2021-2022学年八年级数学下册训练03运算思维之二次根式的加减重难点专练（解析版）（苏科版）

专题03运算思维之二次根式的加减重难点专练（解析版）

错误率：易错题号：

一、单选题

1.（2018♦重庆•中考真题）估计（2回-例）的值应在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【标准答案】B

【思路指引】先利用分配律进行计算，然后再进行化筒，根据化简的结果即可确定出值的范围.

【详解详析】（2月一后）•A

=2,\/5—2，

而2>/5=A/4X5=V20»

4<720<5,

所以2<26-2<3,

所以估计（2而-反）的值应在2和3之间，

故选B.

［名师指路】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法''是

解题的关键.

2.（2021・江苏・苏州市平江中学校八年级月考）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加26cm,宽增

加［辰m,就成为了一个面积为192c廿的正方形，则原长方形纸片的面积为（）

A.18c/w2B.20cm2C.36c/n2D.43cm2

【标准答案】A

【思路指引】

利用算术平方根算出正方形的边长，进而求出原长方形的长和宽，再列式计算即可得出答案.

【详解详析】

•正方形的面积为192cm2,

.•.正方形的边长为J面=86Cem）,

，原长方形的长为：8G-26=66(cm),宽为：8舁7&=&(cm),

原长方形的面积为：66x6=18(.cm2).

故选：A.

【名师指路】

本题考查了算术平方根，二次根式的计算，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键.

3.(2022•江苏崇川•八年级期末)已知任二7-而二7=2,则后二7+Jii二7的值为()

A.3B.4C.5D.6

【标准答案】C

【思路指引】

根据题意，725^7-715^7=2.变形为序m=2+71T，，两边平方得了2=12：,代入求值即

可.

【详解详析】

解：425-f-J15-f=2,

.•.，25-寸=2+J15-%2,

两边平方得，25-』=4+15-犬+445-上，

即4>/15-x2=6,2V15-X2=3，

两边再平方得，4(15-X2)=9,

化简，得f=121,

4

把f=12：代入任二丁+而，，

=^+旧，

73

=—I-，

22

=5.

故选C.

【点评】

本题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.所以一般二次根式的有理化

因式是符合平方差公式的特点的式子.

4.（2021•江苏淮安•八年级期末）下列运算正确的是（）

A.3-^2-?-\/2=3B.+\/3-y/5

C.2>/3x3x/3=6>/3D.718-712=x/6

【标准答案】A

【思路指引】

根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

【详解详析】

A、3五:&=3，故选项A正确；

B、血+百不能合并，故选项B错误；

C、2A/3X3>/3=18,故选项C错误；

D、炳-屈=3血-26，故选项D错误；

故选：A.

【名师指路】

本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法.

5.（2021.江苏吴中•八年级期末）下列计算正确的是（）

A.26+4&=6石B.应=40C.厉+6=3D.4-3）2=-3

【标准答案】C

【思路指引】

根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定.

【详解详析】

A、26+4也不能合并，故选项A错误：

B、瓜=2近,故选项B错误；

C、历'+6=3,故选项C正确：

D、而豕=3,故选项D错误；

故选：C.

【名师指路】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

6.（2021.江苏.苏州市吴江区实验初级中学八年级月考）估计（2延-加b的运算结果应在哪两个连

续自然数之间（）

A.2和3B.3和4C.4和5D.5和6

【标准答案】B

【思路指引】

根据二次根式的混合运算法则把原式化简，估算后-1的范围，得到答案.

【详解详析】

即-何小

=14舁孙冬

=>/24-1

由于4c病<5

所以3〈扃TV4

故选：B.

【名师指路】

本题考查了二次根式的运算和无理数的估算.解答本题的关键是掌握二次根式的运算法则和无理数的估

算方法，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常

用方法.

7.（2021.江苏江都•二模）下列计算正确的是（）

A.册_6=瓜三B.V4+^=V4+9

C.79x716=79x16D.厉-6=6&

【标准答案】C

【思路指引】

据二次根式的加减法对A、B、。进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断即可求解.

【详解详析】

解：A、原式=2&-6,所以A选项错误，不符合题意；

B、原式=2+3=5,所以B选项错误，不符合题意；

C、原式所以C选项正确，符合题意;

D、原式=56-6=46,所以。选项错误，不符合题意.

故选C.

【名师指路】

本题考查了二次根式的运算，二次根式的加减先把二次根式化为最简二次根式，然后对被开方数相同的

二次根式加减即可.熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.

A.a-b=OB.a+b=OC.ab=1D.a2=b2

【标准答案】C

【思路指引】

先分母有理化求出a、h,再分别代入求出时、a+b,a-b、浮、浜各个式子的值，即可得出选项.

【详解详析】

解：分母有理化，可得”=2+6,氏2-6，

-.a-b-（2+百）-（2-6）=273,故A选项错误，不符合题意；

〃+加（2+/）+（2-G）=4,故8选项错误，不符合题意；

ab=（2+5/3）x（2-G）=4-3=1,故C选项正确，符合题意；

：。2=（2+73）2=4+4后+3=7+46,〃=（2-6）2=44有+3=7-46,

.♦.”w2,故。选项错误，不符合题意；

故选：C.

【名师指路】

本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键.

9.（2021.江苏•连云港市新海实验中学八年级期末）下列计算正确的是（）

A.V2+\/3=>/5B.2A/2—>/2=2C.=3D.-JT.Xyf3->/6

【标准答案】D

【思路指引】

利用二次根式的加减法对A、B进行判断；利用二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的乘

法法则对D进行判断.

【详解详析】

A.0+V5=逐不能合并，故此选项错误；

B.2夜-夜=夜，故此选项错误；

C逅,故此选项错误

近

D，V2x^=>/6.选项正确;

故选：D.

【名师指路】

本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算,

再合并即可.

10.(2021•江苏扬州•中考真题)如图，一次函数丫=》+后的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,把直线

AB绕点8顺时针旋转3(T交x轴于点C,则线段AC长为()

C.2+0D.V3+V2

【标准答案】A

【思路指引】

根据一次函数表达式求出点A和点8坐标，得到AOAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作

CDA.AB,垂足为£>,证明△ACC为等腰直角三角形，设CZ)=AZ)=x,结合旋转的度数，用两种方法表示

出BD,得到关于x的方程，解之即可.

【详解详析】

解：：一次函数y=x+&的图像与》轴、)，轴分别交于点A、B,

令x=0,则产正，令.y=0,则X^-y/2,

则A(-V2,0),B(0,41)，

则△048为等腰直角三角形，ZABO=45°,

.•・48='(可+的=2,

过点C作CO_L48,垂足为£),

ZCAD=ZOAB=45°,

・・・△ACO为等腰直角三角形，设

**-AC=y）AD2+CD2=旧，

；旋转,

:.NA8C=30°,

：.BC=2CD=2x,

80=>jBC2-CD2=&，

又BD=AB+AD=2+x,

.\2+X=y/3X9

解得：尸6+1,

••AC=5/25/2（\/3+1）=+\/2,

故选A.

【名师指路】

本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定

理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形.

二、填空题

11.最简根式，二而与J°2_4a是同类二次根式，则。=.

【标准答案】7.

【思路指引】

根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解.

【详解详析】

解：：最简根式际与后二是同类二次根式，

a+6=a2-4a,

解得：ci=6或-1.

•*当〃=6时,Ja+6=y/a2—4a=V12=2百，

，此时Ja+6与Ja1-4a不是最简根式,

；.a=6（不符题意，舍去）.

当。=T时，-Ja+6=1a。-4a=小,

...此时yJa+6与yja2-4a是最筒根式，

•••“=-1符合题意.

故答案为：-1.

【名师指路】

本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同

类二次根式.

12.（2021・江苏•靖江市靖城中学八年级月考）已知x=2-g,y=2+G.则代数式/+产-加的值为

【标准答案】12.

【思路指引】

根据二次根式的减法法则求出x-y,利用完全平方公式把原式化简，代入计算即可.

【详解详析】

解：x—1—6,y=2+y/3,

\x-y=-26,

则X2+y2-2xy=（x-y）2=（-2后）?=12,

故答案为：12.

【名师指路】

本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的加减法法则是解题的关键.

13.计算通一专的结果是.

【标准答案】

【思路指引】

先分母有理化，然后化简后合并即可.

【详解详析】

2

解：瓜.不

=2亚-y/2

=近.

故答案为：&.

【名师指路】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.在二

次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事

半功倍.

14.(2021・江苏•盐城市初级中学八年级期中)比较大小：2G34(填或"=").

【标准答案】<

【思路指引】

先把根号的外的因式移入根号内，再比较大小即可.

【详解详析】

'*'2y/3—y/\2，3>/2=VT8，\[{2,<\/18^>

，V3收，

故答案为：<

【名师指路】

本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键.

15.(2021•江苏医药高新技术产业开发区•九年级期末)已知y=J(x-4)2-x+6,当x分别取1,2,

3,....2021时，所对应y值的总和是_.

【标准答案】4054

【思路指引】

先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得.

【详解详析】

解：y=-x+6=|x-4|-x+6

当x<4时，y-4-x-x+6-l0-2x

当x"时，y=x-4-x+6=2

则所求的总和为(10-2xl)+(10-2x2)+(10-2x3)+2+2++2

=8+6+4+2x2018

=4054

故答案为：4054.

【名师指路】

本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键.

16.计算（血-石）次+（五-石）石的结果是.

【标准答案】5.

【思路指引】

二次根式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号要先算小括号里面的.

【详解详析】

解：（&-白）般+（次-百）白

—8—2^6+2\/6—3

=8-3

=5.

【名师指路】

本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键.

17.（2021.江苏漂阳.八年级期末）如图，矩形ABC。中，点E是AB上一点，连接。E,将AAOE沿。E

翻折，点A落在点尸处，连接CF,AB=6,BC=4,若△OFC是等腰三角形，则AE=.

【标准答案】~-q币或12-8>/2

【思路指引】

分两种情况讨论①当CD=CF=6时，过点尸作MN〃A。交4B于M,交,CD于N,作CG_LOF交。F于

G,先求CG=4&,再由三角形CFQ的面积得gxQFxCG=gxCQxFN,求得版=|及，则用尸=4-

oAAA.R

一夜，再求£W=—，EM=——AE,在•△EMF中，AE2={--AE）2+（4无丫,即可求AE=12-8

33333

&；②当£>F=CF=4时，过点F作MN〃A。交A8于M,交CD于N,先求出FN=出,则MF=4-

币,EM=3-AE,在RfAEFM中，A£2=（3-A£）2+（4-77）2,求出近.

【详解详析】

解：由翻折可得△

：.AD=DF,AE=EF,

'：AB=6,BC=4,

：.AD=DF^4,CD=6,

•••△QFC是等腰三角形，

①当CD=CF=6时，如图1,

过点尸作MN〃A。交A8于M,交C。于M作CG，。/7交。尸于G,

:.DG=FG=2,

:.CG=4O,

gX£>FXCG=gxCDxFN,

；.4x40=6FN,

Q

：.FN=-42

3f

o

AMF=4--V2,

3

4

在RfADFN中,DN=一，

3

4

：.EM=--AE,

3

在町△EM尸中，EF2=EM2+MF2,

：.AE2=(--AE)2+(4--后，

33

・・・AE=12-8亚；

②当。F=C?=4时，如图2,

过点F作MN〃AD交AB于M,交CD'N,

■:FNLCD,

:.DN=3,

：.FN=yfjt

：.MF=4-a,

,.・4W=3,

；・EM=3-AE,

在EFM中,EF2=EM2+MF2,

：.AE2=(3-AE)2+(4-V7)2，

.AF164/3'

..AE=------y7；

33

综上所述：若ADFC是等腰三角形，/1£为号-3/或12-8应；

故答案为个-gS或12-8应.

【名师指路】

本题考查折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，对等腰三角形OFC分情况讨

论求AE的值是解题的关键.

18.（2021.江苏灌云.八年级期末）已知。=2+6，b=2-8,则的值为__________.

ab

【标准答案】-8Q

【思路指引】

先计算出。+江a-b,油的值，再通分和利用平方差公式得到：-£=丝@=“-"），+”）,然后利用

ababab

整体代入的方法计算.

【详解详析】

解：:a=2+6,6=2-⑸

.'.a+h—4,a-h—2y/3,"=4-3=1,

.ba_b2-a2_(b-a)(b+a)__2^x4_。厂

••--T=；-=-----7-----=----:----=-813

ababab1

故答案为_873.

【名师指路】

本题二次根式的化简求值，通过先计算4+6儿4以及油的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便.

-1,1

19.已知"=水万’八二"则/-4+//-%=

【标准答案】-三64

【思路指引】

先将所求式子变形为只含有和岫的形式，再计算出。+匕和而，代入计算即可.

【详解详析】

解：a3-tz+Z?3-b

=/+/一(〃+力)

二(〃+8)(々2-ab+b2)-(〃+8)

二(a+8)(/-ab+b?-1)

=(a+b)[(a+6『-3"-1]

..177-2.1-V7-2

4八]11

a+b=^l+^^方小？T^x-，

33

故答案为：-.

27

【名师指路】

本题考查了二次的化简求值，先根据已知条件得到两个字母的和与积的值，然后变形所求的代数式，用

这两个字母的和与积来表示，再运用整体代入的方法求代数式的值.

20.(2021・江苏通州•二模)如图，在边长为2的正方形ABCQ中，点M在边AB上，点N在对角线AC

上，连接DM,DN.若AM=CN,则(Z)M+QN)2的最小值为.

【标准答案】8+40

【思路指引】

过点C作CH_LAC,使得C”=AO,连接NH,由题意易得/NCH=/M4£)=90。，进而可得

△NCH^AMAD,然后可得OM=N”，要使(£>M+£W『的值为最小，只需DM+ON的值为最小，即

NH+ON的值为最小，所以可得。、N、，三点共线时最小，则过点“作"ELOC于点E,然后根据勾股

定理可求解.

【详解详析】

解：过点C作CH_LAC,使得C”=A。，连接NH,如图所示：

D

•.•四边形ABC。是正方形，AB=2,

AZMAD=ZDCB=90°,ZDCA=45°,AD=CH=AB=CD=2,

：.ZNCH=ZMAD=90°,

,:AM=CN,

:.丛NCHQXMAD(SAS),

：.DM=NH,

若使（£>M+£W）2的值为最小，只需DM+ON的值为最小，即M7+£W的值为最小，所以可得。、N、H

三点共线时最小，则过点”作HELOC于点E,如图所示：

ZDCA=ZECH=45°,

...△CEH为等腰直角三角形，

CE=EH=—2CH=42,

DE=DC+CE=2+>/2,

二在RdOEH中，DH2=（DM+DN）2=DE2+EH2=（2+^+2=S+442t

，（r>M+£W）2的最小值为8+4夜；

故答案为8+4点.

【名师指路】

本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握正

方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键.

三、解答题

21.（2021・江苏高邮•八年级期中）阅读下列解题过程：

11X(V5-A/4)厂广厂11x(76-75)

—j=—77=—r=—L/I--7=v=>/5-A/4=>/5-2，—j=—1==—=—/—K=a一也.

J5+J4(V5+V4)(V5->/4jV6+V5(<6+V5)(V6-V5)

请回答下列问题：

(1)观察上面的解题过程，请直接写出式子+=_______(〃>2)：

(2)利用上面所提供的解法，请计算

1][1]1

1+V272+73以+〃X/98+A/99x/99+>/i00

(3)不计算近似值，试比较(旧-而)与(屈-屈)的大小，并说明理由.

【标准答案】(1)«-病斤：(2)9；(3)屈-屈>屈-9,理由见解析

【思路指引】

(1)由解题过程可以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为I,分子则为分母的有

理化因式，由此可直接写出丁I/—7的值;

(2)中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果.

(3)利用倒数关系比较大小.

【详解详析】

11x(有一4)厂厂厂11x(指-石)厂厂

解：(1)•:〒~r=\'=45-4^=45-2,厂厂=「广/.「、=娓-非.

V5+V4(>/5+V4)(V5-V4jV6+V5(V6+V5)(V6-V5)

，发现规律可得/I,=6-

7n+7几一I

故答案为：\[n--7^-1；

11111

(2)---»=,H-7=f=d—f=-+...-7=7^=+-1

1+V2V2+V3V3+V4x/98+v99v99+V100

=&-l+6-&+4-6+...X/99-^+V100-A/99

-VlOO-1

=9

iVB+VH值+而

(3)7VB-VH=pTvnpTTTT)=—2

i岳+岳岳+拒

715-713(715-5/13)(>/15+713)2

j屈+拒―岳+屈

，人---

22

/.(Vi3-Vn)>(Vi5-Vi3).

【名师指路】

本题考查了二次根式的运算，是规律型的，由分母有理化得出规律，正确理解题意、掌握求解的方法是

关键.

22.(2021•江苏•苏州高新区第一初级中学校八年级月考)计算或化简：

(1).2]+a-(石-1)。；(2)(庖-3,27/)+占.

【标准答案】(1)473;(2)3—27。

【思路指引】

(1)原式第一项进行分母有理化，笫二项化简二次根式，第三项运用零指数哥法则化简后再进行加减运

算即可得解；

(2)原式先化简二次根式，再进行除法运算即可.

【详解详析】

解：(1)-7=-----,^7-(6-I)。

V3-1

原式=百+1+36-1

=46；

原式=(7^-9a

=3-21a

【名师指路】

此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算

一致，运算顺序先乘方再乘除