原子的量子理论

原子的量子理论2023/6/8第一页，共五十八页，编辑于2023年，星期二§21－1原子光谱的规律性§21－2玻尔的氢原子理论§21－3德布罗意假设及其实验证明§21－4不确定关系§21－5粒子的波函数薛定谔方程§21－6一维无限深的势阱第二页，共五十八页，编辑于2023年，星期二4、了解波函数及其统计解释、不确定关系，了解一维定态薛定谔方程。3、理解描述物质波动性、粒子性的物理量之间的关系。2、了解德布罗意的物质波假设及电子衍射实验，理解光和实物粒子的波粒二象性。1、理解氢原子光谱的实验规律及玻尔氢原子理论,了解此理论的意义及其局限性。教学要求：第三页，共五十八页，编辑于2023年，星期二原子的核模型与经典电磁理论有矛盾，如果原子的核模型正确则经典电磁理论不能解释：（1）原子的不稳定性；（2）原子光谱的分离（裂）性（即不连续性）。实验表明经典电磁理论已不适用于原子内部的运动，必须建立适用于原子内部微观过程的理论。1911年卢瑟福在散射实验的基础上提出了原子的核模型，根据原子的核模型，可以很好地解释大角散射。第四页，共五十八页，编辑于2023年，星期二研究原子结构规律有两条途径：1、利用高能粒子轰击原子—轰出未知粒子来研究(高能物理)；

2、通过在外界激发下，原子的发射光谱来研究光谱分析。光谱可分为：1、发射光谱：1)连续光谱：炽热固体、液体、黑体；2)线状光谱(原子)：彼此分离亮线,气体放电、火花电弧等。§21－1原子光谱的规律性第五页，共五十八页，编辑于2023年，星期二两者都能反映物质特性及其内部组成结构___特征谱线最简单的原子发射光谱是氢原子光谱。2、吸收光谱：连续谱通过物质，有些谱线被吸收形成的暗线。氢原子的光谱系1885年巴尔末(瑞士一中学教师)发现了氢原子光谱在可见光部分的规律，即1、巴尔末系(可见光部分)HαHβHγHδ第六页，共五十八页，编辑于2023年，星期二2、赖曼系（紫外光部分）第七页，共五十八页，编辑于2023年，星期二3、红外光部分：4、氢原子光谱规律：nf=1、2、3、4和5分别对应赖曼系、巴尔末系、帕邢系、布喇开系和普芳德系。第八页，共五十八页，编辑于2023年，星期二太阳光谱第九页，共五十八页，编辑于2023年，星期二1、玻尔的氢原子理论是建立在以下三条假设基础上：1)定态假设：原子系统只能具有一系列的不连续能量状态。2)角动量假设——量子化条件

3)跃迁假设：在两个能级间跃迁时吸收或发射光子1913年，玻尔从原子核模型和原子的稳定性出发，应用普朗克的量子概念，提出了关于氢原子内部运动理论，成功解释了氢原子光谱的规律性。§21－2玻尔的氢原子理论第十页，共五十八页，编辑于2023年，星期二2、氢原子能级公式认为：氢核质量无穷大,近似静止(相对电子)[1]

半径量子化：库仑力提供向心力第十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期二[2]能量量子化第十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期二电离：基态n=1，激发态n>1说明不连续，取一系列分离值——能级3、原子辐射与实验吻合得极好根据玻尔的跃迁假设：第十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期二紫外光红外光λ赖曼系（nf=1）巴尔末系（nf=2）帕邢系（nf=3）可见光n=1n=2n=3n=∞第十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期二（1）不能解释多电子原子光谱、强度、宽度和偏振性等；（2）不能说明原子是如何结合成分子，构成液体、固体的。（3）逻辑上有错误：以经典理论为基础,又生硬地加上与经典理论不相容的量子化假设,很不协调----半经典半量子理论。4、玻尔氢原子理论的困难满意解释了H、类H原子线谱，得到了，但仍存在缺陷：第十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期二玻尔原子理论的意义在于：1)揭示了微观体系具有量子化特征（规律），是原子物理发展史上一个重要的里程碑，对量子力学的建立起了巨大推进作用。2)提出“定态”，“能级”，“量子跃迁”等概念，在量子力学中仍很重要，具有极其深远的影响。第十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期二一、德布罗意波假设—物质波概念2、1924年，德布罗意用类比手法，提出实物粒子亦具有波粒二象性的假设：每一个运动的粒子都有一个波与之联系，这波的波长和粒子的质量m及其速度v之间有一简单关系：

1、光的波粒二象性：§21-3德布罗意假设及其实验证明==nlhEhp

粒子性：黑体、光电、康普顿波动性：可以发生干涉、衍射第十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期二物质波：与实物粒子相联系的波。德布罗意关系式说明能量为E、动量为p的粒子,从波动性看来应具有ν和λ。第十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期二3、玻尔氢原子理论量子化条件的导出：(1)定态：只有当电子在核外绕行的圆轨道周长为电子波长的整数倍，即只有当电子波环绕着原子核形成驻波的情况下，原子才具有稳定状态。(2)角动量L第十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期二例计算电子经过U1=100V

和U2

=10000V

的电压加速后的得布罗意波长λ1和λ2分别是多少？解：经过电压U

加速后，电子的动能为：将已知数据代入计算可得：λ1=1.225（埃）λ2=0.1225（埃）第二十页，共五十八页，编辑于2023年，星期二二、德布罗意假设的实验证明1、戴维森—革末实验I0510152025电子束加速后投射到单晶上。保持掠入角不变，改变加速电压，发现接收到的电子（电流）有一系列的极大值。GUKMB第二十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期二若电子有波动性,应满足布拉格公式:若d一定，k不同，只有取不连续的值才可以满足极值条件。第二十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期二2、汤姆孙电子衍射实验实验得到电子的衍射图样类似于X射线。证明电子确有波动性,后来又证明其他实物粒子(原子、中子)亦有波动性。电子衍射图X射线衍射图K金属箔电子束第二十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期二物质波是什么？第二十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期二三、德布罗意波的统计解释：1、双缝衍射：2、电子衍射：电子分布稀疏与密集说明电子到达各处的数量不同。统计解释：物质波振幅A的平方，与粒子在该处附近出现的概率P成正比。1926年玻恩提出：物质波是“概率波”。SS1S2用光子概念解释双缝实验第二十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期二一、不确定关系由于微观粒子具有波粒二象性，所以它具有和经典力学中质点不相同的性质，按照经典物理，每一时刻质点占有一定位置，并具有一定动量，位置和动量可以同时准确测量。而微观粒子的波动性对确定粒子的坐标和动量带来了某种限制。

设一平行电子束垂直射在单缝上，如图，大多数电子通过狭缝后继续沿原方向运动但有些电子改变了方向，即其动量改变了。§

21-4不确定关系xzd第二十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期二首先考虑第一级电子衍射，电子动量在X分量px在下列范围内：故px的不确定量为：根据单缝衍射公式dsin，得电子通过狭缝时，通过狭缝哪一点是不确定的，所以有电子坐标不确定量：Dx=d第二十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期二说明：不确定关系并非由于实验技术、误差造成，是波粒二象性的必然结果。如果考虑次级，则：同理，对三维空间有：第二十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期二例不确定关系式△x·△

px≥h表示在x方向上（A）粒子位置不能准确确定。（B）粒子动量不能准确确定。（C）粒子位置和动量都不能准确确定。（D）粒子位置和动量不能同时准确确定。例不确定关系式△x·△

px≥h，有以下几种理解：（1）粒子的动量不可能确定。（2）粒子的坐标不可能确定。（3）粒子的动量和坐标不可能同时准确确定。（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。其中正确的是：（A）（1），（2）（B）（2），（4）（C）（3），（4）（D）（4），（1）√√第二十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期二例题21-1设电子在原子中运动的速度为106m/s，原子半径约为10-10m，电子位置的不确定量至少为10-11m，即△x=10-11m，由不确定关系得：速度的不确定量在数量级上大于速度本身，在原子尺度上，电子不再有确定的速度，也就不能用经典力学求解。例题21-2质量为1g的物体，当测量其重心位置时，不确定量不超过10-6m，即△x=10-6m，由不确定关系可得：速度的不确定量，远小于可能达到的测量精度，用经典力学来处理宏观物体的运动是足够精确的。第三十页，共五十八页，编辑于2023年，星期二

与具有恒定速度的粒子（自由粒子）相联系的物质波是平面波，波的传播方向沿粒子的运动方向。沿x方向传播的平面机械波波函数为：a为平面波的振幅，为初相。可写成复数形式，只取实数部分：其中§21-5波函数薛定谔方程问题：如何寻找将粒子性与波动性联系起来的波函数？第三十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期二假定这是与能量为E、动量为P的自由粒子相联系的平面波，上式中的波长和频率（表示波动的物理量），可用表示粒子性的量E和P来表示。由德布罗意公式：平面波方程可化为：这是与能量E、动量P、沿x方向运动的自由粒子相联系的波，称为自由粒子的德布罗意波，为自由粒子的波函数，A是波函数的振幅。第三十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期二自由粒子的能量E、动量P——常数，德布罗意波是平面波。非自由粒子的能量E、动量P——不是常数，此时德布罗意波是非平面波，怎样确定那么非自由粒子的德布罗意波？它服从怎样的方程呢？在x轴上运动的自由粒子的波函数可写为：其中是波函数的一部分，只与x有关——振幅函数。（分离变量）类似于驻波的振幅。第三十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期二上式为自由粒子的薛定谔方程在有势力场中运动的粒子（非自由粒子）除有动能Ek外，还有势能U，令则（21-33）可推广到非自由粒子情形，即（21-33）第三十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期二推广到三维空间：——势能为U的力场中运动粒子的薛定谔方程（1926年）。薛定谔方程是量子力学的基本方程，不能推导，只能验证。波函数的物理意义：t时刻在空间（x，y，z）处体积元dV内找到粒子的几率与

（x，y，z，t）2dV

成比例：，对应概率密度。ΨΨ*——t时刻在（x，y，z）处单位体积中找到粒子的概率，称为概率密度。第三十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期二如果满足归一化条件，表示t时刻，在空间（x，y，z）处单位体积内找到粒子的几率—几率密度。因为在整个空间找到粒子的几率应等于1，故得到：该式称为归一化条件。波函数必须满足的条件：

单值、连续、有限和归一化条件。第三十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期二赤铜矿cuprite（Cu2O）中铜与氧的结合第三十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期二1、金属中,自由电子受力为0。势能U为常数,可看作为0。2、金属表面：

U突然增大(x=0,a)为拐点，一、势阱模型§21-6一维无限深势阱a0金属表面Ux金属---------第三十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期二为简单计,设粒子在场U中沿x轴作一维运动。2、U满足边界条件：——无限深方形势阱3、薛定谔方程的解——波函数经典观点：能量连续,几率相等,量子力学的结果应该如何?0<x<ax≤0及x≥a0U(x)=0axU(x)=∞U(x)=∞U(x)=0第三十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期二第四十页，共五十八页，编辑于2023年，星期二由归一化条件求A：第四十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期二说明：3、能量为E

时，粒子在势阱中x处的概率密度：1、粒子的波函数为驻波形式：2、粒子的能量是量子化的：

n=1，2，3，……第四十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期二波函数曲线概率密度曲线E4E3E2E1xa0n=1n=2n=3n=4n=24第四十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期二表明：第四十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期二薛定谔方程的重要意义：薛定谔方程是量子力学描述微观粒子运动规律的基本方程，由它得出的结果与实验相符合。通过求解薛定谔方程可以得出描述粒子运动状态的波函数。在求解过程中，要考虑波函数必须满足的条件：单值、连续、有限和归一化条件。不必象经典物理那样，人为地提出量子化条件，求解过程中自然得到量子化条件，这是经典物理所无法比拟的。第四十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期二1。

一个质量为m的粒子约束在长为L的一维线段上，试由不确定关系估算这个粒子所具有的最小动能。由此计算核内质子和中子的最小动能（原子核半径的数量级为10-14m）。解：由题意知粒子的位置不确定度为L。则由不确定关系得其动量不确定度为：上式说明，该粒子的最小动量为：

在不考虑相对论效应时，该粒子的最小动能为：对于核内的质子和中子有m~1.67×10-27kg，则第四十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期二2。设粒子沿x方向运动，波函数求：（1）归一化常数A；（2）粒子的概率密度按坐标的分布；（3）在何处找到粒子的概率最大？解：（1）根据归一化条件有由此得归一化常数为第四十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期二（3）很显然，由上式知x=0处概率密度最大。此时有：

（2）粒子的概率密度分布为Wx第四十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期二3一个被关闭在一个一维箱子中的粒子的质量为m0，箱子的两个理想反射壁之间的距离为L，若粒子的波函数是试由薛定谔方程求出粒子能量的表达式。解：该粒子的薛定谔方程为将代入可得：其基态能量为：第四十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期二4。已知二质点A,B静止质量均为m0，若质点A静止，质点B以6m0c2的动能向A运动，碰撞后合成一粒子，若无能量释放。求：合成粒子的静止质量。解：两粒子的能量分别为由能量守恒，合成后新粒子的总能量由相对论质能关系第五十页，共五十八页，编辑于2023年，星期二粒子的静止质量由动量守恒由题意由相对论的能量和动量关系第五十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期二