中考数学精创专题-勾股定理 期末压轴题训练 人教版数学八年级下册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第17章勾股定理期末压轴题训练1．如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=90°，∠A=30°，B点坐标为（0，4），点C为AB的中点，动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿线段AO向终点O运动，运动时间为t秒（t>0），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P(1)若点P恰好落在AO上，求t的值；(2)若CP⊥OA，求t的值；(3)当t≠2时，∠APB的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出∠APB的度数：若发生变化，请说明理由2．【证明体验】(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．【迁移应用】(2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积．【拓展延伸】(3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．3．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，2），∠ABO＝60°．(1)求AB的长度；(2)分别以AB、AO为一边作等边△ABE、△AOD，求证：BD＝EO；(3)在（2）的条件下，连接DE交AB于F，请你证明点F为DE的中点，并求出此时AF的值．4．在中，，，，点是线段延长线上的动点，点是线段上的动点，连接．(1)如图1，若≌，求线段的长；(2)已知，如图2．①设线段，求线段的长（用含的式子表示）；②设与的平分线相交于点，求的度数．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a﹣8）2＋|b﹣3|＋＝0，连接AB，AB2＝（a﹣b）2＋c2(1)求点A和点B的坐标和线段AB的长度；(2)如图2，点P是射线AO上一动点，连接BP，将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，当PQAB时，求点P和点Q的坐标；(3)在（2）的情况下，如图3，点F是线段AP延长线上一动点，连接BF，将△ABF沿着直线BF翻折至△MBF，连接MQ．当MFBP时，试探究∠QMF，∠QBF与∠MQB之间的数量关系，并说明理由．6．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；(2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；(3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．7．点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d(P，∠AOB)．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d(P，∠AOB)＝0．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是以点O(0，0)，A(4，0)，B(4，4)，C(0，4)为顶点的正方形，作射线OB，则∠AOB＝45°．(1)如图1，点P1(﹣1，0)，P2(0，)，P3(1，﹣2)的位置如图所示，请用度量的方式，判断点P1，P2，P3中到∠AOB的距离等于1的点是；(2)已知点P在∠AOB的内部，且d(P，∠AOB)＝1，①若点P的横纵坐标都是整数，请写出一个满足条件的点P的坐标；②请在图1中画出所有满足条件的点P；(3)如图2，已知点E(0，﹣8)，F(﹣2，2)，G(7，2)，记射线EF与射线EG组成的图形为图形V．若点P在图形V上，满足d(P，∠AOB)＝2的点P有个．8．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、点B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE=90°，连接AE．(1)如图①，点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：BD=AE．(2)如图②，点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系．(3)如图③，点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE=1，AB=4，则CD的长是多少？9．如图1，在中，，，点D，E分别是AC，BC的中点．(1)直接写出的形状是______；(2)如图2，若点M为直线DE上一动点，，，连接ND，请判断ND与ME的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，连接AN，请求出AN的最小值．10．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的左侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接BE．(1)当点D在线段BC上时，求证：△ABE≌△ACD．(2)如图2，若，BC＝2．①求△ABC的面积．②在点D在运动过程中，若△ABE的最小角为25°，求∠EAC的度数．11．（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．12．材料阅读：如图所示，已知直角梯形中，是上一点，，，，且，，现需探究直角三角形的三边、、之间的数量关系：(1)【初步探究】猜想三角形是否与三角形全等，若是，请说明理由；(2)【问题解决】请用两种含有，，的代数式的方法表示直角梯形的面积：______．______．由此，你能得到的、、的数量关系是：______．(3)【拓展应用】如图，等腰三角形中，是底边上的中点，，，、分别是线段和上的两个动点，求：的最小值．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，C重合），DF⊥DE，连接EF．(1)如图1，当点F与点A重合时，AB＝8，DE＝3，求EF的长；(2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2＋BE2＝EF2；(3)若AC＝8，BC＝6，EC＝2，求线段CF的长．14．在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，4），以OB为边在y轴的右侧作正三角形OAB．AC⊥y轴，垂足为C．(1)如图1，求点A的坐标．(2)点D在线段AC上，点E是直线AB上一动点，连接DE、以DE为边作正三角形DEF（点D，E，F按逆时针排列）①如图2，当点E与点A重合时，连接OD，BF．若BF=2，求点D的坐标．②若CD=2，点P是直线DF与直线OA的交点，当OP=时，直接写出点E的坐标．15．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°．连接BD、CE．(1)如图1，点B在边ED的延长线上，求∠AEC的度数；(2)如图2，∠AEC＝90°，射线ED交BC于点F．①求证：BF＝CF；②若BD＝kAD（k＞1），求的值（用含k的式子表示）．16．[问题发现]小明遇到这样-一个问题:如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E.(1)小明发现，过点D作DFAC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系:(2)[类比探究]如图2，当点D是线段BC上(除B，C外)任意一点时(其它条件不变)，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论.(3)[拓展应用]当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC(其它条件不变)时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比，17．如图，与是等边三角形，连接，取的中点P，连接并延长至点M，使，连接，将绕点C顺时针旋转．(1)如图1，当点D在上，点E在上时，则的形状为___________；(2)将绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断的形状，并说明理由；(3)若，将由图1位置绕点顺时针旋转，当A、C、D三点在同一直线上时，请直接写出的值．18．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______．(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．(3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)t(2)t的值为1或3(3)∠APB＝90°，理由见解析【分析】（1）利用利用直角三角形30°的性质求出CD，再勾股定理求出AD即可；（2）分两种情形：分别画出图形，求出AD即可解决问题；（3）结论：∠APB＝90°是定值．利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可．【解析】（1）解：如图1中，∵B（0，4），∴OB＝4，∵∠ABO＝90°，∠A＝30°，∴OA＝2OB＝8，∴AB4，∵CA＝CP，CD⊥PA，∴AD＝PD，∵AC＝CB＝2，∴CDAC，∴AD3，∴t；（2）解：如图2﹣1中，当CP⊥OA设CP交OA于点F．∵∠A＝30°，∠CFA＝90°，∴∠ACF＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠DCP＝30°，∴∠A＝∠DCA＝30°，∴CD＝DA＝2DF，∵AF＝3，∴AD＝CD＝2，DF＝1，∴t1；如图2﹣2中，当CP⊥OA，设PC的延长线交AO于点F．同法可证AF＝DF＝3，∴AD＝AF+DF＝6，∴t3．综上所述，满足条件的t的值为1或3．（3）结论：∠APB＝90°是定值．理由：如图3中，∵CA＝CB＝CP，∴∠CAP＝∠CPA，∠CPB＝∠CBP，∵∠CAP+∠APB+∠ABP＝180°，∴2∠CAP+2∠CBP＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝90°，∴∠APB＝90°．【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．2．(1)见解析(2)(3)的长为【分析】（1）根据证明三角形全等；（2）如图2中，延长到，使得，连接．由（1）可知，推出，，利用勾股定理求出，即可解决问题；（3）如图3中，延长到，使得，连接．证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．【解析】（1）证明：如图1中，在和中，，；（2）解：如图2中，延长到，使得，连接．由（1）可知，，，，，；（3）解：如图3中，延长到，使得，连接．由（1）可知，，，，，，，，，设，则，，在中，，，，．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．(1)4(2)见解析(3)证明见解析，点F为DE的中点，此时AF的值为1【分析】（1）根据含30°直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠BAE＝∠OAD＝60°，AB＝AE，OA＝AD，求得∠OAE＝∠DAB，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）过E作EH⊥AB于H，根据等边三角形的性质得到BH＝AHAB＝2，根据勾股定理得到EH2，求得OA2，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）解：∵点B的坐标为（0，2），∴OB＝2；∵∠ABO＝60°，∠BOA＝90°，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝4；（2）证明：∵△ABE、△AOD是等边三角形，∴∠BAE＝∠OAD＝60°，AB＝AE，OA＝AD，∴∠OAB+∠BAE＝∠OAB+∠OAD，即∠OAE＝∠DAB，在△BAD与△EAO中，，∴△BAD≌△EAO（SAS），∴BD＝EO；（3）解：过E作EH⊥AB于H，∵△ABE是等边三角形，∴BH＝AHAB＝2，∵BE＝AB＝4，∴EH2，在Rt△AOB中，OA2，∴EH＝AD，∵∠OAD＝60°，BAO＝30°，∴∠DAF＝∠EHF＝90°，∵∠EFH＝∠AFD，∴△EHF≌△DAF（AAS），∴EF＝DF，AF＝HFAH＝1，∴点F为DE的中点，此时AF的值为1．【点评】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．(1)2(2)①；②90°【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝5，再运用全等三角形性质即可求得答案；（2）①如图2，连接AD，运用三角形面积公式可得：S△ABD＝BD•AC＝DE•AB，即可求得答案；②根据三角形内角和定理可得出：∠BAC＝∠BDE＝90°﹣∠B，再运用角平分线定义可得：∠BAP＝∠BDP＝（90°﹣∠B）＝45°﹣∠B，再运用三角形内角和定理即可求得答案．【解析】（1）解：∵，，，∴，

∵，∴，

∴；（2）解：①连接，∵，∴，，∴，

∵，，，

∴；

②如图3，∵，∴，∴，

∵，分别是，的平分线，∴，

∴，∵，，

∴，

∴．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形面积，勾股定理，全等三角形性质，角平分线定义等，熟练掌握三角形内角和定理和面积法是解题关键．5．(1)A（8，0），B（3，3），(2)P（8﹣，0）；Q（3﹣，3）(3)∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF，见解析【分析】（1）由（a−8）²＋|b−3|＋＝0，可得a＝8，b＝3，c＝3，故A（8，0），B（3，3），又AB2＝（a−b）2＋c2，即得AB2＝（8−3）2＋32＝34，即AB＝；（2）由ABPQ，得∠BPQ＝∠ABP，根据△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，即得∠BPA＝∠QBP，BQAP，而AB＝BQ＝，B（3，3），故Q（3−，3），又ABPQ，BQAP，即得P（8−，0）；（3）由BQAP，得∠AFB＝∠QBF，又MFBP，得∠MFB＝∠PBF．由折叠可得：∠MFB＝∠AFB，即得∠QBF＝∠PBF，∠QBP＝2∠QBF，过点Q作直线CDMF，可得CDMFBP，可得∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF，即可得∠MQB＝2∠QBF−∠QMF．【解析】（1）解：∵（a﹣8）²+|b﹣3|+＝0，又∵（a﹣8）²≥0，|b﹣3|≥0，≥0，∴a﹣8＝0，b﹣3＝0，c﹣3＝0，∴a＝8，b＝3，c＝3，∴A（8，0），B（3，3），∴AB2＝（8﹣3）2+32＝34，即；（2）解：如图所示：∵ABPQ，∴∠BPQ＝∠ABP，∵将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，∴∠BPQ＝∠BPA，∠ABP＝∠QBP，∴∠BPA＝∠QBP，∴BQAP，又AB＝BQ＝，B（3，3），∴Q（3﹣，3），又ABPQ，BQAP，∴BQ可看作将AP平移所得，∴由平移的性质得BQ＝AP＝，又A（8，0），∴P（8﹣，0）；（3）解：数量关系：∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF．理由如下：∵BQAP，∴∠AFB＝∠QBF；∵MFBP，∴∠MFB＝∠PBF，由折叠可得：∠MFB＝∠AFB，∴∠QBF＝∠PBF，∴∠QBP＝2∠QBF，过点Q作直线CDMF，如图所示：∵MFBP，∴CDMFBP，∴∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF，又∠MQB＝∠CQB﹣∠CQM，∴∠MQB＝∠QBP﹣∠QMF，又∠QBP＝2∠QBF，∴∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF．【点评】本题考查三角形综合知识，涉及非负式的和为0的条件、图像的折叠、平行线的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形形状、大小不变．6．(1)9；(2)存在，CF=DG，证明见解析；(3)．【分析】（1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长；（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG；（3）求出，，利用，即可求出．【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴，∠A=60，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE=60，∴∠ACD=30，∴∠ADC=90，∴，∴△DEF的周长为9；（2）解：结论：CF=DG.理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，∴，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60，∵∠DEF=∠B+∠EGB，∴∠B=∠EGB=∠DGE=30，∴EG=BE，∵EG+DG=CF+BE=3，∴CF=DG；（3）解：∵，，∴，即．【点评】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质．7．(1)P1，P2(2)①(3，1)；②见解析(3)6【分析】（1）利用测量法结合点P到∠AOB的距离判断即可．（2）①根据d（P，∠AOB）＝1，写出满足条件的点P坐标即可．②根据d（P，∠AOB）＝1，利用勾股定理求解，画出图形即可．（3）利用图象法，画出图形判断即可．【解析】（1）解：如图1中，通过测量法，可知点P2到直线OB的距离为1，OP1＝1，OP3＞1，∴点P1，P2，P3中到∠AOB的距离等于1的点是P1，P2，故答案为：P1，P2；（2）①一个满足条件的点P的坐标（3，1），（4，1），（5，1）等（答案不唯一）．故答案为：（3，1）（答案不唯一）．②如图2中，所有满足条件的点P在∠MJN的边上．在x轴上设一点D（x,0），使点D到OB的距离为1，∵四边形AOCB为正方形，∴∠BOA=45°，∴∆DOF为等腰直角三角形，且DF=1,∴OD=，过点D作DM∥OB，作直线y=1，两直线相交于点J，∴所有满足条件的点P在∠MJN的边上．（3）如图所示：连接AC，∵四边形AOCB为正方形，边长为4，∴AC=，且AC⊥OB，∴CG1=AG1=，过点C与点A分别作HC∥OB∥AM，与图形V产生2个满足条件的交点（图中标出1个，另一个由直线HC与EG直线相交产生）；分别作直线y=与y=-，与图形V产生2个满足条件的交点，以点O为圆心，为半径长，画弧与图形V产生2个满足条件的交点，故满足条件的点P有6个，故答案为：6．【点评】本题考查坐标与图形的性质，点P到∠AOB的距离的定义，两点之间的距离的定义等知识，解题的关键是理解新的定义，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．8．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据三角形全等的判定证出，最后根据全等三角形的性质即可得证；（2）参照（1）的方法证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可得出结论；（3）参照（1）的方法证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【解析】（1）证明：∵，∴，即，等腰直角三角形，，在和中，，，∴．（2）解：，证明如下：∵，∴，即，等腰直角三角形，，在和中，，，∴，，．（3）解：∵，∴，即，等腰直角三角形，，在和中，，，，，，，，在中，，，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），故的长为．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确找出全等三角形是解题关键．9．(1)等腰直角三角形(2)ND=ME，ND⊥ME，理由见解析(3)【分析】（1）由中点的定义得CD＝CE，则△CDE是等腰直角三角形；（2）利用SAS证明△DCN≌△ECM，得∠CEM＝∠CDN，则∠NDM＝∠CDE＋∠DEC＝90°；（3）连接BM，作BH⊥DE于H，先证明△ACN≌△BCM（SAS），得AN＝BM，求出BM的最小值BH的长即可得出AN的最小值．【解析】（1）解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴CD＝AC，CE＝BC，∵AC＝BC，∴CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．（2）解：ND=ME，ND⊥ME，理由如下：∵∠DCE＝∠MCN，∴∠MCE＝∠NCD，∵CD＝CE，CM＝CN，∴△DCN≌△ECM（SAS），∴ND=ME，∠CEM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠CDN+∠CDE=∠DEC+∠CDE＝90°，∴DN⊥ME．（3）解：连接BM，过点B，作BH⊥DE于H，如图所示：∵∠DCE＝∠MCN，∴∠ACN=∠BCM，∵CN=CM，AC=BC，∴△ACN≌△BCM（SAS），∴AN＝BM，∴当BM最小时，AN最小，BM的最小值为BH，∵，又∵，∴，∴，∴BH=EH，∵BE＝BC＝2，∴，即，∴或（舍去），∴AN的最小值为．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，证明△DCN≌△ECM和△ACN≌△BCM，是解题的关键．10．(1)见解析(2)①，②∠EAC的度数为85°或155°或35°或25°【分析】（1）由∠DAE=∠BAC，得∠EAB=∠CAD，再利用SAS可证明△EAB≌△DAC；（2）①由（1）△ABE≌△ACD得，∠ABE=∠ACD，由BE/∥AC，得∠ABE=∠CAB，可知△ABC是等边三角形，从而得出答案；②分点D在线段BC上或点D在CB延长线上或点D在BC延长线上三种情形，分别画出图形，根据△EAB≌△DAC，得∠AEB=∠ADC，从而解决问题．【解析】（1）证明：当点D在线段BC上时，∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE–∠BAD=∠BAC–∠BAD即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS)；（2）①若BE//AC，BC=2，设BC所在直线为CF，过点A作AM⊥BC于点M，如图，则∠AMB=∠AMC=90°，∵BE//AC，∴∠EBF=∠ACB，由(1)知：△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EBF=∠ABE=∠ABC=∠ACB∵∠EBF+∠ABE＋∠ABC=180°∴∠EBF=∠ABE=∠ABC=∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，∴BM=CM=BC=1，AB=BC=2，在Rt△ABM中，由勾股定理，得即△ABC的面积为②在点D在运动过程中，若△ABE的最小角为25°，而∠ABE=60°，∴∠BAE=25°或∠AEB=25°，若∠BAE=25°，而∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，则∠EAC=∠BAE+∠BAC=25°+60°=85°，当点D在CB延长线上时，如图由题意知，∠AEB=25°，由（1）同理可得，△EAB≌△DAC，∴∠AEB=∠ADC=25°，∴∠DAC=180°–∠ADC–∠ACB=180°-25°-60°=95°，∴∠EAC=∠EAD＋∠DAC=60°＋95°=155°当点D在BC延长线上时，如图，当∠BAE=25°时，∠EAC=∠BAC–∠BAE=60°-25°=35°当∠AEB=25°时，由（1）同理可得△EAB≌△DAC，∴∠AEB=∠ADC=25°，∴∠DAC=∠ACB–∠ADC=60°-25°=35°∴∠EAC=∠EAD–∠DAC=60°-35°=25°综上所述：∠EAC的度数为85°或155°或35°或25°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟悉基本几何模型是解题的关键．11．（1）120°；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BAD=∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE，即可得出答案；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，进而得出BD=CE，∠BCE=90°，即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出结论．【解析】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案为：120；（2）DE2=CD2+BD2；理由如下：在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2；（3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠ECD＝90°∵BC＝6，CE＝10，∴BD＝CE＝10，∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4，∴Rt△DCE中，DE＝∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．12．(1)是，理由见解析(2)，，(3)【分析】（1）由可得，利用即可证明≌；（2）根据梯形的面积公式以及，可得两种含有，，的代数式的的表示方法，进而得出、、的数量关系；（3）过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用勾股定理求出，利用面积法可求出的值，即的最小值．（1）解：≌理由如下：四边形是直角梯形，，，，，，，在和中，，≌．（2）解：≌，，，，，，，，，，，，，，故答案为：；；．（3）过点作于点，交于，此时，即的最小值，，点为底边的中点，，，，，，，，，的最小值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及面积的计算，勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．13．(1)5(2)见解析(3)或【分析】（1）根据DE垂直平分AB，得BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，利用勾股定理即可得出答案；（2）作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，利用AAS证明△AGD≌△BED，得BE＝AG，DG＝DE，得出DF是GE的垂直平分线，则GF＝EF，再利用勾股定理即可证明结论；（3）点E在线段BC上或点E在BC延长线上，分别画出图形，利用（2）中的方法解决问题即可．【解析】（1）解：∵D为AB中点，DF⊥DE，∴DE垂直平分AB，∴BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BE＝＝5，∴EF＝BE＝5；（2）证明：作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，∵点D为AB的中点，∴AD＝BD，∵AG⊥AC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∴AG∥BC，∴∠AGD＝∠BED，在△AGD和△BED中，，∴△AGD≌△BED（AAS），∴BE＝AG，DG＝DE，∵DF⊥DE，∴DF是GE的垂直平分线，∴GF＝EF，∵∠GAF＝90°，∴AG2＋AF2＝FG2，∴BE2＋AF2＝EF2；（3）解：当点E在线段BC上时，作BH∥AC，交FD的延长线于H，连接EH，由（2）同理可得，△ADF≌△BDH（AAS），∴BH＝AF，DH＝DF，∴DE是HF的垂直平分线，∴EF＝HE，∴CF2＋CE2＝AF2＋BE2，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋42，解得x＝，∴CF＝；当点E在BC延长线上时，如图，作BG∥AC，交FD的延长线于G，连接EF，EG，同理可得CF2＋CE2＝AF2＋BE2，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋82，解得x＝，∴CF＝，综上：CF＝或．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识．解题的关键在于利用重点作平行线构造全等三角形．14．(1)A（6，2）．(2)①D（4，2）；②（，）或（，）．【分析】（1）由点B的坐标为（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y轴，可得AC是边OB的中线，则C（0，2），在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC＝6，所以A（6，2）．（2）①证明△BAF≌△OAD（SAS），所以OD＝BF＝2，因为OC＝2，所以CD＝4，则D（4，2）；②根据题意，需要分两种情况，当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，易证△PDO≌△EDA（ASA），所以OP＝AE，则GE，AG，由点的平移可得点E的坐标．【解析】（1）解：∵点B的坐标为（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y轴，∴AC是边OB的中线，∴C（0，2），在Rt△ACO中，AO＝4，CO＝2，由勾股定理可得，AC＝6，∴A（6，2）．（2）①AF＝AD，AB＝AO，∵△OAB和△DEF是正三角形，∴∠CAF＝∠OAB＝60°，∵∠BAF＝∠CAF﹣60°，∠OAD＝∠OB﹣60°，∴∠BAF＝∠OAD，在△BAF和△OAD中，，∴△BAF≌△OAD（SAS），∴OD＝BF＝2，∵OC＝2，∴CD＝4，∴D（4，2）；②当点P在x轴下方时，如图，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，则∠GAE＝30°，在Rt△ODC中，∠OCD＝90°，CD＝2，OC＝2，∴OD＝4，∠COD＝30°，∴AD＝OD＝4，∵∠AOC=60°，∴∠AOD=30°∴∠DOP＝150°，∵∠GAE＝∠BAC＝30°，∴∠DOP＝∠DAE＝150°，∵∠CDO＝∠EDF＝60°，∴∠ODA＝∠EDP＝120°，∴∠ODA-∠DOE＝∠EDP-∠DOE∴∠PDO＝∠EDA，∴△PDO≌△EDA（ASA），∴OP＝AE，∴GE，AG，∵A（6，2），∴E（，）；当点P在x轴上方时，如图，连接OD，过点E作EG⊥AC于点G，同上可知，△P′DO≌△EDA（ASA），∴OP＝AE，∴GE，AG，∵A（6，2），∴E（，）；综上可知，点E的坐标为（，）或（，）．【点评】本题考查了三角形全等综合问题，坐标与图形，涉及手拉手全等三角形模型，等边三角形的性质等知识，由SAS得出三角形全等，转化线段长是解题关键．15．(1)(2)①答案见解析；②【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质可得出∠AEC＝∠ADB，由等腰直角三角形的性质可得出答案；（2）①过点B作BH⊥BD，交ED的延长线于点H，证明△BFH≌△CFE（AAS），由全等三角形的性质可得出BF＝CF；②设AD＝x，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可得出DF＝，则可得出答案．【解析】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵AD＝AE，∠ADE＝90°，∴∠ADE＝45°，∴∠ADB＝135°，∴∠AEC＝135°；（2）解：①证明：过点B作BH⊥BD，交ED的延长线于点H，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，BD＝CE，∵∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠BDF＝∠CED＝45°，∴∠H＝45°，∴∠BDH＝∠H，∠H＝∠CEH，∴BD＝BH，∴BH＝EC，又∵∠BFH＝∠CFE，∴△BFH≌△CFE（AAS），∴BF＝CF；②解：设AD＝x，∵BD＝kAD（k＞1），∴BD＝kx，∴DE＝x，DH＝BD＝kx，∵△BFH≌△CFE，∴EF＝FH，∴DF+EF＝kx，∴DF+DE+DF＝kx，∴DF＝，∴．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．(1)AD=DE(2)AD=DE，证明见解析(3)【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，证出△ADE是等边三角形，过点A作AF⊥BC，垂足为F，设AB=BC=AC=x，利用直角三角形的性质和勾股定理求出AF，OE和AD，结合三角形面积公式即可得到结论．（1）解：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．又∵DFAC，∴∠BDF=∠BFD=60°，∴△BDF是等边三角形，∴DF=BD，∠BFD=60°，∵BD=CD，∴DF=CD∴∠AFD=120°．∵EC是外角的平分线，∠DCE=120°=∠AFD，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ADF=∠EDC=30°，在△AFD与△EDC中，，∴△AFD≌△ECD（ASA），∴AD=DE；（2）AD=DE；证明：如图2，过点D作D