等差数列通项公式3篇

等差数列通项公式3篇

等差数列通项公式3篇

等差数列通项公式(1)

等差数列的练习

一、选择题

1．由word/media/image1_1.png确定的等差数列word/media/image2_1.png，当word/media/image3_1.png时，序号word/media/image4_1.png等于（）

A．80B．100C．90D．88

2．已知等差数列{word/media/image5_1.png}，word/media/image6_1.png，则此数列的前11项的和word/media/image7_1.png

A．44B．33C．22D．11

3．若正数a,b,c成公差不为零的等差数列，则（）

（A）word/media/image8_1.png成等差数列（B）word/media/image9_1.png成等比数列

（C）word/media/image10_1.png成等差数列（D）word/media/image10_1.png成等比数列

4．设word/media/image11_1.png为公差不为零的等差数列word/media/image12_1.png的前word/media/image13_1.png项和，若word/media/image14_1.png，则word/media/image15_1.png（）

A．15B．17C．19D．21

5．等差数列word/media/image16_1.png的前word/media/image17_1.png项和为word/media/image18_1.png，word/media/image19_1.png，word/media/image20_1.png，则word/media/image21_1.png（）

A．word/media/image22_1.pngB．word/media/image23_1.pngC．word/media/image24_1.pngD．word/media/image25_1.png

6．已知数列word/media/image26_1.png为等差数列，且word/media/image27_1.png，word/media/image28_1.png，则word/media/image29_1.png（）

（A）45（B）43（C）42（D）40

7．在等差数列word/media/image30_1.png中，word/media/image31_1.png,则word/media/image32_1.png（）

8．设等差数列word/media/image33_1.png的前word/media/image34_1.png项和为word/media/image35_1.png，若word/media/image36_1.png，则word/media/image37_1.png等于

（A）word/media/image38_1.png（B）word/media/image39_1.png（C）word/media/image40_1.png（D）word/media/image41_1.png

9．在各项都为正数的等差数列word/media/image42_1.png中，若a1＋a2＋＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于（）

A．3B．6C．9D．36

10．已知等差数列word/media/image43_1.png满意word/media/image44_1.png，word/media/image45_1.png，word/media/image46_1.png，word/media/image47_1.png，则word/media/image48_1.png的值为（）

A．word/media/image49_1.pngB．word/media/image50_1.pngC．word/media/image51_1.pngD．word/media/image52_1.png

二、填空题

11．若等差数列word/media/image53_1.png的前5项和word/media/image54_1.png，且word/media/image55_1.png，则word/media/image56_1.png．

12．下列命题中，真命题的序号是．

①word/media/image57_1.png中，word/media/image58_1.png

②数列word/media/image59_1.png的前n项和word/media/image60_1.png，则数列word/media/image61_1.png是等差数列．

③锐角三角形的三边长分别为3，4，word/media/image62_1.png，则word/media/image63_1.png的取值范围是word/media/image64_1.png．

④等差数列word/media/image65_1.png前n项和为word/media/image66_1.png,已知word/media/image67_1.png,则m=10．

13．已知等差数列word/media/image68_1.png中，word/media/image69_1.png，若前5项的和word/media/image70_1.png，则其公差为.

14．等差数列{an}的前n项和为Sn，假如a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．

15．若等差数列word/media/image71_1.png中，满意word/media/image72_1.png，则word/media/image73_1.png=_________．

三、解答题

16．（本小题满分12分）已知等差数列word/media/image74_1.png，word/media/image75_1.png为其前word/media/image76_1.png项和，word/media/image77_1.png

求数列word/media/image74_1.png的通项公式；

17．（本小题满分13分）已知数列word/media/image78_1.png满意word/media/image79_1.png，word/media/image80_1.png为其前word/media/image81_1.png项和，且word/media/image82_1.png.

（1）求word/media/image83_1.png的值；（2）求证：word/media/image84_1.png；

（3）推断数列word/media/image78_1.png是否为等差数列，并说明理由.

参考答案

1．C

试题分析：依据题意可知，word/media/image85_1.png，令word/media/image86_1.png，解得word/media/image87_1.png，故选C.

考点：等差数列.

2．C

试题分析：由等差数列的前word/media/image88_1.png项和公式，得word/media/image89_1.png，故答案为C.

考点：1、等差数列的前word/media/image88_1.png项和公式；2、等差数列的性质.

3．D

试题分析：由正数a，b，c成公差不为零的等差数列得到b-a=c-b=d，只要推断word/media/image90_1.png即可．由于正数a，b，c成公差不为零的等差数列，设公差为d，则b-a=c-b=d，则word/media/image91_1.png，word/media/image92_1.png成等比数列．故选D．

考点：等差关系的确定．

4．A

试题分析：由等差数列的性质知word/media/image93_1.png，word/media/image94_1.png，所以word/media/image95_1.png，选A．

考点：等差数列的性质，等差数列的前word/media/image96_1.png项和．

5．B

试题分析：word/media/image97_1.png选word/media/image98_1.png.

考点：1.等差数列的求和公式；2.等差数列的性质.

6．C

试题分析：word/media/image99_1.png，

word/media/image100_1.png

考点：本题考查等差数列通项公式

点评：将已知条件用基本量表示出来，解方程求出公差，word/media/image101_1.png转化为基本量

7．B

试题分析：由于word/media/image102_1.png,又由于word/media/image103_1.png，所以word/media/image104_1.png，故答案D.

考点：等差数列通项公式.

8．C

由等差数列的性质，得word/media/image105_1.png，则word/media/image106_1.png.

考点：等差数列.

9．C

试题分析：由题设，word/media/image107_1.png

所以word/media/image108_1.png，又由于等差数列word/media/image42_1.png各项都为正数，所以word/media/image109_1.png，

当且仅当word/media/image110_1.png时等号成立，所以a5·a6的最大值等于9，故选C．

考点：1、等差数列；2、基本不等式．

10．A．

试题分析：∵等差数列word/media/image111_1.png，∴word/media/image112_1.png．

考点：1．等差数列的前word/media/image113_1.png项和；2．等差数列的性质．

11．13

试题分析：由word/media/image114_1.png得word/media/image115_1.png，所以word/media/image116_1.png，word/media/image117_1.png

考点：等差数列性质

12．①③④．

试题分析：①word/media/image57_1.png中，word/media/image118_1.png；

②若数列word/media/image59_1.png的前n项和word/media/image60_1.png，则word/media/image119_1.png,所以数列word/media/image61_1.png不是等差数列．

③锐角三角形的三边长分别为3，4，word/media/image62_1.png，则word/media/image120_1.png或word/media/image121_1.png，解得word/media/image64_1.png．

④等差数列word/media/image65_1.png前n项和为word/media/image66_1.png,word/media/image122_1.png，word/media/image123_1.png或word/media/image124_1.png，

word/media/image125_1.png或word/media/image126_1.png（舍），解得word/media/image127_1.png；故选①③④．

考点：命题真假的判定．

13．2

试题分析：word/media/image128_1.png，word/media/image129_1.png公差为word/media/image130_1.png

考点：等差数列性质

14．15

设公差为word/media/image131_1.png，则word/media/image132_1.png，即word/media/image133_1.png；则word/media/image134_1.png.

考点：等差数列.

15．4030

试题分析：依据等差数列的性质，word/media/image135_1.png，word/media/image72_1.png，则word/media/image136_1.png，word/media/image137_1.png；

考点：等差数列的性质；

16．（1）word/media/image138_1.png；（2）word/media/image139_1.png.

试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于娴熟把握等差数列的有关公式并能敏捷运用;（2）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于娴熟把握等比数列的有关公式并能敏捷运用，尤其需要留意的是，在使用等比数列的前word/media/image140_1.png项和公式时，应当要分类争论，有时还应擅长运用整体代换的思想简化运算过程；（3）解题时要擅长类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了.

试题解析：解：（1）由word/media/image141_1.png公差word/media/image142_1.png

word/media/image143_1.png

（2）word/media/image144_1.png，word/media/image145_1.png

word/media/image146_1.png

word/media/image147_1.png.

考点：1、等差数列的通项公式；2、分组求和.

17．（1）word/media/image148_1.png;（2）详见解析;（3）详见解析.

试题分析：（1）依据word/media/image149_1.png时word/media/image150_1.png可求得word/media/image151_1.png.（2）依据word/media/image152_1.png时word/media/image153_1.png即可证得word/media/image84_1.png.（3）由（2）可求得word/media/image154_1.png的通项公式,依据通项公式可证得word/media/image155_1.png是否为等差数列.

试题解析：（1）解：由题意知：word/media/image156_1.png，即word/media/image157_1.png.

所以word/media/image158_1.png.2分

由于word/media/image79_1.png，

所以word/media/image148_1.png.3分

（2）证明：由于word/media/image159_1.png，

所以word/media/image160_1.png（word/media/image161_1.png）.4分

由于word/media/image153_1.png，6分

所以word/media/image162_1.png，即word/media/image163_1.png.

由于word/media/image161_1.png，

所以word/media/image164_1.png.8分

（3）数列word/media/image78_1.png是等差数列.理由如下：9分

由（2）得：word/media/image165_1.png.

所以word/media/image166_1.png，即word/media/image167_1.png.11分

由（1）知：word/media/image168_1.png，所以word/media/image169_1.png.

所以数列word/media/image78_1.png是以word/media/image170_1.png为首项，word/media/image171_1.png为公差的等差数列.13分

考点：1数列中word/media/image172_1.png与word/media/image173_1.png间的关系式;2等差数列的定义.

18．

试题分析：（1）利用的等差数列和等比数列的通项公式即可得出；（2）等比数列的判定方法：定义法：若

word/media/image174_1.png是常数，则word/media/image175_1.png是等比数列；中项公式法：若数列word/media/image175_1.png中，word/media/image176_1.png，则word/media/image175_1.png是等比数列；

通项公式法：若数列通项公式可写成word/media/image177_1.png；熟记等比数列前word/media/image178_1.png项和公式，，

留意利用性质把数列转化，利用等比数列前word/media/image179_1.png项和；

试题解析：（1）设数列{an}的公比为q＞0，

由条件，q3，3q2，q4成等差数列，∴6q2=q3+q4

解得q=-3，或q=2，

∵q＞0，∴取q=2．

∴数列{an}的通项公式为an＝1×2n−1＝2n−1．所以，word/media/image180_1.pngword/media/image181_1.png6分

（2）记word/media/image182_1.png，则word/media/image183_1.png

若word/media/image184_1.png不符合条件；

若word/media/image185_1.png，则word/media/image186_1.png，数列word/media/image187_1.png为等比数列，首项为word/media/image188_1.png，公比为2，

此时word/media/image189_1.png又，S6=63，所以word/media/image190_1.png

考点：等差数列和等比数列的通项公式及其定义和其前n项和公式

等差数列通项公式(2)

等差数列求和公式

等差数列前n项和公式3f5d168411cde05865998b1b36fc87c7.png,是数列部分最重要公式之一,学习公式并敏捷运用公式可分如下四个层次:

1.直接套用公式

从公式9993ad63cff0a181c146ec62b2be7d53.png中,我们可以看到公式中消失了五个量,包括1da435bea4a84f2d224e85114058af6e.png这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点熟悉公式、理解公式、把握公式这是最低层次要求.

例1设等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为d,假如它的前n项和adb23caf790ee527d555d0518e45ed32.png,那么().

(A)8020d89d9024bccfc5b0cf9b12a3c570.png(B)8a4f96b4133c31a72be1814f5a1879a2.png

(C)dc5c8ef632033021462e05faa5fb94e2.png(D)483472e7bff1dadacc8c004f8cb62a6b.png

解法1由于adb23caf790ee527d555d0518e45ed32.png且0dbbedd021608aa8e606a836ed32857f.png知,839fcd15003f6232ffc9154d683769f4.png

63bbc6f996701bc4d2b3defdda866a16.png5fa1e98286f37edd52e299ee3d0c896f.png选(C).

解法24bc95d39ed076df4a1ed8157adbe3242.png对比系数易知5fa1e98286f37edd52e299ee3d0c896f.png

此时由366bd17343476c01937e610cd90896db.png知6b466e7ab145f5301fbac79d094e0f91.png故574ef4d50848a9f66038142b00d6648b.png选(C).

例2设44d853a7808a331d95220fcb38095649.png是等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前n项和,已知e9f8c66261a1054f1ca8ba64778470ac.png与7551806d3b2a49720cd64a2fc8485c19.png的等比中项为b574ea213f3b3f00e7723854717ab198.png,e9f8c66261a1054f1ca8ba64778470ac.png与7551806d3b2a49720cd64a2fc8485c19.png的等差中项为1,求等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png.

解设02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项为ed720248911897751b9609449804e666.png前n项和为8628f39d68ef30f5c6dc080607db2da9.png

由题意知abafd00725ca5b8bd5f576d32ed08579.png,

即f24db57597426a71c5642b1c5d6fbebe.png

化简可得4eca1f81ad81249ca4ba2feccad3816a.png解得d66f66d4bf66e1e80eabc261aa70cc26.png或f3d68a1e5c4a2c8d8d865c1494199d04.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

由此可知54de1f43c44c445e74a6987de8b0c65b.png或c2d07d71f8adc7dd44cfdeb53a049510.png

经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为54de1f43c44c445e74a6987de8b0c65b.png或35c007123fca31313a498b3bb526012c.png

2.逆向活用公式

在公式的学习中,不仅要从正向熟悉公式,而且要擅长从反向分析弄清公式的原来面目.重视逆向地熟悉公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的敏捷性.

例3设7fc2c16d57bdbf67d4dabbc46048d642.png求证:6b591058d21a3a34679d1d71521b163d.png

证明3f6816338003646af00f9779b21b6234.png

又2bf02752cff50b53ff3669f5fc2df526.png3566222179c98472c66d8ea2a9062bdb.png106121d782a336346690075a18d0beb9.png

765cc3ee56fbeb448991e349747f409c.png

又a108c00af23f42dc1a1323a17af09d1a.png

且97a6842ddb3ba34cc139d3718f16adef.png81b722d07ee6f51d1e79ef4811bc4202.png1054d29b8de73c9f9f2735cc87c067db.png0f7b0d2528f7680d1ee1c13f6a8381ec.png

93e5205328c3d5bc0e9cd6a43104dc17.png

例4数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png对于任意自然数n均满意f4813531f22626705712c9e1765a35ca.png,求证:02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列.

证明欲证7853b1607f9b86d9edc3fd91e9609d3e.png为常数,

由f4813531f22626705712c9e1765a35ca.png及2024cedbbbd2863d90b6811cb3e54d2f.png可得

d0bf09bafce47c28af65c0a0a8df83bf.png推出9be2162878cb29440f17b5289cd2f03e.png

作差可得83a0b8c0563dfe77f4ea44370893a86f.png因此d03bf778282a8878f46a1a40aab80ff1.png

由递推性可知:cb5af5efb74808654216ebde6d836787.png为常数),所以命题得证.

这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,如果能重视逆向地熟悉公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗

3.横向联系,巧用公式

在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来熟悉公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式2e6c55ce7a5f3304b0a0db70bfd89a7a.png表明是关于n的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列7d8567748a46b4db1a35450d63cece2a.png均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的宽阔性,请再看例2.

解设df6bb8ba32f9f43c9ecc6355312c5dd3.png,则可得

706cc9339e895dd8470ae658e39b8680.png

解得或bd2710881996898fa3ed42397e334f4a.png,所以c4845c36a1961ef1e90227e71472d9ba.png或1d5065348606f2507f0fe20cfd38f01a.png

从而54de1f43c44c445e74a6987de8b0c65b.png或35c007123fca31313a498b3bb526012c.png

例5设等差数列的前项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png,已知指出a3c5603224a15961323ce805f24870b3.png中哪一个值最大,并说明理由.

解由于2e6c55ce7a5f3304b0a0db70bfd89a7a.png表明点列7d8567748a46b4db1a35450d63cece2a.png

都在过原点的抛物线上,再由b7e2e80030df0756ddcb9a074a046745.png

易知此等差数列公差d等差数列通项公式(3)

等差数列概念与性质

文字定义

一般地，假如一个数列从其次项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

符号定义

分类

递增数列：递减数列：常数数列：

通项

，其中

前n项和

，其中

中项

主要性质

等和性：等差数列，若则

推论：若则

即：首尾颠倒相加，则和相等

其

它

性

质

1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。

即：等差，公差为则有

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：（下标成等差数列）

3、等差，则，，，