新教材人教B版高中数学必修2教学课件：第六章-621-向量基本定理

6.2

向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理第六章平面向量初步学习目标1.理解共线向量基本定理及其应用.2.了解平面向量基本定理及其含义.重点：1.共线向量基本定理；2.平面向量基本定理.难点：平面向量基本定理的应用.知识梳理一、共线向量基本定理如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得

.b＝λaλ＝μ在共线向量基本定理中：（1）b＝λa时，通常称为b能用a表示.（2）其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有

.由λa＝μa可知（λ-μ）a＝0，如果λ-μ≠0，则a＝0，与已知矛盾，所以λ-μ＝0，即λ＝μ.

二、平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得

.c＝xa+yb如果c＝xa+yb＝ua+vb，那么x＝u且y＝v.当a与b不共线时，xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa+yb，则称xa+yb为c在基底{a，b}下的分解式.例1一共线向量基本定理<1>判定向量共线常考题型

【解题提示】

关键看向量a，b是否存在倍数关系.

判定向量共线的方法分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到实数λ，使b＝λa，若能找到，则a，b共线，若不能找到，则a，b不共线.解题归纳［2019·山东日照高一检测］下列各组向量：①a＝2e1，b＝-2e1；②a＝e1-e2，b＝-2e1+2e2；③a＝4e1-

e2，b＝e1-

e2；④a＝e1+e2，b＝2e1-2e2.若e1，e2不共线，则其中a，b共线的有

（填序号）.1.①②③变式训练［2019·江苏宿迁高一检测］下列命题中正确的是

（填序号）.①-5（6a）＝-30a；②7（a+b）+6b＝7a+13b；③若a＝m-n，b＝3（m-n），则a，b共线；④若（a-5b）+（a+5b）＝2a，则a，b共线.2.变式训练①②③例2<2>利用基本定理求参数［2019·湖北省黄梅一中高一检测］已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma-3b与a+（2-m）b共线，则实数m的值为

.【解题提示】利用共线向量的性质列出方程（组），由此求出m的值.

【答案】-1或3利用基本定理求参数的方法若向量a，b（a≠0）共线，则由基本定理可得，存在一个实数λ，使得向量b能用非零向量a来表示，即若b与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa，再利用对应系数相等这一条件，列出方程组，从而求解.解题归纳已知e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1+me2与b＝-3e1-e2共线，则m＝

.（2）已知e1和e2不共线，a＝λe1+e2，b＝4e1+2e2，并且a，b共线，则λ的值是

.2变式训练1.

2.

<3>利用共线向量基本定理解决几何问题例3

解题归纳

解题归纳1.变式训练

32.

解题归纳二平面向量基本定理<1>基底的判断例4如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是

.①λe1+μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1+μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1+μ1e2＝λ（λ2e1+μ2e2）；④若存在实数λ，μ使得λe1+μe2＝0，则λ＝μ＝0.【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个.【答案】②③【注意】1.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量a，b组成的集合{a，b}都可以作为基底.2.基底给定时，分解形式唯一，即x，y是被c，a，b唯一确定的数值.3.平面内的任意向量c都可在给出的基底下进行分解，同一非零向量在不同基底下的分解式不同.4.若{a，b}是同一平面内所有向量的一组基底，则当c与a共线时，y＝0；当c与b共线时，x＝0；当c＝0时，x＝y＝0.解题归纳变式训练

④<2>用基底表示向量例5

用基底表示向量的方法平面内任何一个向量都可以用一组基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合数乘向量的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.具体表示方法有两种：1.利用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；2.列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.解题归纳1.变式训练［2019·安徽滁州高一期末］已知向量a，b不共线，设向量m＝2a-3b，n＝4a-2b，p＝3a+2b，若用基底{m，n}表示p，则p＝

.

变式训练

2.

a+b2a+c<3>利用平面向量基本定理求参数例6

变式训练

小结共线向量基本定理

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得c＝xa+yb.平面向量基本定理中，当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果c＝xa+yb＝ua+vb，那么x＝u且y＝v.平面向量基本定理特别地，当a与b不共线时，因为0＝0a+0b，所以对于xa+yb来说，当x≠0或y≠0时，必定有xa+yb≠0.也就是说，当a与b