电磁波的传播244.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射

折射波不是横波【备注】当波矢为复数量时，无散条件(kE=0)

横波条件！横波条件：{将可能出现电场或磁场沿x方向的分量，从而破坏横波条件(1)入射波电场垂直入射面()，电场与x方向垂直，但(2)入射波磁场垂直入射面，磁场与x方向垂直，但2023/6/8第四章电磁波的传播254.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射七能量守恒和动量守恒关系（物理分析之继续）能量守恒关系SSS图4－6An介质1介质2入射波能流：nSA反射波能流：nSA折射波能流：nSA

直觉分析{

严格证明

从1.4节给出的能流密度的边值关系出发：{(4.2.30)

反射系数和

透射系数2023/6/8第四章电磁波的传播264.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射2.动量守恒关系

直觉分析

严格证明

从1.4节给出的光压公式出发：入射波动量流密度反射波动量流密度折射波动量流密度{光压公式：(4.2.34)介质2为透明介质：介质2为全吸收介质：平均值：{(4.2.33)即式(4.2.33)成立2023/6/8第四章电磁波的传播274.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射例4.1无限介质平面两侧的介质的磁导率同为0，介电常量分别为1和2,电场强度为E的平面电磁波自1侧垂直入射,在界面上发生反射和折射.在介质2全透明和全吸收两种情况下,分别计算介质界面所受的压力.解介质2透明：介质2全吸收：解毕备注：（参见第一章1.4节（1.4.60）式）2023/6/8第四章电磁波的传播284.3导体中的电磁波基本方程和边值关系

基本方程中出现电导率，等效介电常量为复数，相应波矢为复数

处理方法和步骤与绝缘介质情况类似2.独立齐次边值关系:1.基本方程：3.说明:2023/6/8第四章电磁波的传播294.3导体中的电磁波用直角坐标下的分离变量法求解电场波动方程，得二无限均匀导体中的平面电磁波(4.3.9)(4.3.10)(4.3.11)横波条件：无散条件：仅当//时才能满足(反证法)2023/6/8第四章电磁波的传播304.3导体中的电磁波电磁波在导体表面的反射与折射

由绝缘介质结果，做如下替换：xzk12k图4－72,,01,0

反射定律：

折射波衰减方向：

折射定律：沿z向衰减2023/6/8第四章电磁波的传播314.3导体中的电磁波良导体近似：＋折射波传播速度：结论：折射波传播方向近似垂直导体表面，传播速度远小于绝缘介质中的光速；二者均与导体的介电常量无关（类比恒定电场中的导体）！2023/6/8第四章电磁波的传播324.3导体中的电磁波

垂直入射情况下的幅度关系HEHkkEHEk图4－81,02,,0入射波：反射波：折射波：

边值关系：{结果：

不妨假定电场正向垂直纸面向内

正确列出独立齐次边值关系介质2换成理想导体或超导体怎么处理？无折射波；边值关系：E+E=0;HH'=2H=i0;(i0与E正向一致)i02023/6/8第四章电磁波的传播334.3导体中的电磁波上述结果与2无关,同样说明对良导体来说,其介电常量不起作用.反射系数：

良导体近似及对结果的物理分析：3.半波损失：E/E≈14.折射波的特性：(4.3.29)折射波因欧姆耗散沿透入深度指数衰减(对比绝缘介质全反射情况)2023/6/8第四章电磁波的传播344.3导体中的电磁波表面电阻和功率耗散引入表面电阻的目的：实现对良导体表面焦耳耗散的参数描述

满足边界条件：半无限良导体(z

0)中的定态电磁波解（k=

+i）上述解来自前面垂直入射结果，也可直接代入波动方程验证在理想导体极限下，下边界H切向分量有限，E切向分量趋于零①

表面电流：①2023/6/8第四章电磁波的传播354.3导体中的电磁波图4－9abi0

平均功率：

表面电阻：积分电导：；表面电阻：1/(

);功率面密度:表面电阻×面电流密度有效值平方2023/6/8第四章电磁波的传播364.3导体中的电磁波应用：计算电磁波在导体中的穿透深度；计算导体壁的焦耳功率1.计算电磁波在导体中的穿透深度：计算导体壁的焦耳功率采用良导体近似计算功率面密度：在理想导体近似下求解电磁波（见下节波导管）条件：衰减距离（也正比于1/2）>>波长积分求出单位长度波导管的耗散功率（习题4.13)良导体：普通导体：2023/6/8第四章电磁波的传播374.4谐振腔和波导管

将电磁波限制在有限空间，实现高频电磁波的有效激发和传播

求解赫姆霍兹方程的边值问题，分量变量法

不同于反射折射问题，允许出现多解，分析各种波模的性质一基本方程和边界条件

电磁场以理想导体为边界，设为S；内部填满均匀线性各向同性介质电场定解问题：磁场及界面场源：(规定n指向解域内部)自动满足事先将无散条件对边值的约束条件写出：图4－10En(0)nEn(n)nA(4.4.7)仅适于平面边界；对球面边界，见习题2.12023/6/8第四章电磁波的传播384.4谐振腔和波导管二谐振腔1.求解过程（分离变量法）

图4－11zxyL2L3L1O解域：解域边界S：针对电场E的某个分量u求分离变量解：(4.4.10)(4.4.11)(4.4.12)由边界条件定参数，以Ex为例：{2023/6/8第四章电磁波的传播394.4谐振腔和波导管m,n,l为正整数(4.4.14)(4.4.13)对Ey

的和Ez

作类似处理，最终求得：(4.4.15)由无散条件E＝0，导出3个幅度因子满足如下约束条件：(4.4.16)2023/6/8第四章电磁波的传播404.4谐振腔和波导管将电场解乘上因子，取其实部,求得实际电场为(4.4.17)2.物理分析不传播，为驻波解波矢分量取离散值（又称本征值），由整数集合（m,n,l）表征,对应解为本征解。在（m,n,l）中，至少有两个不为零，否则为零解。（m,n,l）本征解的角频率为由整数集合（m,n,l）表征的本征解,存在两个独立波模最低频率和最大波长（对L1,L2>L3)：(4.4.16)(4.4.14)(4.4.13)2023/6/8第四章电磁波的传播414.4谐振腔和波导管三波导管1.求解过程（分离变量法）

解域：解域边界S：分离变量解：(4.4.21)(4.4.11)图4－12zyxOba与谐振腔解的区别：如何看待这一区别？

两种取法在数学上完全等效，可随意选取；

对谐振腔情况取前者，对波导管情况取后者，可简化数学分析，属

于一种数学技巧；

谐振腔为驻波解，波导管为行波解，并非来自本征解的取法不同，

而是来自z向边界的边界条件；若限于右行波，可取c2=0