2015年全国硕士研究生考试《数学一》试题（网友回忆版）

2015年全国硕士研究生考试《数学一》试题（网友回忆版）[单选题]1.设函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其中二阶导数f″（x（江南博哥））的图形如图1所示，则曲线y＝f（x）的拐点的个数为（）。图1A.0B.1C.2D.3参考答案：C参考解析：函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，观察知，函数f（x）在除去点x＝0外处处二阶可导。如图1所示，虽然f″（0）不存在，但在点x＝0两侧f″（x）异号，因此（0，f（0））是y＝f（x）的拐点。A点处二阶导数为0，且A点两侧f″（x）异号，根据拐点的定义知，A点为曲线的拐点。B点处虽然二阶导数也为0，但是B点两侧f″（x）都是大于0，因此，B点不是拐点。[单选题]2.设y＝e2x/2＋（x－1/3）ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y″＋ay′＋by＝cex的一个特解，则（）。A.a＝－3，b＝2，c＝－1B.a＝3，b＝2，c＝－1C.a＝－3，b＝2，c＝1D.a＝3，b＝2，c＝1参考答案：A参考解析：由题意可知，e2x/2、－ex/3为二阶常系数齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的解，所以由常系数齐次微分方程的解与其特征方程根的关系知2，1为特征方程r2＋ar＋b＝0的根。从而a＝－（1＋2）＝－3，b＝1×2＝2，从而原方程变为y″－3y′＋2y＝cex，再将特解y＝xex代入得c＝－1，故选A项。[单选题]3.若级数条件收敛，则和x＝3依次为幂级数的（）。A.收敛点，收敛点B.收敛点，发散点C.发散点，收敛点D.发散点，发散点参考答案：B参考解析：已知条件收敛，即x＝2为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为（0，2）。因幂级数与其导数的收敛区间相同，故的收敛区间还是（0，2），则与x＝3依次为幂级数的收敛点，发散点，故选B项。[单选题]4.设D是第一象限由曲线2xy＝1，4xy＝1与直线y＝x，围成的平面区域，函数f（x，y）在D上连续，则（）。A.B.C.D.参考答案：B参考解析：平面区域D的图形为图2中阴影部分。图2作极坐标变换，令，则该二重积分区域变为所以故选B项。[单选题]5.设矩阵若集合Ω＝{1，2}，则线性方程组Ax＝b有无穷多解的充分必要条件为（）。A.a∉Ω，d∉ΩB.a∉Ω，d∈ΩC.a∈Ω，d∉ΩD.a∈Ω，d∈Ω参考答案：D参考解析：线性方程组Ax＝b有无穷多解的充分必要条件为r（A）＝r（A，b）＜n。由r（A）＝r（A，b）＜3，故（a－1）（a－2）＝0且（d－1）（d－2），则a＝1或a＝2，d＝1或d＝2。故选D项。[单选题]6.设二次型f（x1，x2，x3）在正交变换为x＝Py下的标准型为2y12＋y22－y32，其中P＝（e1，e2，e3），若Q＝（e1，－e3，e2</sub>），则f（x1，x2，x3）在正交变换x＝Qy下的标准型为（）。A.2y12－y22＋y<sub>3sub>2B.2y12＋y22－y<sub>3sub>2C.2y12－y22－y<sub>3sub>2D.2y12＋y22＋y_{3sub>2参考答案：A参考解析：由x＝Py，故f＝xTAx＝yT（PTAP）y＝2y12＋y22－y3²，且则f＝xTAx＝yT（QTAQ）y＝2y12－y22＋y3²，故选A项。[单选题]7.若A，B为任意两个随机事件，则（）。A.P（AB）≤P（A）P（B）B.P（AB）≥P（A）P（B）C.P（AB）≤[P（A）＋P（B）]/2D.P（AB）≥[P（A）＋P（B）]/2参考答案：C参考解析：由于AB⊂A，AB⊂B，按概率的基本性质，有P（AB）≤P（A）且P（AB）≤P（B），从而P（AB）≤[P（A）＋P（B）]/2故选C项。[单选题]8.设随机变量X，Y不相关，且EX＝2，EY＝1，DX＝3，则E[X（X＋Y－2）]＝（）。A.－3B.3C.－5D.5参考答案：D参考解析：随机变量X，Y不相关，因此E（XY）＝E（X）E（Y），进而得E[X（X＋Y）－2]＝E（X2＋XY－2X）＝E（X2）＋E（XY）－2E（X）＝D（X）＋E2（X）＋E（X）·E（Y）－2E（X）＝3＋22＋2×1－2×2＝5故选D项。[问答题]1.（本题满分10分）设函数f（x）＝x＋aln（1＋x）＋bxsinx，g（x）＝kx3，若f（x）与g（x）在x→0是等价无穷小，求a，b，k的值。参考答案：此题为0/0型极限，利用泰勒展开公式。方法一：因f（x）与g（x）在x→0时等价无穷小，则有由于ln（1＋x）与sinx的泰勒展开式分别为ln（1＋x）＝x－x2/2＋x3/3＋o（x3）sinx＝x－x3/6＋o（x3）则即1＋a＝0，b－a/2＝0，a/（3k）＝1。∴a＝－1，b＝－1/2，k＝－1/3。[问答题]2.（本题满分10分）设函数f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x＝x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f（0）＝2，求f（x）的表达式。参考答案：设f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为：y－f（x0）＝（x－x0）f′（x0），令y＝0，得到x－x0＝－f（x0）/f′（x0）。故由题意，（x0－x）·f（x0）/2＝4，即f（x0）·f（x0）/2f′（x0）＝4，可以转化为一阶微分方程，即y′＝y2/8，可分离变量得到通解为：1/y＝－x/8＋C。已知y（0）＝2，得到C＝1/2。因此1/y＝－x/8＋1/2，即f（x）＝8/（4－x）。[问答题]3.（本题满分10分）已知函数f（x，y）＝x＋y＋xy，曲线C：x2＋y2＋xy＝3，求f（x，y）在曲线C上的最大方向导数。参考答案：f（x，y）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。因为fx′（x，y）＝1＋yfy′（x，y）＝1＋x故gradf（x，y）＝{1＋y，1＋x}。模为，此题目转化为对函数在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值，即为条件极值问题。为了计算简单，可以转化为对d（x，y）＝（1＋y）2＋（1＋x）2在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值。构造函数：F（x，y，λ）＝（1＋y）2＋（1＋x）2＋λ（x2＋y2＋xy－3）。令得到M1（1，1），M2（－1，－1），M3（2，－1），M4（－1，2）。因此d（M1）＝8，d（M2）＝0，d（M3）＝9，d（M4）＝9。故f（x，y）在曲线C上的最大方向导数为[问答题]4.（本题满分10分）（Ⅰ）设函数u（x），v（x）可导，利用导数定义证明[u（x）v（x）]′＝u′（x）v（x）＋u（x）v′（x）；（Ⅱ）设函数u1（x），u2（x），…，un（x）可导，f（x）＝u1（x）u2（x）…un（x），写出f（x）的求导公式。参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）＝[u1（x）u2（x）…un（x）]′＝u1′（x）u2（x）…un（x）＋u1（x）u2′（x）…un（x）＋…＋u1（x）u2（x）…un′（x）[问答题]5.（本题满分10分）已知曲线L的方程为起点为，终点为。计算曲线积分参考答案：由题意，假设参数方程则[问答题]6.（本题满11分）设向量组α1，α2，α3为R3的一个基，β1＝2α1＋2kα3，β2＝2α2，β3}＝α1＋（k＋1）α3。（Ⅰ）证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基；（Ⅱ）当k为何值时，存在非0向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ。参考答案：（Ⅰ）故β1，β2，β3为R3的一个基。（Ⅱ）根据题意设ξ＝k1β1＋k2β2＋k3β3＝k1α1＋k2α2＋k3α3，ξ≠0，则ξ＝k1（β1－α1）＋k2（β2－α2）＋k3（β3－α3）＝0，ki不全为0，i＝1，2，3k1（2α1＋2kα3－α1）＋k2（2α2－α2）＋k3（α1＋（k＋1）α3－α3）＝0k1（α1＋2kα3）＋k2（α2）＋k3（α1＋kα3）＝0①有非零解，则α1＋2kα3，α2，α1＋kα3＝0。即得k＝0。则①式变为k1α1＋k2α2＋k3α1＝0，因为α1，α2线性无关，则k2＝0，k1＋k3＝0。所以ξ＝k1α1－k1α3，k1≠0。[问答题]7.（本题满分11分）设矩阵相似于矩阵（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵。参考答案：（Ⅰ）A～B⇒tr（A）＝tr（B）⇒3＋a＝1＋b＋1。∴（Ⅱ）C的特征值λ1＝λ2＝0，λ3＝4。λ＝0时，（0E－C）x＝0的基础解系为ξ1＝（2，1，0）T，ξ2sub>＝（－3，0，1）T；λ＝4时，（4E－C）x＝0的基础解系为ξ3＝（－1，－1，1）T。A的特征值λA＝1＋λC：1，1，5。令∴[问答题]8.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数。（Ⅰ）求Y的概率分布；（Ⅱ）求EY。参考答案：（Ⅰ）记p为观测值大于3的概率，则从而为Y的概率分布。（Ⅱ）由已知得记则所以S（x）＝S1（x）－2S2（x）＋S3（x）＝（2－4x＋2x2）/（1－x）3＝2/（1－x）。从而E（Y）＝S（7/8）＝16。[问答题]9.（本题满分11分）设总体X的概率密度为：其中θ为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本。（Ⅰ）求θ的矩估计量；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量。参考答案：（Ⅰ）令E（X）＝，即（1＋θ）/2＝，解得＝2－1，其中，故θ的矩估计量为＝2－1。（Ⅱ）似然函数当θ≤xi≤1时，则lnL（θ）＝－nln（1－θ）。从而dlnL（θ）/dθ＝n/（1－θ），关于θ单调增加，所以＝min{X1，X2，…，Xn}为θ的最大似然估计量。[填空题]1.（）。参考答案：－1/2参考解析：可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换。方法一：方法二：[填空题]2.（）。参考答案：π2/4参考解析：用奇偶函数在对称区间上的性质化简[填空题]3.若函数z＝z（x，y）由方程ez＋xyz＋x＋cosx＝2确定，则dz（0，1）＝（）。参考答案：－dx参考解析：令F（x，y，z）＝ez＋xyz＋x＋cosx－2，则Fx′（x，y，z）＝yz＋1－sinxFy′（x，y，z）＝xz，Fz′（x，y，z）＝ez＋xy又当x＝0，y＝1时，ez＝1，即z＝0。所以因而dz（0，1）＝－dx。[填空题]4.设Ω是由平面x＋y＋z＝1与三个坐标平面所围成的空间区域，则（）。参考答案：1/4参考解析：由轮换对称性，得其中Dz为平面z＝z截空间区域Ω所得的截面，其面积为（1－z）2/2。[填空题]5.n阶行列式（）。参考答案：2n＋1－2参考解析：将n阶行列式按第一行展开[填空题]6.设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（1，1；0，1