2015年全国硕士研究生考试《数学二》试题（网友回忆版）

2015年全国硕士研究生考试《数学二》试题（网友回忆版）[单选题]1.下列反常积分收敛的是()。A.INCLUDEPICT（江南博哥）URE\d"/huixue_img/importSubject/6b1e77dc9e974a0589b2a064d0916642.png"INETB.C.D.参考答案：D参考解析：不定积分故反常积分存在。所以是收敛的。故选D项。[单选题]2.函数在（－∞，＋∞）内()。A.连续B.有可去间断点C.有跳跃间断点D.有无穷间断点参考答案：B参考解析：∵∴f（x）在x＝0点左右极限都存在且f（0＋）＝f（0－）＝1，又由于f（x）在x＝0无定义，根据间断点定义及性质判断，f（x）有可去间断点x＝0。故选B项。[单选题]3.设函数若f′（x）在x＝0处连续，则()。A.α－β＞1B.0＜α－β≤1C.α－β＞2D.0＜α－β≤2参考答案：A参考解析：当x＜0时，f′（x）＝0，f－′（0）＝0。当x＞0时，有运用单侧极限的定义，有∵f′（x）在x＝0处连续，∴得到α－1＞0。又综上可得α－β－1＞0，故答案选A项。[单选题]4.设函数f（x）在（－∞，＋∞）连续，其2阶导函数f″（x）的图形如图1所示，则曲线y＝f（x）的拐点个数()。图1A.0B.1C.2D.3参考答案：C参考解析：函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，观察图1可知，函数f（x）在除去点x＝0外处处二阶可导。如图1所示，虽然f″（0）不存在，但在点x＝0两侧f″（x）异号，因此（0，f（0））是y＝f（x）的拐点。A点处二阶导数为0，且A点两侧f″（x）异号，根据拐点的定义知，A点为曲线的拐点。B点处虽然二阶导数也为0，但是B点两侧f″（x）都是大于0，因此，B点不是拐点。[单选题]5.设函数f（u，v）满足f（x＋y，y/x）＝x2－y2，则与依次是()。A.1/2，0B.0，1/2C.－1/2，0D.0，－1/2参考答案：D参考解析：令u＝x＋y，v＝y/x，则x＝u/（1＋v），y＝uv/（1＋v）。将上式代入f（x＋y，y/x）＝x2－y2，可以得到f（x＋y，y/x）关于u，v的表达式，即∵∴故答案选D项。[单选题]6.设D是第一象限中的曲线2xy＝1，4xy＝1与直线y＝x，围成的平面区域，函数f（x，y）在D上连续，则()。A.B.C.D.参考答案：B参考解析：平面区域D的图形为图2中阴影部分。图2作极坐标变换，令则该二重积分区域变为所以故答案选B项。[单选题]7.设矩阵若集合Ω＝{1，2}，则线性方程Ax＝b有无穷多个解的充分必要条件为()。A.a∉Ω，d∉ΩB.a∉Ω，d∉ΩC.a∉Ω，d∉ΩD.a∉Ω，d∈Ω参考答案：D参考解析：Ax＝b的增广矩阵，即∵线性方程Ax＝b有无穷多个解的充要条件是r（A）＝r（A，b）＜3。∴a＝1或a＝2同时d＝1或d＝2。故答案选D项。[单选题]8.设二次型f（x1，x2，x3）在正交变换x＝Py下的标准型为2y12＋y22－y32，其中P＝（e1，e2，e3），若Q＝（e1，－e3，e2</sub>），则f＝（x1，x2，x3）在正交变换x＝Qy下的标准型为()。A.2y12－y22＋y<sub>3sub>2B.2y12＋y22－y_{3sub>2C.2y12－y22－y_{3sub>2D.2y12＋y22＋y_{3sub>2参考答案：A参考解析：∵正交变换x＝Py下的标准型f（x）＝xTAx＝yT（PTAP）y＝2y12＋y22－y3²，即得到∴f（x）＝xTAx＝yT（QTAQ）y＝2y12－y22＋y3²，故答案选A项。[问答题]1.（本题满分10分）设函数f（x）＝x＋aln（1＋x）＋bxsinx，g（x）＝kx3，若f（x）与g（x）在x→0是等价无穷小，求a，b，k的值。参考答案：方法一：利用泰勒公式展开，ln（1＋x）＝x－x2/2＋x3/3＋o（x3），sinx＝x－x3/3！＋o（x3），则有可得方法二：运用洛必达法则求解因为分母极限为0，若需极限存在，则分子的极限为0，故可得a＝－1。因为分母极限为0，若需极限存在，则分子的极限为0，故可得b＝－1/2。故可得k＝－1/3。综上可得a＝－1，b＝－1/2，k＝－1/3。[问答题]2.（本题满分10分）设A＞0，D是由曲线段y＝Asinx（0≤x≤π/2）及直线y＝0，x＝π/2所围成的平面区域，V1，V2分别是D绕x轴与y轴旋转所成旋转体的体积，若V1＝V2，求A的值。参考答案：由旋转体的体积公式，得（下式中的f（x）即为y）由V1＝V2求得A＝8/π。[问答题]3.（本题满分10分）已知函数f（x，y）满足fxy″＝2（y＋1）ex，fxsub>′（x，0）＝（x＋1）ex，f（0，y）＝y2＋2y，求f（x，y）的极值。参考答案：fxy″＝2（y＋1）ex两边对y积分，得到fx′（x，y）＝2（y2/2＋y）ex＋φ（x）＝（y2＋2y）ex＋φ（x）。所以fx}′（x，0）＝φ（x）＝（x＋1）ex，即fx}′（x，y）＝（x＋1）ex＋（y2＋2y）ex。两边再对x积分，得又f（0，y）＝y2＋2y＋ϕ（y）＝y2＋2y，解得ϕ（y）＝0，所以f（x，y）＝（y2＋2y）ex＋xex。令解得∵fxx″＝（y2＋2y）ex＋2ex＋xex，fxyb>″＝2（y＋1）ex，fyy}″＝2ex。∴当时，A＝fxx″（0，－1）＝1，B＝fxy″（0，－1）＝0，C＝fyy″（0，－1）＝2。∵AC－B2＞0，∴f（x，y）的极小值为－1，极小值点（0，－1）。[问答题]4.（本题满分10分）计算二重积分∫∫x（x＋y）dxdy，其中D＝{（x，y）x2＋y2≤2，y≥x2}。参考答案：根据对称性可知，所以有[问答题]5.（本题满分10分）已知函数求f（x）零点的个数。参考答案：令得驻点为x＝1/2。∵在（－∞，1/2）内，f（x）单调递减，在（1/2，＋∞）内，f（x）单调递增，∴f（1/2）为唯一的极小值，也是最小值。∵当t∈（1/2，1）时，当t∈（1/4，1/2）时，∴从而f（1/2）＜0。运用洛必达法则，考察所以故函数f（x）在（－∞，1/2）及（1/2，＋∞）上各有一个零点，所以零点的个数为2。[问答题]6.（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后，该物体温度降至30℃，若要物体的温度继续降至21℃，还需要冷却多长时间？参考答案：设t时刻物体的温度为x（t）（t单位：小时），比例常数为k（＞0），介质温度为m，则dx/dt＝k（x－m），从而x（t）＝Cekt＋m，x（0）＝120，m＝20，所以C＝100。则t时刻物体温度方程为x（t）＝100ekt＋20。∵x（1/2）＝30，∴k＝－（ln10）/30。∴当x＝21时，t＝60。故还需要冷却30min。[问答题]7.（本题满分11分）已知函数f（x）在区间[a，＋∞）上具有2阶导数，f（a）＝0，f′（x）＞0，f″（x）＞0，设b＞a，曲线y＝f（x）在点（b，f（b））处的切线与x轴的交点是（x0，0），证明：a＜x0＜b。参考答案：证明：根据题意，切线方程为y＝f′（b）（x－b）＋f（b）。切线方程与x轴的交点为，则∵f′（x）＞0，b＞a，∴f（b）＞f（a）＝0，故下面证明由于f′（b）＞0，故不等式可化为bf′（b）－f（b）＞af′（b）。令F（x）＝xf′（x）－f（x）－af′（x），F（a）＝0，F′（x）＝（x－a）f″（x）＞0，故F（x）在[a，＋∞）单调递增。于是可知x＞a时，F（x）＞0，即xf′（x）－f（x）－af′（x）＞0，令x＝b即得证毕。[问答题]8.（本题满分11分）设矩阵且A3＝O。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若矩阵X满足X－XA2－AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X。参考答案：（Ⅰ）由A3＝O，得得a＝0。（Ⅱ）由题意知X－XA2－AX＋AXA2＝E⇒X（E－A2）－AX（E－A2）＝E⇒（E－A）X（E－A2）＝E⇒X＝（E－A）－1（E－A2）－1＝[（E－A2）（E－A）]－1⇒X＝（E－A2－A）－1上式由行初等变换得到。所以[问答题]9.（本题满分11分）设矩阵相似于矩阵（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵。参考答案：（Ⅰ）矩阵A相似于矩阵B，则tr（A）＝tr（B），得3＋a＝1＋b＋1。又所以（Ⅱ）C的特征值为λ1＝λ2＝0，λ3＝4。当λ＝0时，（0E－C）x＝0的基础解系为ξ1＝（2，1，0）T，ξ2sub>＝（－3，1，0）T；当λ＝4时，（4E－C）x＝0的基础解系为ξ3＝（－1，－1，1）T。A的特征值λA＝1＋λC＝1，1，5。∴且[填空题]1.设，则()。参考答案：48参考解析：∵∴∴[填空题]2.函数f（x）＝x2·2x在x＝0处的n阶导数f（n）（0）＝()。参考答案：n（n－1）（ln2）n－2参考解析：根据莱布尼茨公式得所以[填空题]3.设函数f（x）连续，若φ（1）＝1，φ′（1）＝5，则f（1）＝()。参考答案：2参考解析：已知求导得从而有则f（1）＝2。[填空题]4.设函数y＝f（x）是微分方程y″＋y′－2y＝0的解，且在x＝0处y（x）取得极值3，则y（x）＝()。参考答案：e－2x＋2ex参考解析：根据题意得：y（0）＝3，y′（0）＝0。由微分方程y″＋y′－2y＝0得特征方程：λ2＋λ－2＝0解得λ1＝－2，λ2＝1，所以微分方程的通解为y＝C1ex＋C2e^－2x。将y（0）＝3，y′（0）＝0代入，解得C1＝2，C2＝1，故y（x）＝e－2xup>＋2ex。[填空题]5.若函数z＝z（