2021-2022学年重庆市北碚区高一年级下册学期第三次定时训练数学试题及答案

2021-2022学年重庆市北陪区高一下学期第三次定时训练数学试题

一、单选题

sincr=-—

1.若13,且。为第四象限角，贝ijtana的值等于

12_125_5

A.5B.5C.12D.12

【答案】D

【详解】•••sina=13,且"为第四象限角，

cosa=a=—

13,

sina5

tana=----=----

则cosa12,

故选D.

2.设备、/是两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是()

A.q+e?和qB.乌+2ei和e2+2q

C.3g_2e?和4e?-6勺De?和e?+et

【答案】C

【分析】根据平面向量的基底的概念，判断各选项中的向量是否共线，即可得答案.

【详解】对于A,,0+02和q-e?没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确;

对于B,4+202和02+2。，没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；

对于C,4e2-6el--2(3e,-2e2))二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基底；

对于D,和0+弓，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；

故选：C

71

3.在A/8c中，BC=\,AB=^,C=3,则/=()

工5万生工24上

A.6或6B.6c.3或3D.3

【答案】B

【分析】由正弦定理求出6或6,再检验即得解.

sin力打2

【详解】由正弦定理得了

AA.=—兀—5几

因为°<“<乃,所以6或6,

因为BC=l<AB=6,

A<C,:.A=-

所以6.

故选：B

【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

4.设Z,%是非零向量，贝"，'共线"是」"+W-W”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】若向量£,3是方向相反，则打一'卜同一W,再由充分必要条件的判定即可得答案.

【详解】若向量£,磁线且反向，贝/-也同2+好-2耶H，，%小时+2|明，

9邛|，=同2+林-2|啊

所以B叫叩一问，则不充分，

若£,B是非零向量，且1"%卜邛1,

则B引=（汩磅即cos（哂=1解得（哂=0,

则。，B共线且同向，

所以“£,B共线”是」""卜W-W"的必要而不充分条件.

故选：B.

5.如图，在平行四边形/8C。中，"是48的中点，DM与AC交于点、N,设方=&,AD=b,

则BN=（）

【答案】A

„Al\=-AC

【分析】依题意可得A/MWD&CND,即可得到3,再根据平面向量线性运算法则计算可

得；

【详解】解：依题意在平行四边形中，AMHCD,

AMAN

又M是"的中点，DM与4c交于点、N,所以AZM/DKND,所以正一石15,

~AN=-'AC

所以3,

JN=JN-'AB=-^C-'AB=-CAB+'AD'y'AB=-'AD--JB=-b--a

所以33、73333

故选：A

6.一艘海轮从4处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达8

处，在C处有一座灯塔，海轮在4处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在8处观察灯塔，其方向是

北偏东65。，那么8,C两点间的距离是（）

A.10&海里B.106海里

C.206海里D.20&海里

【答案】A

【分析】先确定NC/8和乙4c8,然后由正弦定理可直接求解.

【详解】如图所示，易知，在A/8C中，AB=20,NC48=30。，4c8=45。，

根据正弦定理得sin30=sin451,

解得8c=10及（海里）.

故选：A

【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.

/(x)=sin

7.设,若函数y=恰好有三个不同的零点，分别为不、

X?、工3（须＜工2＜毛），则玉+2工2+X3的值为（）

3兀3万74

A.兀B.4C.5D.4

【答案】C

【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的

交点问题，利用数形结合进行求解即可.

2x+—=k7r+—(keZ)x=—+—(keZ)

【详解】由42、,，得对称轴28、

八,人》冗，9兀

XG0,—

-8」，由0<——+—<—--<k<2

288,解得4

7T5乃

X=—x=——

当％=0时，对称轴.8,%=1时,对称轴8

由/(x)-a=O得/(x)=a

若函数夕=/（x）-0恰好有三个不同的零点,等价于函数'=/（"）与夕=a的图象有三个交点,

与"1

作出函数/G）的图象如图，得八°）

2,则2

V2y=a

OX!产X2J57T

：8!"8~

717C

由图象可知，点（知/。））、&，/&））关于直线X=­玉+工2=彳

8对称，则

5乃5兀

点&,/（与））、（小⑺）关于直线x=——々+》3=彳

8对称，则

n5434

X,+2x,+x,=X,+x,+x,+X,=—I--=—

因此，442

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型

函数图象的对称轴，结合对称性求解.

8.在平行四边形/8CO中，AB=2,BC=\,ZD/8=60。，点E为边48的中点，点尸为边

8c上的动点，则诙•而的取值范围是（）

D.L2

【答案】B

——DE=—AB-AD,DF=AB-xAD

【分析】首先用基底48,NO表示2，再利用向量数量积公式表示

DEDF=\+-x

2,利用x的范围求数量积的取值范围.

【详解】因为在平行四边形N8CZ)中，AB=2,BC=\,ZDAB=60°,AD=BC=\,所以

——DE=DA+AE=—AB—AD

40・48二以2、8560。=1.因为£是46边的中点，所以2.又点、F在BC边

上，设CF=XC6(0<x<1),贝ijZ)/7=DC+C77=+=/8—1力。，所以

DE-DF=^AB-Ab^-^4B-xAb^=^AB2+xAD2-AB-AD

—xAB-AD=—x4+x-l-—x=l+—x1<1+—x<—____

2222.X0<x<l,所以22,故。尸。尸的取值范围是

H]

故选:反

【点睛】关键点点睛：本题关键点是对动点厂引入参数X,设炉=xG（O<X<1）,这样所求数

量积就可表示为关于x的函数，进而求得其范围.

二、多选题

9.下列说法正确的有（）

A.已知G=（T，2）,在=（2/），若，与g共线，贝产=-4

B.若a庇,bUc,则引/d

C.若同*W,则值一定不与不共线

一__3

D.若羽=（3,1）,"C=（加-1,加），/8/C为锐角，则实数m的范围是“二

【答案】AD

【分析】根据向量共线的性质可直接判断ABC选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断选项

D.

【详解】A选项：'=（7,2）,%（2,x）,若方与$共线，则_X=2X2,X=-4,A选项正确;

B选项：当日=°时，allb,b//c,但，〃[不一定成立，B选项错误;

C选项：回*W,无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，C选项错误；

]3（阳-1）+〃?>03

D选项："=（3,1），"心=（加-1,加），若/BAC为锐角,则上加*m-1,解得“丁，D选项

正确；

故选：AD.

/（x）=Jsin（cox+A>0,（y>0,|^|<—

10.已知函数I2J的部分图像如图所示，下列说法正确的是

A.函数y=/a）的周期为兀

_5兀

B.函数y=〃x）的图像关于直线”一一区对称

2兀兀

c.函数y=〃x）在L3'%」单调递减

兀

D.该图像向右平移7个单位可得>=2sin2x的图像

【答案】ABD

【分析】根据函数图像可确定参数A的值以及最小正周期，判断A,利用特殊点坐标可求得巴即

5兀2兀兀Tlr1

x=----xw-~2x+—e[-71,01

得函数解析式，将12代入验证可判断B；根据L36」，3」，结合正弦函

数的单调性，可判断C；根据三角函数的图像平移可得平移后的函数解析式，判断D.

f(x)=As\n(cox+(p^A>0,6>>0,|^|<—

【详解】由函数,I2J图像可知：

,4=2,7=4(---)=TT,:.co=—=2

设函数最小正周期为7,则312兀，A正确:

(―2)2=2sin|2x—+^>|

将12'代入函数解析式可得I12九

兀兀兀

2x——+0=—+2lai,k£Z,，0=—+2kn,kZ

即12*23G

兀f(x)=2sin(2x+y

(p=­

由于阳2,故3,则

x=--/(')=2sin(2x+&]/f--1=2sinf--+—1=-2

将、12代入‘I)I3；^'I12)I63j

5n

x—___

即函数V=/（x）的图像关于直线’一12对称，B正确;

27171兀

2x+-€［-71,01

当L36」时，3L」，

—71,----,U

由于正弦函数、=sinx在L2」上递减，在L2」递增,

〃x）=2sin（2x+。--1--

故I3）在［3'12］上递减，在［12'6_|递增，c错误;

/(x)=2sin[2x+—I—y=2sin[2(x-—)+—]=2sin2x

将I3J的图像向右平移6个单位可得63的图像，D正

确,

故选：ABD

11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形

ABCDEFGH,其中10旬=2,

图2

A.OA-OD=-14iB.OB+OH=-WE

V2—

C\AH-FH\=242+42—•—•----OB

D.在上的投影向量为2

【答案】ACD

【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各

选项.

场•砺=|刀||比|cosNZOO=2x2xcos^=-2VI

【详解】11114,A正确；

由向量加法的平行四边形法则知丽+而是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，

起点是°,易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即丽+丽片2次，而方=一赤，因

此B错误；

22+22-2x2x2xcos—=2^2+72

4,C正确;

OE-Og=2x2xcos—=-2A/2

4,

瓦.砺__2代_*

乐在丽上的投影为画一2一，又网=2,

一"那=一9无

二砺在而上的投影向量为D正确.

故选：ACD.

12.在一BC中，角小B、C所对的边分别为“、b、c,且弘cosC+3ccos5=/,则下列说法正

确的是（）

A.若5+C=2/l,则"8c的外接圆的面积为37t

B.若'二，且"8C有两解，则6的取值范围为口3血］

C.若C=2/,且“8C为锐角三角形，则c的取值范围为G及，3百）

3--3

D.若力=2C,且sin8=2sinC,。为A/3C的内心，则工。8的面积为4

【答案】ACD

【分析】根据条件劝c°sC+3cc°sB♦求出a=3.

选项A：根据条件8+C=24求角/根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；

选项B：由余弦定理得9="+。2-&防，将此式看作关于c的二次方程，由题意得此方程有两个正

解，求得6的取值范围：

选项C：根据正弦定理把边。表示为6cos/l,利用小8c为锐角三角形求角工的范围，从而求边

c的范围：

选项D：利用正弦定理求出角C,从而判断出“8C是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公

式求"8C的内切圆半径，从而求的面积.

【详解】因为3bcosC+3ccos8=a2,所以由正弦定理，得3sin5cosc+3sinCcos5=asin4,

即3sin(^+C)=asinJ

因为1+8+C=*所以$出(8+C)=sin",且sin/wO,所以a=3.

A=-

选项A：若8+C=24,则3,

27?=---=2G_r：

所以"8C的外接圆的直径sinJ，所以R=J3,

所以“8C的外接圆的面积为"即)=3兀，选项人正确；

选项B：由余弦定理片=/+C2-26CCOS/得9=〃+C2-®C,将此式看作关于c的二次方程

%2-9>0

1-&历+/-9=0,由题意得此方程有两个正解，故［曲)2-40--9)>°，解得/G"),所以

选项B错误；

选项C：由正弦定理，得sin"sin2J,即c=2acos/=6cos/,

0<J<-0<A<—

22

71

0<B<-<0〈兀一34<-

22

TT71,兀

0<C<-0<2J<-—<A<—

因为“8C为锐角三角形，所以2,即〔2，所以64,

ll-c=6cos4£。/,3月)…山3丁6

所以1)、故选项C正确;

选项D：因为sin8=2sinC,所以6=2c,

因为4=2C,所以sin8=sin(4+C)=sin3C,

b_c2c_c

所以由正弦定理sinBsinC,得sin3csinC,即sin3c=2sinC,

所以sin2CcosC+cos2CsinC=2sinC,

即2sinCeos2C4-2cos2CsinC-sinC=2sinC,所以2cos?C+2cos2C=3,

cos2C=—C=—A=—B=—.rzrr

所以4,又因为力=2C,所以6,3,2,b=2y/3,c=yl3f

=^(a+c-b)=^--

所以内切圆的半径为〃

即△48C是直角三角形,

八S=〃」x辰2W

所以的面积为2224,选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是（°，）），如8=

兀A/八2兀、

-AG（0,—）

3,则3，特别是在求值域问题时会用到.

TT7T

45,Ce（0,-）（不兀）

②在锐角三角形中，不要只考虑2,还要想到另外两角之和在2内,若再知其中一

兀.2兀八兀7tH兀

—A=------C<——<C<—

角,要考虑其它角的范围，如8=3,则32,所以63；若知其中两角关系，也要考虑角

<0<n-3A<—

2

0<2/<^^<A<-

的范围，如在本题中/=2C,综合三个角为锐角有12,得64.

三、填空题

13.已知向量”（々I）,5=（-"）,，=（43）,若@+91C,则实数.

【答案】2

【分析】由题可得"+“=（-3,2）,再利用数量积的坐标公式即求.

【详解】因为"HQ,»（T，1）,

所以舁心（-3,2）,又©+在J'（43）,

所以-34+6=0,解得2=2.

故答案为：2.

sin8

14.在根8c中，4=120O/8=5,8C=7,贝iJsinC的值为.

3

【答案】5

sin6_b

【详解】试题分析：根据题意，由于N/=12（T,48=5,8C=7,则可知碇一展，那么根据余弦定

3

理可知。夕="82+工。2-2/8/Ccosl20°=9,6=3,因此可知答案为5

【解析】正弦定理

点评：解决的关键是根据已知的边和角，结合正弦定理来得到求解，属于基础题.

【答案】3

a+-=p

【分析】令6，再利用二倍角余弦公式求结果.

a+—=BsinB=^~

【详解】令6,则3,

cos|--2a|=cos[--2(>9--)]=cos(兀-2(3)=-cos20

<3)36

=2sin2/7-1=2x^-1=——

故答案为：

【点睛】本题考查二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

乙4=三__AQ=^-AC

16.在春8c中，3,48=6,NC=4,点尸、0满足N尸=2尸8,2,直线CP与80

交于点°,M为线段4°的中点，则线段CM的长等于

V37

【答案】F

【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标即可求得C/0的长.

【详解】根据题意，以A点为原点，力8所在直线为x轴，过A点且垂直于力8的直线为夕轴建立平

面直角坐标系，根据题意求得'◎°),/GO),。(2,2石)，尸(4,0),。(1,灼，

RC广且』x_6)y=_@(x_6)

则30所在的直线方程为‘1-6即5<

。产所在的直线方程为2-4"),即N=-6(x-4)；

*y=--6)

联立3所在的直线方程与8Q所在的直线方程得2=一66一4),解得

737

故答案为：F.

四、解答题

17.已知向量*与石的夹角为120°,"-2,W=l.

⑴求21；

⑵求£-26与否的夹角.

【答案】（1）28

⑵150。

【分析】（I）先完全平方，然后代入数据，最后开平方即可；

（2）直接套用夹角公式，代入数据即可求出答案.

Ca-2b'}=a2-4a-b+4b2=22+4x2xlx-+4^\2

【详解】（1）由'72,

得人2*2打

Ab（a-2b）b-a-2^-1-2乖）

（2）设台与。一2b的夹角为夕，则IIIIIIII,

又0”"180。,

即6=150°.

18.“BC中，内角48,C的对边分别为a也c,已知〃=4,b+4cos/（acosC+ccosN）=0

（1）求28C外接圆的直径：

⑵若ZB/C=-3,求A/8C的周长.

16后

【答案】⑴15

⑵VS+4

.1.,V15

，一cosA=—sinA=-----

【分析】（1）先利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求得4,进而可得4,再

利用力8c外接圆的直径sin力求解即可；

（2）由向量数量积的定义可得加=12,再利用余弦定理求b+c的值即可.

【详解】（1）由"+4cos"（acosC+ccos'）=°及正弦定理可得，

sin8+4cosA（sinAcosC+sinCcos4）=sin8+4cos4sin（4+C）=0

因为△/8C,A+C=n-Bf且sinBwO,

所以sin8+4cos/sin(兀-8)=sin8+4cos力sin8=0

cosJ=--

所以4

Tt,

—<A<nsinA=Vl-cos2A=

又因为"8C,2,所以4

OD_a16而

所以由正弦定理可得外接圆的直径sinA15

(2)由、8MC=-3可得6ccos4=-3,所以bc=I2,

(b+c)~-2bc-a2

由余弦定理可得2bc2bc

0+城-401

即24-4,解得6+。=后,

所以A/8C的周长为南+4.

/(x)=sin2a)x---4sin2tyx+2(^y>0)71

19.已知函数I6J其图像与X轴相邻两个交点间的距离为2.

⑴求函数/（X）图像的对称轴:

7C兀

⑵判断/（X）在1%'5」上的单调性.

x=—+—（keZ}

【答案】（1）对称轴为212、

n兀兀K

（2）/。）在L12」上单调递增,在卜2’5」上单调递减

/(x)=V3sin269X+—

I3

【分析】（1）由三角恒等变换得再结合题意，根据周期性得"=1,进而

整体代换求解即可;

兀兀

（2）先根据整体代换方法求得函数的单调增减区间，再与।求交集即可.

/(x)=sin|2cox--|-4sin2a)x+2

【详解】(1)解：.16J

百.C1c41-COS2Gxc

=——sin2cox—cos2cox-4x--------------+2

222

石•c3c

=——sin2cox+—cos2a)x

22

=V3sin^26>x+yj

71

因为图像与x轴相邻两个交点间的距离为5,

2万_

所以，函数/(“)的最小正周期7=兀，即2/一”，解得。=1,

/(%)=百sin(2x+—।

所以13人

2%+—=H+—x=—+—（kGZ）

由32得212、）,

所以，/（X）的对称轴为、=万+丘G*z）

f(x)=V3sin|2x+—I

(2)解：由(1)得l3A

2/CK--<2x+—<2kn+—(keZ)kn--<x<kn+—(keZ)

所以，由232',得1212,

2kn+—<2x+—<2kn+—(keZ)kit+—<x<kn+—(kGZ)

由232、,得1212'

l(Tt-—,k7l+—(kGZ)kTt-\--,kTt+—(kGZ)

/,（、）的单调递增区间为v7v7

所以1212单调递减区间为1212

XG------，一

因为L62」

nTi71it

所以，/（X）在I%’12」上单调递增，在上单调递减.

20.如图，该平面图形由直角三角形Z8C（NZC8为直角）和以8c为直径的半圆拼接而成，点P

为半圆弧上的一点（异于8、C）,AB=2,CHL4B交4B于点、H,设

⑴若NA="BC,当。为何值时，CN+CP取到最大值，最大值为多少?

兀

ZPBA=-

（2）若3,求CH+CP的取值范围.

【答案】（1）当3时，最大值为2

【分析】（I）通过解直角三角形将C4+C尸表示成关于夕的三角函数，结合二次函数性质即可得解;

（2）根据三角形的面积可得C7/=2sin9cose,将C〃+CP表示成关于夕的三角函数，根据正弦函

数的性质可得结果.

【详解】（1）由题意得，NA=NPBC=9,AB=2,

则在直角△力8c中，AC=2cos0,6C=2sin。，

在直角^PBC中，PC=SCsin^=2sin20,

。+CP=2cos。+2sin?^=-2cos26+2cos，+2=—2(cosO-g)+g

cos^=-6=2—

所以当2,即3时，4C+C尸的最大值为2.

S.=-CACB=-ABCH

(2)在直角“8c中，由’KC22,即C〃=2sin(9cose,

PC=SCsin=2sin0sin|]

在直角APBC中，[3(2JJI6人

'J?i

C"+CP=2sinOcosO+2sine——sin。——cos。

22

所以♦zJ

=sin0cos。+石sin2。』sin26-cos26+—

222

八八T7t(八271

2^-ye|0,ysinni20S(0,1]

由于3,则

CH+CPe

则

1手小

2b2(h2+c2-a2

21.已知“8C的内角4、B、C的对边分别为“、b、7,CO平

分NACB交4B于点、D,且8=2,2AD=3BD.

⑴求C：

（2）求“BC的面积.

【答案】⑴c=3

256

⑵6

(百

sin5=sinCcosZ----sin4

3

【分析】（1）由余弦定理及正弦定理得），将8角转化为4C后可求得

C值;

sin^^—sin5=—

(2)设Z£>=3x,BD=2x,在及△■£)中由正弦定理得3x,2x,在

中用正弦定理求得a,6的值，从而求得A/IBC的面积.

1-^tan,

2222,b2^c2-a2

2b=(b+c-a^cos力—_________

3

【详解】⑴由及余弦定理-26c得,

2(6)(

2b^=2bccosA1----tanA=b=ccosA-

33

(百

bsin8=sinCcosA----sinA

3

又由正弦定理sin8sinC得

且in」

sin(/t+C)=sinCcosA-

由sinB=sin(n-A-C)=sin(4+C)得、3

sinAcosC+cos4sinC=sinCcosA----sinAsinC

即3