2022-2023学年江苏省扬州市广陵区高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省扬州市广陵区高二下学期期中数学试题一、单选题1．的值为（

）A．12 B．30 C．26 D．24【答案】B【分析】根据排列数的计算公式求解即可.【详解】.故选：B2．二项式的展开式中第3项的二项式系数为（

）A． B．56 C． D．28【答案】D【分析】二项式展开式的第k+1项的二项式系数为，进而得到答案.【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为.故选：D.3．已知，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.4．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（

）A．120种 B．90种C．60种 D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.5．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意,,故.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.6．被7除的余数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据，按照二项式定理展开，可得它除以7的余数．【详解】因为，显然，除了最后一项外，其余的各项都能被7整除，故它除以7的余数为.故选：B7．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE的一个法向量，进而可求直线与平面BDE所成角.【详解】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，所以，，，设平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，所以平面BDE的一个法向量，设直线与平面BDE所成角为，所以．故选：D.8．的展开式中含的项的系数为（

）A． B．60 C． D．30【答案】A【分析】将转化为，根据二项式定理求出含的项，即可得出答案，【详解】的展开式中含的项为，的展开式中含的项为，的展开式中含的项的系数为.故选：A.二、多选题9．二项式的展开式中，二项式系数最大的项为（

）A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项【答案】BC【分析】根据二项式系数的性质即可得到答案.【详解】由题得二项式的展开式共有14项，中间两项的二项式系数最大，该两项为第七项和第八项，故选：BC.10．将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（

）A． B．C． D．18【答案】BC【分析】根据题意，有2种解法，解法1，先将4人分三组，再将分好的三组全排列，由分布计数原理计算可得B正确；解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，由分布计数原理计算可得C正确；即可得答案；【详解】解：根据题意，解法1，先将4人三组，有C42种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个兴趣小组，有A33种情况，则有C42A33种分配方法，B正确；解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，有C31C42种情况，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，有A22种情况，则有C31C42A22种分配方法，C正确；故选：BC.【点睛】本题考查排列组合的应用，分组分配问题，可以先分组后分配，也可以直接分配，解题的关键是分析思路，做到不重不漏，属于基础题.11．设，则下列说法正确的是（

）A． B．C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．【答案】BD【分析】对于A，令，从而即可判断；对于B，令，结合A的结论，即可判断；对于C，由二次项的展开式中系数的特征即可判断；对于D，利用二次项的展开式公式求出即可判断.【详解】解：对于A，令得，故A不正确；对于B，令得，而由A知：，因此，故B正确；对于C，因为的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确；对于D，因为的展开式中，，所以，，因此，，所以，故D正确．故选：BD.12．如图，正方体的棱长为2，分别为的中点．则下列结论正确的是（

）A．直线与平面垂直B．直线与平面平行C．三棱锥的体积为D．点到平面的距离为【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B；根据等体积法可求得三棱锥的体积，可判断C；利用空间距离的向量计算公式，可判断D.【详解】如图，以D点为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，则,对于A,,设平面AEF的法向量为，则，可取，而，与不平行，故直线与平面不垂直，故A错；对于B，,平面AEF的法向量为,,不在平面内,故直线与平面平行，故B正确；对于C，,故C正确；对于D，,平面AEF的法向量为,,故点到平面的距离为，故D正确，故选：BCD三、填空题13．已知，，若与共线，则_________.【答案】/【分析】由向量共线的坐标表示得出的值.【详解】因为与共线，所以，所以，，则.故答案为：14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】［方法一］：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．故答案为：.［方法二］：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．故答案为：.【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．15．已知的展开式中的系数为5，则______．【答案】【分析】根据产生的两种可能分别得到其系数的等式解出．【详解】因为的展开式中的系数为5，则，即，解得；故答案为：．四、双空题16．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则___________，___________.【答案】【分析】根据题意求出，根据条件概率计算方法可计算；根据即可求﹒【详解】由题可知，，，，若从甲箱选中一个红球放到乙箱中，则此时乙箱中有11个球，且其中5个是红球，故；同理，，，∴.故答案为：；﹒五、解答题17．（1）计算：；（2）已知，（m>1）；求的值.【答案】（1）325；（2）126.【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解；（2）根据结合题意可得，利用化简整理，再代入组合数的计算公式计算.【详解】（1）∵，则∴（2）∵，则或，解得或（舍去）∵，则.18．在①前三项系数成等差数列，②二项式系数之和为64，这两个条件中任选—个，补充在问题中，并进行解答.问题：在的展开式中，___________，求n的值及展开式中的常数项.【答案】答案见解析【分析】写出展开式通项公式，选条件①，得前三项系数，由它们成等差数列得值，由通项公式得常数项的项数，得常数项；选条件②，由二项式指数性质得值，由通项公式得常数项的项数，得常数项．【详解】解：因为二项式展开式的通项为选条件①，前三项的系数成等差数列，展开式前三项的系数分别为，，，由题设知解得或（舍去）当时，所以时，为常数项选条件②，二项式系数之和为64，所以，当时，，所以时，为常数项.19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）根据题意可判断出ABCD是正方形，从而可得，再根据，由线面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可证出；（2）由、、两两垂直可建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PC与平面AED所成的角的正弦值.【详解】（1）因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．（2）由题可知、、两两垂直，建系如图，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，设平面的一个法向量为，则，，即，取，0，，所以直线与平面所成的角的正弦值为．20．现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答）(1)两端是女生，有多少种不同的站法？(2)任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？【答案】(1)720；(2)1440；(3)2520；【分析】（1）先选2女生排两端，再将其余学生全排列，即可得结果.（2）利用插空法，把3名女生插入到4名男生所形成的5个空中，即得结果.（3）将所有人作全排列，根据甲乙女生位置的对称性，即可求结果.【详解】（1）选2女生排两端有种方法，再排其余学生有种方法，所以两端是女生的不同站法有种.（2）先排4名男生有种方法，再将3名女生插入5个空隙中有种方法，所以任意两名女生不相邻的不同站法有种.（3）7名学生的全排列为，而甲乙的顺序有2种，所以女生甲要在女生乙的右方的不同站法有种.21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．(1)求点A到平面PBC的距离；(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，.后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离；（2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP.∵为等边三角形，∴，OA=1，.又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，∴平面ABC.又∵平面ABCD，∴.∵，∴，∴.又∵，平面POB，平面POB，，∴平面POB.又∵平面POB，∴.∴，设点A到平面PBC的距离为h，则即，∴；（2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，.设，则，.得，则.又平面ABC，则取平面ABCD的法向量.设AE与平面ABCD所成的角为，则，解得.则，.设平面ADE的法向量，则.令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量.故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.22．已知（且，）.（1）设，求中含项的系数；（2）化简：；（3）证明：.【答案】（1）330；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据表达式可知系数为，将改写成，利用组合数的性质：整理得到结果；（2）通过对求导可