2010年寒假数学集训六导学jx63几何不等式

（2008年高中数赛加试）如题一图，给定凸四边形ABCD，BD180Pf(P)PABCPDCAPCABf(PP,A,B,CE是ABCOAB上一点，满足：AE

3，BC

312ECB1ECA又DA,DC是⊙O的切线，AC 22

f[解法一]（Ⅰ）如答一图1，由不等式，对平面上的P，有PABCPCABPBACf(P)PABCPCABPDPBCAPDCA(PBPD)CAPAB,C顺次共圆时取等号，因此当且P在ABCAC上时，

f(P)(PBPDCA …10PBPDBDBPDPBD上时取等号．因此当且仅P为ABCBDf(P)f(P)minACBD．故当f(P)达最小值时，P,A,B,C四点共圆 …20（Ⅱ）记ECB，则ECA2AEsin2 3 sin

3(3sin4sin3)4sincos

3343(1cos2)4cos0343cos24cos 0 …303解 cos

3或cos （舍去1212 30，ACE60

BC

31

sinEAC300sinsin(EAC30)(31)sinEAC 3sinEAC1cosEAC(31)sinEAC 整理 23sinEAC1cosEAC12123 tanEAC 2 3可 EAC75 AC2，则CD又ABC BC

2，BD212

2

5，BD5f(P)minBDAC

5 …502 外接圆O于P0点（因为D在⊙O外，故P0在BD上．2 P0在ACDA1B1C1x，y，z，则AP0C180yzx，B1C1P0AB1A1P0CB1y，同理有A1x，C1z所以A1B1C1∽ABC． …10分设B1C1BC，C1A1CA，A1B1AB，则对平面上任意点M112SA11(MABCMDCAMCf(M)

从 f(P0)f(M)由MP0f(P …20（Ⅰf(P)2

记ECB，则ECA2AEsin2 3 sin 从而3sin32sin2，即

3(3sin4sin3)4sincos3343(1cos2)4cos0

43cos24cos

30 …30解 cos

3或cos （舍去1212 30，ACE60

BC

31

sinEAC300,sin sin(EAC30)(31)sinEAC 3sinEAC1cosEAC(31)sinEAC 整理 23sinEAC1cosEAC12123 tanEAC 23

，可得EAC75 212212 E45，ABC为等腰直角三角形，AC ，SABC1， AB1C45，B1点在⊙212212

552 52所 f

2

512

10 …50 （Ⅰ）引进复平面，仍用A,B,C等代表A,B,C所对应的复数．由三角形不等式，对于复数z1,z2，有z1z2z1z2，z1z2（复向量）同向时取等号．有所 (AP)(CB)(CP)(B(AP)(CB)(CP)(BPPCABCBP(BP)(CA)PBAC，PABCPCABPDCAPBACPDAC(PBPD)BDAC

PABCPABCPCABPABCPC

…10式取等号的条件是复数AP)(CB与(CP)(BA同向，故存在实数0，使得(AP)(CB)(CP)(BA)APBAC C所 arg(AP)arg(BA)C CPCPABCABPAB,CBPDPBD故当f(P)达最小值时P点在ABC之外接圆上，P,A,B,C四点共圆 …20（Ⅱ）由（Ⅰ）

f(P)minBDACPP ra、rb、rcra4rrb4rrc在同圆或等圆中，圆心角（锐角）的同侧，则AQBACBABCDABCDADBCACBD，等ABCD是圆内接四边形。定理：若ABCRrdR(Rd R2r，当且仅当ABCd0R(R多斯 不等式：在ABC内部任取点P,dA,dB,dC分别是表示由点P到顶dAdBdC2(dadbdc外森比克不等式：设ABCa、b、cS，则a2b2c243S，当且仅当ABC为正三角形时等号成立。费尔马问题：在ABCPAPBPCPBAC120oA点为费尔马点；当ABC中任一内角都小于120o时，则与三边为120oP点为费尔马点。②例 已知ABC，设I是它的内心，A,B,C的内角平分线分别交其对边ABC14

AIBIAA/BB/CC

8BCaCAbAB

A/Bc

A/C

bc∴∴

abb bcabc易 12

b bcb

b ab∴

b ab a

(21ICCC

aba ab

(21(2

IC/2CC2处理令

IA1t,

1t,IC1t11 1BB11

2CC t1,

,

(2,1),

t3

11∴ 11

t2

t) t) t) t3) 1 1

∴(1t)(1

)(1

)11(ttt)1(t

tttt)ttt

4

21

2 3

12 ∴14

AIBI AA/BB/CC 处理（2）

CC

zxyz2xyz

(2∴xyz(xyz)3 xyzx(2xz)z1(21z)z1(3z)z1[(z3)29 2 1z1（1[(z3)29在区间端点取到最小值 ∴xyz1[(z3)2

9]1[(13)2

9] amnbnkckmAIBIAA/BB/CC

mn2k2(mn

m2nk2(mn

2mn2(mn(mnk)3(mnk)3(mnmknk)(mnk)mnk8(mnk)3 （）axybyzczx,(xyz0abcabcxyzx,y,z的代数不等式例 设P是ABC内的一个点，Q,R,S分别是A,B,C与P的连线与对边的交点（图

14

.（QRS是三角形

34

1

,

,

ARSPARSP

则由定理SASR

ASARAB

(1)(

BQBSBC

(1)(

CQCRBC

(1)(即

34

(1)(

(1)(

(1)( 只要证6只要证61

1)()]显然1

1)()当1P是ABC22SPACxSPBCySPABSB

y,x

z,QCxy

ASAR

xz(xy)(z

BQBSBC

(yx)(z

CQCRBC

(xz)(y

34

xz即(xy)(z

(yx)(z

3(xz)(y xz(xzyzyzxy(xy3(xyyz)(z4x2yzy2zx)2z2xy3(xyyz)(z434

xy

yz

y2xzx2yzz2xy)y2xzx2yzz2xy)(x2yy2zz2xxy2yz2zx2

x2yy2zz2x

xy2yz2zx

3xyz3xyzxyzP是ABC3ASBQCR，且, BS1CQ1,AR1ARSP ARSP由定理得(1)(1)(1整理得1

ASAR(1AB

BQBSBC

CQCR(1BC只要证(1(1(14事实上(1(1(11

1 当且仅当

1时取等号，此时QRSP是ABC2

3，B是ON上一点，D为3

OD

CAMABBCCD3分析：以OM为对称轴，作D点关于OM的对称点D/ D3 以ON为对称轴，作A点关于ON的对称点A/ 连结OA/、OD/，则A/OD/60BA、CDADABBCCDBA/BC3因为OA/43OD/3ADAD(OA/)2(OD/)22OA/OD(OA/)2(OD/)22OA/OD/cos在ABCP，使得它到三个顶点距离之和为最大.分析：P在ABCB、CPABACP1P2APPPPPAmax{PAP1 1PAP1P必定在边界上P只能是ABC不妨设点P 段BC的内部，因PAmax{AB,AC}，设PAAB，那么PAPBPCPABCAB综上所述，所求的点必为ABC的顶点， C /O于另一点C/ /O证明：OA/OB/OC/8R3， 在什么情况下等号成立？（ 37IMO预选题A则DA/ODCO90DOCBAC,AOCA/OD180DOCAOCACB cosRtA/OD

cos

C OBCAOBCADcos(ACBABC)cos即

cos(ACBABC)R记为cos

cos(CB)同理OB

cos(AC)cosOC

cos(AB)coscosABcos(BCcos(CA)cos∵cos(AB)

coscos(Acos(A

coscosAcosBsinAsincosAcosBsinAsin

1cotAcot1cotAcotxcotAcotBycotBcotCzcotCcotxyzcotAcotBcotBcotCcotCcotcotA(cotBcotC)cotBcotcot(BC)(cotBcotC)cotBcotcotBcotC1(cotBcotC)cotBcotC1cotBcotC而对于ABCxyz(xy)(z∴cos(AB)1x(xy)(xy)(zcoscos(Bcos

1(x(xy)(z

yx

y(xz)(zcos((xz)(z

x3paAbBcC的关系 abA1EF和BDG所在平面的距离分别为p和q，则 q 如图，5条棱长都等于2的四面体的体积的最大值 MAMDBCx2若5x12yx2x被曲线C4

的极小值 (xarcsina)(xarccosayarcsinayarccosa)0d，当变化时d的最小值 yx，得到点(x1y1，(x2y2，(x3y3x1x2x3x2x2x1，下列的数与上述三点“最贴近”的直线的斜率是从上述三点到这条直线的距离的平小于它们到其他任何直线距离的平方 求出所有的正整数 ，使对任意满足不等式k(abbcac)5(a2c2abcabcBC是ABC的最长边，在此三角形内部任意选一点OACOOA、OB、OCA1B1、C1，（1）OA1OB1OCACO（2）OA1OB1OC1max{AA1,BB1,CC 在ABCP，使得它到三个顶点距离之和为最大如图所示，设C1C2C2的半径是C12A1A2A3A4于圆C1

A4A1延长交圆C2B1

A1A2延长交圆C2B2

A2A3延长交圆C2B3A3A4C2B4，试证明：四边形B1B2B3B4的周长大于等于四边形A1A2A3A42倍，并请确定等号成立的条件摘要:nEnnEn中的一种基本凸体,它的几何性质非常具有一般性关n维单形的几何不等式研究,近期建立了许多重要几何不等式,然而,关于垂足单形几何不等式研究还是比较少,n维单形与其垂足单形体积的几何不等式n维Enn维单形的垂足单形的几何不等式问题,n维单形与其垂足单形的外接球半径和内切球半径之间的一个几何不等式,n维Euler不等式的一些推广.关键词单形;外接球半径内切球半径;垂足单形设n维欧氏空间En中单形n的顶点为A0, ,An,外接球半径为R,内切球半径为r体积为V,aij

AiAj0ijn,Aifin1维单形 n设OG分别为单形n的外心与重心P为单形n内任一点,作单形n的侧面fi之垂线,垂足为Aii0,1,2, ,n,以A0,A1, 为点P关于单形的垂足单形1.设垂足单形的体积为V,外接球半径为

AiAj0ijn.特别地,P为单形nI 的切点单形2单形中不过同一顶点的两条棱称为一对对棱,表示单形各对对棱所成角的算术平均值 VnnVP为正则单形n中心时等号成立

关系尚未建立,本文研究了单形与其垂足单形的外接球半径与内切球半径之间的不等式关系,建立了单形的一个新的几何不等式,作为特例给出了n维Euler不等式的一些推广. 设单形n内部一点P关于n的垂足单形为n,则R2R

2

2n1cscn1 cscn1 PI时

n为单形n的切点单形,Rr,于是可得n维Euler如下 对n维单形n,2

n2 R当n为正则单形时等号成立

cscn1nr

n由于cscn

1,因此不等式(3加强推广了文献[7]R2n2r2

n当为正则单形时等号成立不等式(4改进了n维Euler不等式[8Rnrn为证明定理1,需下面几个引理 设n维单形n内一点P到单形的侧面fi之距离为dii0,1, nn2n12Vcsc

当nP为其内心时等号成立n由于csc2n11所以不等式(5改进了著名的Gerber不等式9n n2n12

nV di

证明利用下面两个不等式10,3

2

nnnn12n0i

aijcsc

n

Ficsc

n!

n

由于式(78中等号当且仅当n为正则单形时成立,所以式(9中等号当且仅当n则单形时成立

ndiP在单形n内部,所以diFinV或

1,利用算术几何平均不等式,nd

ndF

n

nV i

ii

d

i0

n1i0nV

n

ii由不等式(9),(10)便得不等式(5),由证明过程 当n为正则单形且点P为其内心时等 2 2 aijFi

n

0i 证明EnB关于坐标单形n的重心规范坐标为(λ0,λ1⋯,λn,nV1Vi0,1 n1，,n

的体积 En中任一点Q,有QBiQAi由此可得iBAiiQAiQB0

2

QBQB2QBBABA n

QB2 在式(12)中取QAj,并两边乘以j,,,AABABAj iji nj求和,并利用n

0,得

AAABAiji 0i 对任意给定的一组正数xii ,n,在En中取一点B,使点B关于垂足单形 ,,其中xx

,利用式(13,

nij nij

2即0i即

0i

i由于01i0,1, ,n,所以点B在单形n内部,又由于单形n的内点P关于n的垂足单形n在单形n内部(除顶点外),从而点B在单形n内部.过点i面fi之垂线,垂足为Qii xx x

i等号当且仅当QiAi ,n,即BP时成立inn利用Cauchy不等式与BQjgFinV,nxBQn

x

BQgF

nV

由式(14～(16

nn

2

n2 n212

ij xi

Fi

xi

0i

在式(17)中令x0x1 xn1,便得不等式(11),由证明过程 当n为正则单形且n为其切点单形时式(11)中等号成立. 对n维单形nn

n21 2

n!n

当n为正则单形时等号成立.定理1的证明:由不等式(1118

0i a2

n!n V利用结果

0i

0i

ij22 0i

a2n12R2OG20ij

a2n12R2在引理1中取点P单形n的内心I,此时有diri ,n,由不等式(5)nn2nn2n1Vcsc

当n为正则单形时等号成立由式(19)～(22)便得不等式(2),由证明过程 当n为正则单形且点P为其内心I时1张垚关于垂足单形的一个猜想[J系统科学与数学,199212(4)371375.(ZHANGYao.Aconjectureonthevolumeofsimplexwithfeetofperpendicularasvertexes[J].JSysSciMathScis,1992,12(4):371-375.)[2],如.切点单形的一个几何不等式[J].数学的实践与认识,1987,17(4):71-75.(MAOQi2jiZUOQuan2ru.AgeometricinequalityofthesimplexatthepointofcontactJMathematicsinPracticeandTheory,1987,17(4):71-75.)[3]冷岗松.En中Euler不等式的一个加强[J]