2017年全国硕士研究生考试《数学一》试题（网友回忆版）

2017年全国硕士研究生考试《数学一》试题（网友回忆版）[单选题]1.若函数在x＝0处连续，则（）。A.ab＝1/2B.ab＝－1/2C.ab＝0D.ab＝2参考答案：A参考解析：由连续的定义知即又当x→0时，代入得1/（2a）＝b，即ab＝1/2。[单选题]2.设函数f（x）可导，且f（x）f′（x）＞0，则（）。A.f（1）＞f（－1）B.f（1）＜f（－1）C.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜D.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜参考答案：C参考解析：构造函数F（x）＝f2（x），求导得F′（x）＝2f（x）f′（x），由已知条件知函数F（x）单调递增，即F（1）＞F（－1），代入得f2（1）＞f2（－1），即f（1）＞f（－1）。[单选题]3.函数f（x，y，z）＝x2y＋z2在点（1，2，0）处沿向量＝（1，2，2）的方向导数为（）。A.12B.6C.4D.2参考答案：D参考解析：计算方向余弦得：cosα＝1/3，cosβ＝cosγ＝2/3。偏导数fx′＝2xy，fy′＝x2，fz′＝2z。得af/au＝fx′cosα＋fy′cosβ＋fz′cosγ＝4·（1/3）＋1·（2/3）＋0·（2/3）＝2。[单选题]4.甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，如图1所示，图中实线表示甲的速度曲线v＝v1（t）（单位：m/s）。虚线表示乙的速度曲线v＝v2（t），三块阴影部分面积的数值依次为10、20、3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（）。图1A.t0＝10B.15＜t0＜20C.t0＝25D.t0＞25参考答案：C参考解析：从0到t0时刻，甲乙的位移分别为与。根据图像，t0＝0时，甲在乙前方10m，由定积分的几何意义知，乙追上甲满足方程：而在t0＝25时，乙比甲多跑10m，满足题意，故t0＝25。[单选题]5.设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）。A.E－ααT不可逆B.E＋ααT不可逆C.E＋2ααT不可逆D.E－2ααT不可逆参考答案：A参考解析：不妨设α＝（1，0，…，0）T，则ααT的特征值为1，0，…，0，易得E－ααT的特征值为0，1，…，1，所以E－ααT＝0×1×1×…×1＝0。又A为可逆矩阵的充要条件是A≠0，所以E－ααT不可逆。[单选题]6.已知矩阵则（）。A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似参考答案：B参考解析：计算知A、B的特征值均为2、2、1，A有3个线性无关的特征向量，B只有2个，又C为对角矩阵，因此A与C相似，B与C不相似。[单选题]7.设A、B为随机概率，若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则P（AB）＞P（A）的充分必要条件是（）。A.P（B｜A）＞P（B｜）B.P（B｜A）＜P（B｜）C.P（｜A）＞P（B｜）D.P（｜A）＜P（B｜）参考答案：A参考解析：因为P（AB）＞P（A），得化简得P（AB）＞P（A）P（B）。A项中，P（BA）＝P（AB）/P（A），化简得P（AB）＞P（A）P（B），所以选A。[单选题]8.设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（μ，1）的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）。A.服从χ2分布B.2（Xn－X1）2服从χ2分布C.服从χ2分布D.n（－μ）2服从χ2分布参考答案：B参考解析：A项，Xi－μ～N（0，1），故B项，即（Xn－X1）2/2～χ2（1）。C项，由D项，（－μ）～N（0，1/n），则，所以n（－μ）2～χ2（1）。[问答题]1.（本题满分10分）设函数f（u，v）具有2阶连续偏导数，y＝f（ex，cosx），求，参考答案：因为y＝f（ex，cosx），所以dy/dx＝f1′（ex）′＋f2′（cosx）′＝f1′exsup>－f2′sinx。即由上述过程知d2y/dx2＝（f1′ex－f2′sinx）′＝（f11″ex－f12″sinx）e^x＋f1′e<s<sub="">up>x</sup>－（f21″e^x－f22″sinx）sinx－f2′cosx所以[问答题]2.（本题满分10分）求参考答案：由定积分的定义知再利用分部积分法知[问答题]3.（本题满分10分）已知函数y（x）由方程x3＋y3－3x＋3y－2＝0确定，求y（x）的极值。参考答案：将原方程两边同时对x求导得3x2＋3y2y′－3＋3y′＝0①令y′＝0，代入①，解得x＝±1。当x＝1时，代入原方程得y＝1；当x＝－1时，代入原方程得y＝0。对等式①两边同时对x求导得6x＋6y（y′）2＋3y2y″＋3y″＝0②将x＝1，y＝1，y′＝0代入②得y″＝－1，将x＝－1，y＝0，y′＝0代入②得y″＝2。所以当x＝1时函数有极大值1；当x＝－1时有极小值0。[问答题]4.（本题满分10分）设函数f（x）在区间[0，1]上具有2阶导数，且f（1）＞0，，证明：（Ⅰ）方程f（x）＝0在区间（0，1）内至少存在一个实根；（Ⅱ）方程f（x）f″（x）＋[f′（x）]2＝0在区间（0，1）内至少存在两个不同实根。参考答案：（Ⅰ）因为，由函数极限的局部保号性知，存在δ＞0，使得当c∈（0，δ）时，有f（c）＜0。又因为f（1）＞0，由零点定理知，存在ξ∈（c，1），使得f（ξ）＝0，得证。（Ⅱ）构造函数F（x）＝f（x）f′（x）。由，可知又由（Ⅰ）知存在x0∈（0，1）使得f（x0）＝0。由罗尔定理知，存在ξ1∈（0，x0），使得f′（ξ1）＝0，得F（0）＝F（ξ1）＝F（x0）。再由罗尔定理知：存在ξ2∈（0，ξ1），ξ3∈（ξ1，x0），使得F′（ξ2）＝F′（ξ3）＝0，即F′（x）＝f（x）f″（x）＋[f′（x）]2＝0在（0，x_{0）⊂（0，1）内有两个不同的实根。[问答题]5.（本题满分10分）设薄片型物体S是圆锥面被柱面z2＝2x割下的有限部分，其上任意一点的密度为记圆锥与柱面的交线为C。（Ⅰ）求C在xOy平面上的投影曲线的方程；（Ⅱ）求S的质量m。参考答案：（Ⅰ）C的方程为投影到xOy平面的方程为即（Ⅱ）S的质量将代入上式得其中D为平面区域{（x，y）x2＋y2＝2x}。令易得{（r，θ）0＜r＜2cosθ，－π/2＜θ＜π/2}。所以因为In的定积分公式为所以[问答题]6.（本题满分11分）设3阶矩阵A＝（α1，α2，α3）有3个不同的特征值，且α3＝α1＋2α2。（Ⅰ）证明r（A）＝2；（Ⅱ）若β＝α1＋α2＋α3，求方程组Ax＝β的通解。参考答案：（Ⅰ）设A的特征值为λ1，λ2，λ3，因为A有3个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得因为λ1，λ2，λ3两两不同，所以r（A）≥2。又因为α3＝α1＋2α2，所以α1，α2，α3线性相关，从而r（A）＜3，得r（A）＝2。（Ⅱ）因为r（A）＝2，所以Ax＝0的基础解析只有一个解向量。又因为α3＝α1＋2α2，即α1＋2α2－α3＝0，（α1，α2，α3）（1，2，－1）T＝0，得Ax＝0的基础解系的解向量为（1，2，－1）T。同理由β＝α1＋α2＋α3，得（α1，α2，α3）（1，1，1）T＝β，得Ax＝β的特解为（1，1，1）T。所以Ax＝β的通解为k（1，2，－1）T＋（1，1，1）T（k为任意常数）。[问答题]7.（本题满分11分）设二次型f（x1，x2，x3）＝2x12－x22＋ax32＋2x1x2－8x1x3＋2x2x3在正交变换x＝Qy下的标准型为λ_{1ub>y12＋λ2y2}2，求a的值及一个正交矩阵Q。参考答案：二次型对应的矩阵为因为二次型在正交变换下的标准型为λ1y12＋λ2y2}2，故A有特征值0，所以A＝0，计算得a＝2。解得λ＝0，－3，6。当λ＝－3时，得特征向量η1＝（1，－1，1）T；当λ＝6时，得特征向量η2＝（－1，0，1）T；当λ＝0时，得特征向量η3＝（1，2，1）T。η1，η2，η3属于不同特征值的特征向量，正交化得所以正交矩阵对应的标准型为f＝－3y12＋6y2</sub>2。[问答题]8.（本题满分11分）设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P（X＝0）＝P（X＝2）＝1/2，Y的概率密度为（Ⅰ）求P（Y≤EY）；（Ⅱ）求Z＝X＋Y的概率密度。参考答案：（Ⅰ）计算得则（Ⅱ）Z的分布函数为FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z，X＝0}＋P{X＋Y≤z，X＝2}＝P{X＝0，Y≤z}＋P{X＝2，Y＋2≤z}＝[P{Y≤z}＋P{Y≤z－2}]/2＝[FY（z）＋FY（z－2）]/2故Z的概率密度函数为[问答题]9.（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立，且均服从正态分布N（μ，σ2）。该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi＝Xi－μ（i＝1，2，…n），利用Z1，Z2，…，Zn估计σ。（Ⅰ）求Z1的概率密度；（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量；（Ⅲ）求σ的最大似然估计量。参考答案：（Ⅰ）Z1，Z2，…，Zn独立同分布，则Z1的概率密度即为总体Z的概率密度。因为Xi～N（μ，σ2），所以Yi＝X<sub>i－μ～N（0，σ2），对应的概率密度为设Z的分布函数为F（z），对应的概率密度为f（z）。当z＜0时，F（z）＝0；当z≥0时，有则Z的概率密度为（Ⅱ）因为所以得σ的矩估计量为其中（Ⅲ）由题知对应的似然函数为对上式两边取对数得所以令dlnL（σ）/dσ＝0，得所以σ的最大似然估计量为[填空题]1.已知函数f（x）＝1/（1＋x2），则f（3）（0）（）。参考答案：0参考解析：因为求三阶导数得代入得f（3）（0）＝0。[填空题]2.微分方程y″＋2y′＋3y＝0的通解为（）。参考答案：参考解析：由微分方程知，特征方程为λ2＋2λ＋3＝0，解得，得通解为[填空题]3.若曲线积分在区域D＝{（x，y）x2＋y2＜1}内与路径无关，则a＝（）。参考答案：－1参考解析：P（x，y）＝x/（x2＋y2－1），Q（x，y）＝－ay/（x2＋y2－1），曲线积分与路径无关等价于aP/ay＝aQ/ax。又aP/ay＝－2xy/（x2＋y2－1）2，aQ/ax＝2axy/（x2＋y2－1）2，计算得a＝－1。[填空题]4.幂级数在区间（－1，1）内的和函数S（x）＝（）。参考答案：1/（1＋x）2参考解析：[填空题]5.设矩阵α1，α2，α3为线