《解直角三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《解直角三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.

【知识络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点二、锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切、余切的定义

如右图，在Rt△ABC中，∠C=900，如果锐角A确定：

(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝EQ\f(∠A的对边,斜边)(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝EQ\f(∠A的邻边,斜边)(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝EQ\f(∠A的对边,∠A的邻边)(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cotA＝EQ\f(∠A的邻边,∠A的对边)要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示∠A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.

(4)三角函数有时还可以表示成等.

2.锐角三角函数的定义

锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.

要点诠释：

1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA、cotA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA、cotA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA＞0.

2．锐角三角函数之间的关系：

余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；tanA=cotB,cotA=tanB.

同角三角函数关系：sin2A＋cos2

3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1

在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具.

要点三、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；

边边关系：勾股定理，即；

边角关系：锐角三角函数，即

要点诠释：

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

(3)解直角三角形的常见类型及解法：已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，要点四、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见的应用问题类型

(1)仰角与俯角：

(2)坡度：；坡角:.

(3)方向角：

要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

2．锐角三角函数的应用

用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

【典型例题】类型一、锐角三角函数1．(1)如图所示，P是角α的边上一点，且点P的坐标为(-3，4)，则sinα＝()．A．B．C．D．2例1（1）图例1（2）图(2)在正方形格中，∠AOB如图所示放置，则cos∠AOB的值为()．A.B.C.D.2【答案】(1)C；(2)A；【解析】(1)由图象知OA＝3，PA＝4，在Rt△PAO中．∴．所以选C．(2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形Rt△OCD，且OC＝1，CD＝2，则OD．因此．所以选A．【总结升华】两小题都没有出现现成的直角三角形．∠O分别置于直角坐标系和正方形格之中，通过观察图形，构造含∠O的直角三角形．举一反三：【变式】已知，如图，D是中BC边的中点，，，求．【答案】过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE=∠BAD=90°，由，得设AD=2k,AB=3k,∵D是中BC边的中点，∴DE=在Rt△ADE中，类型二、特殊角的三角函数值2．先化简，再求代数式的值，其中．【思路点拨】先进行分式化简，再由得x的值，最后代入求出结果．【答案与解析】原式而．∴原式＝．【总结升华】关于分式的化简求值，不管是否要求先化简再求值，一般都要先进过化简；另外要有整体代入的思想．举一反三：【变式】计算：tan230°cos230°－sin245°cot45°【答案】原式===类型三、解直角三角形3．如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论正确的有（）．①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝cm．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】先由菱形的周长求出菱形的边长，再根据可以求出DE，进而求出AE、BE等.【答案】C；【解析】由菱形的周长为20cm知菱形边长是5cm．在Rt△ADE中，∵AD＝5cm，sinA＝，∴DE＝AD·sinA＝(cm)．∴(cm)．∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm2)．在Rt△DEB中，(cm)．综上所述①②③正确．故选C．【总结升华】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理的综合运用.类型四、解直角三角形的实际问题4．如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．【答案与解析】过点P作PC⊥AB垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，在Rt△APC中，．∴PC＝PA·cos∠APC＝，在Rt△PCB中，，∴∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是海里．【总结升华】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°(或105°)角的顶点向对边作垂线是解决问题的关键．由题意知△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C．举一反三：【变式】（2019•南通）如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里【答案与解析】解：过P作PC⊥AB于点C，在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，∴AC=AP•sin45°=40×=40（海里），PC=AP•cos45°=40×=40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，∴BC=PC•tan60°=40（海里），则AB=AC+BC=（40+40）海里．5．（2019•安徽模拟）如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：）【答案与解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB•sin45°=（m），在Rt△ADC中AD==5（m），CD==（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后的斜坡会加长2.07m；（2）这样改造能行．∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴这样改造能行．【总结升华】当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,若小正方体的棱长为a,关于它的视图和表面积,下列说法正确的是()A．它的主视图面积最大,最大面积为4a2 B．它的左视图面积最大,最大面积为4a2C．它的俯视图面积最大,最大面积为5a2 D．它的表面积为22a22．用一批相同的正多边形地砖辅地，要求顶点聚在一起，且砖与砖之间不留空隙，这样的地砖是（）A．正五边形 B．正三角形，正五边形C．正三角形，正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形，正六边形3．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在边AB上，∠CPB的平分线交边BC于点D，DE⊥CP于点E，DF⊥AB于点F．当△PED与△BFD的面积相等时，BP的值为（）A. B. C. D.4．已知抛物线SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值（）A．等于SKIPIF1<0 B．等于SKIPIF1<0 C．等于SKIPIF1<0 D．不能确定5．在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，sin30°，tan30°，（﹣SKIPIF1<0）0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这八个数中，整数和无理数分别有（）A．3个，2个 B．2个，2个 C．2个，3个 D．3个，3个6．在﹣3，﹣1，1，3四个数中，比﹣2小的数是（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．37．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长交AD于点Q．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论为（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③8．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD＞AB，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE，若平行四边形ABCD的周长为20，则△CDE的周长是（）A.10 B.11 C.12 D.139．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=SKIPIF1<0与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是()A． B． C． D．10．甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲4594935.3乙4594954.8A．甲、乙两班的平均水平相同 B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D．甲班成绩优异的人数比乙班多11．如图，平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则这个平行四边形ABCD的面积是（）A．2SKIPIF1<0 B．2SKIPIF1<0C．3SKIPIF1<0 D．12SKIPIF1<012．如图，将直线y=x向下平移b个单位长度后得到直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与反比例函数SKIPIF1<0（x＞0）的图像相交于点A，与x轴相交于点B，则SKIPIF1<0的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题13．如图（图1），在△ABC中，∠B＝45°，点P从△ABC的顶点出发，沿A→B→C匀速运动到点C，（图2）是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M，N为曲线部分的两个端点，则△ABC的周长是_____．14．如图，直线y=－2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线SKIPIF1<0在第一象限经过点D，则k=_______．15．计算SKIPIF1<0的结果是．16．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），若一次函数y＝mx－6m＋2(m≠0)的图像将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为___________．17．一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的值可以是______(写出一个即可).18．抽屉里有２只黑色和１只白色的袜子，它们混在一起，随意抽出两只刚好配成一双的概率是_____________三、解答题19．3x＝12，0.2y＝12，0.1z＝0，∴对虾400亩，大黄鱼600亩，蛏子0亩；养植对虾的劳动力是12人，养殖大黄鱼的劳动力是12人，养殖蛏子的劳动力是0人．【点睛】（1）解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；

（2）利用函数的单调性来解决实际问题．20．如图，已知抛物线经过点A（SKIPIF1<0，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于SKIPIF1<0轴对称，点P是SKIPIF1<0轴上的一个动点，设点P的坐标为（SKIPIF1<0，0），过点P作SKIPIF1<0轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F（0，SKIPIF1<0），点P在SKIPIF1<0轴上运动，试求当SKIPIF1<0为何值时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．21．如图1，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CD＝6cm，DE＝5cm，求⊙O直径的长．23．某商店2月购进了甲乙两种货物共300千克，已知甲进价每千克20元，售价每千克40元，乙进价每千克5元，售价每千克10元．（1）若这批货物全部销售完获利不低于4500元，则甲至少购进多少千克？（2）第一批货物很快售完，于是商家决定购进第二批甲和乙两种货物，甲和乙的进价不变，经调查发现甲售价每上涨2元，销量比（1）中获得最低利润时的销量下降5千克：乙每千克售价比第一批上涨1.2元，销量与（1）中获得最低利润的销量保持不变，结果第二批中已经卖掉的甲和乙的销售总额比（1）中第一批甲和乙售完后对应的最低销售总额增加了480元，求第二批货物中甲的售价．24．如图，∠BCA＝90°，点O在△ABC的斜边AB上，以OB为半径的⊙O经过点B，与AC相切于点D，连结BD．（1）求证；BD平分∠ABC；（2）若∠ABC＝60°，OB＝2，计算△ABC的面积．25．（1）计算：SKIPIF1<0（2）解方程：SKIPIF1<0

【参考答案】***一、选择题题号123456789101112答案CDDADCAACADA二、填空题13．24+8SKIPIF1<014．15．16．-5或SKIPIF1<017．-1（答案不唯一，即可）18．SKIPIF1<0三、解答题19．无20．（1）SKIPIF1<0；（2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，点Q的坐标为（3，2）或（SKIPIF1<0，0）；（3）当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为SKIPIF1<0，得出a的值，再代入解析式即可；（2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，则分为以下两种情况①当∠DOB=∠MBQ=90°时，可以得到△MBQ∽△BPQ即可解答，②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′即可解答；（3）根据题意可知点D坐标为（0，SKIPIF1<0），得到直线BD解析式为SKIPIF1<0，因为QM⊥SKIPIF1<0轴，P（SKIPIF1<0，0），则SKIPIF1<0，因为FSKIPIF1<0，SKIPIF1<0、D（0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，所以当QM=DF，即SKIPIF1<0时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形，即可解答.【详解】（1）∵抛物线过点A（SKIPIF1<0，0）、B（4，0），∴可设抛物线的解析式为SKIPIF1<0，∵抛物线经过点C（0，2），∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为SKIPIF1<0；（2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.如图所示：∵QM∥DC，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则SKIPIF1<0，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴SKIPIF1<0，∵P（SKIPIF1<0，0），B（4，0），∴BPSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴SKIPIF1<0，点Q的坐标为（3，2）；,②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（SKIPIF1<0，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（SKIPIF1<0，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．（3）∵点D与点C（0，2）关于SKIPIF1<0轴对称，∴点D坐标为（0，SKIPIF1<0），设直线BD解析式为SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线BD解析式为SKIPIF1<0，∵QM⊥SKIPIF1<0轴，P（SKIPIF1<0，0），∴QSKIPIF1<0、MSKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵FSKIPIF1<0，SKIPIF1<0、D（0，SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，∵QM∥DF，∴当QM=DF，即SKIPIF1<0时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形，解得：m=-1或m=3或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即m=-1或m=3或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】此题综合考查了二次函数的性质，三角形相似和平行四边形的判断，解题关键在于熟练掌握各个知识点的性质，并且作出辅助线.21．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)直接利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；(2)利用翻折变换的性质得出∠DBG=∠DBF，再利用平行线的判定方法得出CE∥BG，进而求出四边形BGCE是平行四边形【详解】（1）如图1，∵OB＝OC，∴∠ACE＝∠DBF，在△ACE和△DBF中，SKIPIF1<0，∴△ACE≌△DBF（AAS）；（2）如图2，∵∠ACE＝∠DBF，∠DBG＝∠DBF，∴∠ACE＝∠DBG，∴CE∥BG，∵CE＝BF，BG＝BF，∴CE＝BG，∴四边形BGCE是平行四边形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质和翻折变换(折叠问题)，综合利用判定的性质是解题关键22．(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；(2)根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)证明：连结DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切；(2)BC=2DE=10BD＝SKIPIF1<08，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴AC＝SKIPIF1<0，∴⊙O直径的长为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．23．（1）甲至少购进200千克；（2）第二批货物中甲的售价为44或76．【解析】【分析】（1）设购进甲x千克，则购进乙（300﹣x）千克，根据题意列方程即可得到结论；（2）设第二批货物中甲的售价为a，根据题意列方程即可得到结论．【详解】（1）设购进甲x千克，则购进乙（300﹣x）千克，根据题意得：（40﹣20）x+（10﹣5）（300﹣x）≥4500，解得：x≥200．答：甲至少购进200千克；（2）设第二批货物中甲的售价为a，根据题意得：a×[200﹣5（a﹣40）÷2]+（10+1.2）（300﹣200）＝40×200+10×（300﹣200）+480，整理得：a2﹣120a+3344＝0，解得：a1＝44，a2＝76，答：第二批货物中甲的售价为44或76．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24．（1）详见解析；（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）连接OD，由AC与圆相切，得到∠ODA为直角，再由∠C为直角，利用同位角相等两直线平行，得到OD与BC平行，由两直线平行内错角相等，及等边对等角，等量代换即可得证；

（2）由∠ABC的度数，求出∠A的度数，根据OD的长，利用锐角三角函数定义求出OA的长，由OA+OB求出AB的长，再利用锐角三角函数定义求出BC与AC的长，即可确定出三角形ABC面积．【详解】解：（1）如图，连结OD，∵∠BCA＝90°，点O在△ABC的斜边AB上，以OB为半径的⊙O经过点B，与AC相切于点D，∴∠ODA＝∠C＝90°，OB＝OD，∴BC∥OD，∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）∵∠ABC＝60°，OB＝2，且∠ODA＝∠C＝90°．∴∠A＝90°﹣60°＝30°，OD＝OB＝2．∴OA＝SKIPIF1<0＝4，∴AB＝2+4＝6，∴BC＝6sin30°＝3，AC＝6cos30°＝3SKIPIF1<0，∴S△ABC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．25．(1)10;(2)原方程无解.【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式＝SKIPIF1<0＝10；（2）去分母得：3（5x﹣4）+3x﹣6＝4x+10，解得：x＝2，经检验：x＝2是增根，原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．以下多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．矩形 C．等边三角形 D．平行四边形2．已知抛物线SKIPIF1<0与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论：①SKIPIF1<0；②该抛物线的对称轴在y轴的左侧；③关于x的方程SKIPIF1<0有实数根；④SKIPIF1<0.其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．某种病菌的直径为0.00000471cm，把数据0.00000471用科学记数法表示为()A．47.1×10﹣4 B．4.71×10﹣5 C．4.71×10﹣7 D．4.71×10﹣64．如图所示的几何体是将一圆锥截去一部分后所得到的，则它的左视图是（）A． B． C． D．5．左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是A． B． C． D．6．二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的x与y的部分对应值如下表：有下列结论：①a＞0；②4a﹣2b+1＞0；③x＝﹣3是关于x的一元二次方程ax2+(b﹣1)x+c＝0的一个根；④当﹣3≤x≤n时，ax2+(b﹣1)x+c≥0．其中正确结论的个数为()A．4 B．3 C．2 D．17．如图，SKIPIF1<0与正八边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别相交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则弧SKIPIF1<0所对的圆周角SKIPIF1<0的大小为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（0,m）、（4、m）、（1，n），若n＜m，则（）A．a＞0且4a+b=0 B．a＜0且4a+b=0C．a＞0且2a+b=0 D．a＜0且2a+b=09．下列交通标志是中心对称图形的为（）A． B． C． D．10．在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，且BE＝2DE．若△DEC的面积为2，则△AOB的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．611．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A.甲超市的利润逐月减少B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市12．分式方程SKIPIF1<0的解为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题13．写出一个满足SKIPIF1<0的整数a的值为_____．14．当a＜0，b＞0时．化简：SKIPIF1<0＝_____．15．在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是_____．16．平面直角坐标系中，点P(﹣2，4)关于x轴对称的点的坐标为_____．17．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为_____．18．如果分式有意义，那么x的取值范围是_____．三、解答题19．如图，甲楼AB高20米，乙楼CD高10米，两栋楼之间的水平距离BD＝30m，为了测量某电视塔EF的高度，小明在甲楼楼顶A处观测电视塔塔顶E，测得仰角为37°，小明在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶E，测得仰角为45°，求该电视塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，SKIPIF1<0）20．为响应我市中考改革，我市第四中学组织了一次全校2000名学生参加的“中考模拟”测试，测试结束后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次模拟测试的成绩分布情况，学校随机抽取了其中100名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜6050.0560≤x＜70100.1070≤x＜80a0.1580≤x＜9030b90≤x≤100400.40请根据所给信息，解答下列问题：(1)a=___，b=___；(2)请补全频数分布直方图；(3)这次比赛成绩的中位数会落在___分数段；(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次模拟测试的2000名学生中成绩“优”等的概率为多少?21．如图，数轴上有点A、B，且点A表示﹣4，AB＝10．(1)点B表示的有理数为．(2)一只小虫从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向爬行到点C，点M、N分别是AC、BC的中点．①若爬行4秒，则M表示数；N表示数；MN＝．②若爬行16秒，则M表示数；线段MN＝．③若爬行t秒，则线段MN＝．发现：点A、B、C在同一直线上，点M、N分别是AC、BC的中点，已知MN＝a，则AB＝(用含a的式子表示)22．（1）计算：SKIPIF1<0；（2）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝2，b＝﹣1．23．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．24．为提升城市品味、改善居民生活环境，我省某市拟对某条河沿线十余个地块进行片区改造，其中道路改造是难度较大的工程如图是某段河道坡路的横截面，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，CM与水平地面AN的距离为12米．已知山坡路AB的路面长10米，坡角BAN＝15°，山坡路BC与水平面的夹角为30°，为了降低坡度，方便通行，决定降低坡路BC的坡度，得到新的山坡AD，降低后BD与CM相交于点D，点D，A，B在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，求整个山坡路AD的长和CD的长度（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58结果精确到0.1米）25．如图1，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为D，连接AC，BC，CD，BD，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，作PM⊥x轴于点M，设点M的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）试探究是否存在这样的点P，使得以P，M，B为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，PM交线段BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交线段BC于点F，请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出当m为何值时QF有最大值．

【参考答案】***一、选择题题号123456789101112答案BADDABCACADA二、填空题13．答案不唯一：2、3、414．SKIPIF1<015．416．(﹣2，﹣4)17．SKIPIF1<018．x≠3三、解答题19．EF约为140m【解析】【分析】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，根据正切的定义求出CN，得到AM，根据正切的定义列式计算即可．【详解】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，垂足为M、N，设EM为xm，则EN为（10+x）m．在Rt△CEN中，tan45°＝SKIPIF1<0，∴CN＝10+x，∴AM＝40+x，在Rt△AEM中，tan37°＝SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得，x≈120，则EF＝x+20＝140（m）答：电视踏高度EF约为140m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．(1)a=15，b=0.30；(2)如图所示；见解析；(3)80≤x＜90；(4)40％.【解析】【分析】（1）用抽取的总人数减去其它各段成绩的人数，即可求出a；用频数除以被抽取的总数即可求出频率；（2）根据（1）求出的a的值，可直接补全统计图；（3）根据中位数的定义即可判断；（4）利用样本估计总体的思想求出参加这次模拟测试的2000名学生中成绩“优”等的人数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】(1)样本容量是：5÷0.05=100，a=100×0.15=15，b=30÷100=0.30；(2)补全频数分布直方图，如下：(3)一共有100个数据，按照从小到大的顺序排列后，第50个与第51个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80⩽x<90分数段；(4)∵该校参加这次模拟测试的2000名学生中成绩“优”等的有：2000×0.4=800（人），∴该校参加这次模拟测试的2000名学生中成绩“优”等的概率为：SKIPIF1<0=40%．【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数等知识，解题的关键是掌握基本概念，熟练应用所学知识解决问题．21．(1)6；(2)①﹣2，3，5；②4，5；③2a.【解析】【分析】（1）由已知可知B在A的右侧10个单位处，根据平移即可求出A坐标，

（2）根据已知，分别求出C的位置，进而确定M，N的点表示的数，然后求解；在③时，要分两种情况分别讨论AB表示的式子；【详解】(1)∵点A表示﹣4，AB＝10．∴﹣4+10＝6，∴B点表示6，故答案为6；(2)①爬行4秒，此时C点表示0，∵M是AC的中点，∴M表示﹣2；∴BC＝6，∴N表示3；∴MN＝2+3＝5；故答案为﹣2，3，5；②爬行16秒，此时C点表示12，∵M是AC的中点，∴M表示4；∴BC＝6，∴N表示9；∴MN＝9﹣4＝5；故答案为4，5；③当C在B的左侧时，MN＝a，∴MN＝SKIPIF1<0AC+SKIPIF1<0BC＝SKIPIF1<0AB，∴AB＝2a；当C在B的右侧时，MN＝a，∴MN＝SKIPIF1<0AC﹣SKIPIF1<0BC＝SKIPIF1<0AB，∴AB＝2a；∴发现：AB＝2a；故答案为2a；【点睛】本题考查数轴上点的特点；能够根据点的运动位置确定点C的具体表示的数，同时结合中点的定义是解题的关键.22．（1）9+SKIPIF1<0;(2)4ab﹣5b2，-13【解析】【分析】(1)按顺序先分别进行负指数幂运算、二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可；(2)根据完全平方公式和平方差公式化简，然后把a、b的值代入计算即可．【详解】(1)SKIPIF1<0＝9﹣2SKIPIF1<0+6×SKIPIF1<0＝9﹣2SKIPIF1<0+3SKIPIF1<0＝9+SKIPIF