2021-2022学年上海市金山区高二年级上册学期12月月考数学试题含答案

2021-2022学年上海市金山区高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

1.半径为2的球的体积为

32

—71

【答案】3.

【分析】由球体体积公式可得答案.

V=-7tT?3=­n

【详解】33.

32

一兀

故答案为：3

2.直线工+卜-1=°的倾斜角是.

3兀

【答案】彳

【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角

【详解】解：由已知y=-x+L则直线斜率々=-1,

又倾斜角的范围为［°'夕）.

34

故直线％+yt=°的倾斜角是T.

3兀

故答案为：彳.

3.己知基函数＞的图象过点I2九则实数公

【答案】-1

卜;）*

【分析】将点I2〃弋入y=x求解即可.

【详解】解：将点I'2）代入

-=2k

可得2,

即有2T=2、

解得％=T.

故答案为：-1

4.已知"（L2）,8（-1,1）,则直线的两点式方程为

x-1_y-2

【答案】1-（-1）2-1

【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案.

【详解】当直线过两点（*'乂），（“2,九）时，其两点式方程为玉-%%一%,

x-1_y-2

则直线48的两点式方程为IT7）2-1

x-1_y-2

故答案为：1-（-1）2-1.

M、N分别在线段4G与BD上,MN的最小值为.

【分析】方法一，该题可以结合正方体的结构特征，将其转化为两异面直线的距离来求;

方法二，可设出变量，构建相应的函数，利用函数的最值求解;

方法三，建立空间直角坐标系，利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数，然后利用函数方法求

解最值.

【详解】方法一（定义转化法）：因为直线4a与8。是异面直线，所以当w是两直线的共垂线段

时，取得最小值.取4G的中点p,8。的中点。.则线段P0就是两异面直线4G与8。的共垂

线段.

下证明之.

在矩形8004中，尸。为中位线，所以PQ/g,

又因为8耳，平面/5CZ）,所以尸0/平面/8C0

又因为8OU平面/8CO,

所以尸

同理可证尸。：心,

而PQcBD=Q,PQcA©=P,

所以线段尸。就是两异面直线4G与BD的共垂线段，且尸。=1.

由异面直线公垂线段的定义可得MN*P0=1,故MN的最小值为1.

方法二：（参数法）如图，取4G的中点P,8。的中点。.则线段P0就是两异面直线4G与8。的共

垂线段.由正方体的棱长为1可得尸0=1.

连结/C,则'C〃4G,所以为两异面直线4G与8。所成角

在正方形A5CO中，AC1BD,所以N80c=90。

过点M作AW/C,垂足为H,连结NH,则必/〃尸°,且==1

设PM=m,QN=i,则QH=m

在中，HN2=QN2^QH2=n2+m2

在RtAM/W中，MN2=MH2+HN2=12+n2+m\

显然，当机=〃=0时，MF取得最小值i,即MN的最小值为i.

方法三：（向量法）如图，以。为坐标原点，分别以射线加、℃、"2为x、J\z轴建立空间直角坐

标系.

恪金。］

设DN=m,4M=〃则%(m8545。,小山45。,0),即22

M(\-ncos45。,〃sin45°,1)即22

MN2「与4—与门与一41=(m2+7726(加+〃)+2

2222

所以LI)\[)

加=〃=0>

故当2时，MN-取得最小值］,即"N的最小值为1.

故答案为：1.

6.如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是

【答案】‘0'

【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长

和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夹

角.

设圆锥的母线长为R,底面半径为r,•••圆锥的侧面展开图是一个半圆，二圆锥的侧面展开扇形的弧

长为：成，•.•圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，•・•出=2口，出：r=2：1,所以母线

与底面夹角为60°.

【解析】圆锥的计算.

7.从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为

（用数字作答）.

【答案】6

【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲、乙两人都没有被选到的情况，即

可求出概率.

吠=七-6

【详解】解：从4名同学中选2名同学共有42x1种，

甲、乙两人都没有被选到有1种，

甲、乙两人都没有被选到的概率为9.

8.已知直线。，b,平面a,P,满足&0/=6且。_1力，贝心工工灰,是“a_L力,,的条

件.

【答案】必要非充分条件

【分析】根据线面垂直的性质以及充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】如图长方体中，满足an夕=6且

取［5=a,满足贝Ijau/?,

取“尸=。，满足力］，则

取EF=a,满足［二，则"//£,

所以由“1_L3，，得不出“a’。,故充分性不成立，

因为cA尸=/）,所以'up,若a，夕，由线面垂直的性质可得3,人故必要性成立，

故答案为：必要非充分条件.

2兀

9.一个圆锥轴截面的顶角为丁，母线为2,过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为_.

【答案】2

【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可.

【详解】解：由题知I,过圆锥顶点的截面中，截面三角形为等腰直角三角形（直角边为母线）时，

截面面积最大，

5=-x2x2=2

所以，最大截面面积为2

故答案为：2

10.正四棱锥P-Z8co的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线8E与P/所成角的余

弦值为.

旦

【答案】3

【分析】连接ZC交8。于。点，连接OE,则〃4，所以就是异面直线BE与尸/所成

的角，在直角三角形EO8中求解即可.

【详解】如下图：

B

连接NC交8。于。点，连接则OE〃尸儿所以N°EB就是异面直线BE与尸/所成的角，连

接尸。，因为尸°1面/BCO,所以尸。，。8,又因为ZC1O8,ACLPO=O,所以面

OE=-,BE=—a

POC,所以所以直在角三角形E08中，设4=。，则22,

/cmOE也

cos/OEB==——

BE3

73

故答案为：3.

11.若一个三棱锥中，有一条棱长为。，其余棱长均为1,则其体积％"）取得最大值时。的值为

76

【答案】2

【分析】方法一由题意画出图，根据图由三棱锥的体积公式换元由二次函数求得最值时。的值.

方法二由三棱锥的体积可知，底面积一定，要使体积最大，只需高最大，即可得出垂直时最大，再

由勾股定理即可求出。的值.

【详解】方法一：

由题意画出棱锥的图形，AB=BC=CD=BD=AC=l,AD=a.

取5C、的中点分别为E、F,所以平面/加垂直5C,

S-ED=；4D.EF£尸=J（曰＞

令/=/,y=3/-/=3-2,关于/的二次函数，

_3~~a~~

当'=5,即a"-彳时，体积尸（幻取得最大值，故”了.

方法二：由题意画出棱锥的图形，4B=BC=CD=BD=AC=1,AD^a.

A

C

要使三棱锥力-88的体积最大，只需点A到底面的距离最大，此时面Z8C，面8CO,取8c的

中点分别为E,连接“区£。

片+仍=倬2图邛

3L+（逅

即2

V6

故答案为：2

12.在棱长为3的正方体/8C。-中，瓦F分别是棱8C、CG的中点，点G在四边形

8CG4内运动（含边界），若直线4G与平面/跖无交点，则线段CG的取值范围是

9y/23后

【答案】L」

【分析】作出辅助线，证明平面4尸2〃平面/EF,故点G在线段尸2上运动（含端点位置），当

G与。或尸重合时，CG最大，当CG'P。时，CG最小，由勾股定理求出最值，得到取值范围.

【详解】正方体"88-440"的体积为27,所以正方体的棱长为3,

分别取线段4G、布的中点P、。,连接4尸、40、P0,

瓦尸分别是棱8C、C£的中点,

则尸Q//E尸，又P°C平面/EEEFu平面/£7?,

所以PQ//平面4P//4E,

又4尸色平面4EF,AEu平面AEF,所以4。//平面AEF,

又P。n4P=尸，。。，4Pu平面4尸。，

所以平面4P°〃平面NEF,故点G在线段2°上运动（含端点位置）,

当G与。或p重合时，CG最大，

CG=CQ=ylQB2+BC2=Y+32=

此时队212,

.CG=-CS,=-X>/32+32=—

当CrrGJ.尸p。n时，CG最小，此时444,

-9723瓜

所以CG的取值范围为L42

9723店

故答案为：L」

二、单选题

13.下列命题中，正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.垂直于同一直线的两条直线平行

C.若直线/与平面&上的无数条直线都垂直，则,‘a

D.若〃、b、c是三条直线，。〃。且与。都相交，则直线八6、c在同一平面上

【答案】D

【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.

【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；

B.由墙角模型，显然B错误；

C.根据线面垂直的判定定理，若直线/与平面夕内的两条相交直线垂直，则直线/与平面。垂直，若

直线,与平面a内的无数条平行直线垂直，则直线/与平面a不一定垂直，故C错误；

D.因为a/",所以。、人确定唯一一个平面，又。与。、人都相交，故直线。、bc共面，故D正确；

故选：D.

14.在正方体"8CO-48G2中，下列四个结论中错误的是（）

A.直线8c与直线ZC所成的角为60°B.直线8c与平面"AC所成的角为60°

C.直线8C与直线,4所成的角为90°D.直线8c与直线N8所成的角为90°

【答案】B

【解析】连接“用，求出/4°鸟可判断选项人；连接8a找出点用在平面/。。上的投影0,设直线

cOC

cos0=---

8c与平面“AC所成的角为仇由耳C可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的

异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解.

【详解】连接为等边三角形，...4C4=60。，即直线8。与4c所成的角为60。，故选

项A正确；

连接BQ,阳=8c=CD1=AD,，，四面体是正四面体，

OC=—

二点用在平面上的投影为A'RC的中心，设为点o,连接4°,OC,则3

设直线B'c与平面gc所成的角为仇

AOC3风包1

则B（gBC32）故选项B错误;

连接8G,...四||g,且8clg,...直线AC与物所成的角为go。，故选项c正确;

•.•力81平面8。。£,..."8_18（,即直线8。与所成的角为90。，故选项D正确.

故选：B.

15.已知函数/（x）="sin（5+*）（/>0，0>°）的图象与直线、="°<6<力）的三个相邻交点的横

坐标分别是1,2,4,下列区间是函数/G）的增区间的是（）

A.[四3C.[3,6]

B.rD.

【答案】D

/（x）=-Acos—x

【分析】首先根据已知条件得到3,再求其单调增区间即可.

r=—=4-1=3<y=—

【详解】由题知函数的周期④，解得3

1+23

x=-----=—

由°<6<Z知，当22时，函数取得最大值,

2万3…万川冗

——x—+0=2k兀+—(D-2k兀

.•.322,解得2,kwZ

乃71八，、,24

一+244=-Acos——x

23

2k兀<—x<2k冗+肛左EZ3k<x<3k+—

令3，解得2,keZ,

...当％=1时，/（X）的增区间是一

故选：D

16.定义域在［出可的函数，=/（"）图像的两个端点为4、B,向量°"='04+（1-'）°8,设

"（XJ）是“X）图像上任意一点，其中x=M+（l-沙，设［0,1］若不等式眼M•恒成立，则

称函数/（X）在［“'1上满足V范围线性近似“，其中最小的正实数人称为该函数的线性近似阈值.下

列定义在口，2］匕的函数中，线性近似阈值最小的是（）

21.4

y=—_2y=x—y=sin——x

A.XB.y~xC.XD.3

【答案】C

【分析】由题意可得点M，N的横坐标相等，点N在线段48上，然后可得=然后

每个选项逐一求解即可.

【详解】由题意可得点M，N的横坐标相等，点N在线段"8上，所以1历训=比”一凹3

_2

对于A,因为'一嚏，所以“（L2），BQ/），直线N8的方程为N=r+3

所以N（X，-X+3）,因为"NJ,

\MN\=^\yM-yN\=-x+3--=3-x--<3-272「

所以XX，当且仅当》=夜时等号成立

所以％23-2及，所以该函数的线性近似阈值为3-20；

对于B,因为V=x,所以'（1,1）,8（2,4）,直线48的方程为y=3x-2

所以N（X,3X-2）,因为M（X，X）

所以叱山一酢"2-小;当且仅当'号时等号成立

kJ1

所以4,所以该函数的线性近似阈值为4；

13

y=X---B（2一）

对于C,由函数X,得/（1，0）,'2,

y——（x—1）

•••直线”8方程为2

1Q

<--72--42

2，线性近似阀值为5

.718唔,”方程为尸生

y=sin—x

对于D,由函数3可得

|W|<1--1--

由三角函数图象与性质可知2,线性近似阀值为2,

->3-272>1-->--V2y=x--

因为422所以线性近似阀值最小的是x

故选：C

三、解答题

ZBAC=-

17.如图，直三棱柱4BG中，AB=AC=\,~2,44=4,点M为线段44的中

点.

(1)求三棱锥4-38。的体积；

(2)求异面直线8M与4G所成角的大小.

V=-

【答案】(1)3

V10

arccos-----

⑵1°

V――SABC-AA,

【分析】(1)根据3求解.

(2)NMBC或其补角即为异面直线BM与B£所成的角，根据余弦定理

八,“BM2+BC2-CM2710

cosZ,MBC-------------------------=------

2BMBC10求解.

ZBAC=-S=lxlxl=l

【详解】⑴因为-C=l,2,所以皿22,

又因为直三棱柱/8C-4AG中，所以平面/8C

即4"是三棱锥同一"8C的高，

则三棱锥4-"8C的体积为展3乂血”4=3X5X4=§

(2)因为BC//4G,所以NM8C或其补角即为异面直线身/与所成的角,

在4MBC中，BM=CM=V5,BC=V2,

cosNMBC=BM〜BC2-CM：叵

由余弦定理得，2BMBC10

ZA/5C=arccos—

所以io

V10

arccos-----

故异面直线BM与qG所成角的大小为10.

18.已知两条直线4：加'+了=加+1,/2：x+W=2w,判断两直线的位置关系.

【答案】答案见解析.

【分析】以加2T是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当"?2-1=°时，判

断两直线平行或重合.

【详解】令川-120,解得加*±1,所以当"-±1时，4与12相交；

当机=0时，4与4互相垂直；

令/-1=0,解得机=±1；

当机=1时，4的方程为x+y=2,4的方程为x+y=2,4与4重合；

当,”-1时，4的方程为x-y=o,4的方程为x-v=-2,此时〃〃2；

所以当〃?#±1时，4与72相交，其中机=°时，4与12互相垂直；当机=1时，4与4重合；当

加=_［时，〃〃2.

19.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其

反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的

球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为厂，球冠的高为九球冠底面圆周长为C

(1)求球冠所在球的半径R(结果用h、r表示)；

r

(2)已知球冠表面积公式为$=2万血，当S=6500(U,C=500万时，求元的值及球冠所在球的表面

积.

【答案】⑴2h

5

(2)B.1690000万

【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得.

(2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R即可计算作答.

【详解】(1)如图，点。是球冠所在球面的球心，点0/是球冠底面圆圆心，点/是球冠底面圆周

上一点，线段0/8是球冠的高，

依题意，08垂直于球冠底面，显然0/8=〃，OOt=R-h,O,A=r,

,,,〃二一+-

2222

在RtZXOO/中，OA-=OOf+OtA1g|j/?=(R-h)+r1整理化简得：-2h,

区;心

所以球冠所在球的半径/?有：2h.

r--^―=250

(2)因球冠底面圆周长C=500T,则2乃，

,S32500„h2+r

h=----=------R=-----

又球冠表面积公式为S=27的，且S=6500(hr,则InRR,由⑴知2h

3250()2

65000=+2502

即R2解得R=650,

r_250_5

于是得??-650-13,球0的表面积为4万丈=4tx6502=1690000万,

r_$

所以下的值是否，球冠所在球的表面积是1690000》.

20.如图，在四棱锥尸UZ8CQ中，底面是矩形，且NO=2,AB=-PA=\,平面

ABCD,E,尸分别是线段48,8c的中点.

(3)求直线PE与平面PFD所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

7+2及+逐

(2)

,而

arcsin----

⑶10

【分析】（1）利用勾股定理证得。尸，“尸，再由线面垂直证得。尸，尸力，由此证得得。尸工平面

PAF,进一步得到尸尸，£0；

（2）利用线面垂直的性质证得尸8,8C,PDLCD,PALAB,PA^ADt从而分别求出各面面积,

由此得到四棱锥P/8CD的表面积；

（3）连接EP、ED.EF,由等体积法求点E到平面PFD的距离，即可求直线PE与平面PFD所

成角的正弦值，则所求得解.

【详解】（1）连结NF,

则在RM/3尸中，AF=y/AB2+BF2=VI,同理：血，又AD=2,

.■.DF'+AF^AD2,则DFA.AF,

PAIjg®ABCD,DFu面4BCD,；.DFLPA,

又P4fUF=40平面p/尸，...OF工平面尸4R

而尸尸u平面尸/尸，则P尸，尸。；

(2)已知尸4,底面Z8CD,所以P/L8C,

因为在矩形Z8C。中，AB1BC,

又PAc4B=A,PA,ABu面pJ4B,所以3cl面P/8,

又PBu面P4B,所以尸8L8C,

同理：PD工CD,又P4工4B,P4L4D,

S^PA/i=-PA-AB=-SPAD--PA-AD=1cADDr,o

因此22,2,SMCD=AB.BC=2,

22

S.PBC='PB-BC=LyjPA?+AB?衣=6Spnc=-PDCD=~ylPA+AD-CD=—

c22DC222

S」+l+2+0+―=7+2夜+石

二四棱锥PUZ8CZ)的表面积222

(3)连接E尸、ED、EF,

21113

vSQEFD=SABCD-S.BEF-S&ADE-^CDF=4224,

131

V1cP.1

=§S曲.尸/_§*4>1=彳

M~fzr-PE=-JPA2+AE2=—

yPF=vPB~+BF~=V3；DF=五，2

设点E到平面PFD的距离为人则由VEPFD=VPEFD,

15

h=-x-PFFDh=h=

得3皿3264,解得

.八h国

设直线PE与平面PFD所成角的大小为0,则PE10,

,730

arcsin----

则直线尸E与平面P/吟所成角的大小为10.

21.已知函数/（X）的定义域为@21，且〃x）的图像连续不间断，若函数"X）满足：对于给定的实数

m且0<加<2,存在与€[0,2_叫使得/[）=/@+叫则称/（X）具有性质尸（M.

（1）已知函数/（劝=^^方,判断