2021-2022学年陕西省榆林市高二年级上册学期期末数学（理）试题含答案

2021-2022学年陕西省榆林市高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1.已知复数z满足（l-i）z=3-i（i为虚数单位），贝心的虚部为（）

A.1B.iC.-2D.-2i

【答案】A

【分析】根据复数得除法运算求出复数z,再根据虚部的定义即可得出答案.

“3-i（3-i）（l+i）=4+2iyT

［详解］解：由（lT"=3_i,得z_一一2一一三一一,,

所以虚部为1.

故选：A.

2.已知函数,（X）在》=1处的导数为6,贝武一。3Ar一（）

2

A.1B.2C.3D.6

【答案】B

lim/o^）-.＜（!）/，3=.及回*

【分析】先对3Ar进行化简变形，转化成导数的定义式小一°Ar

即可解得.

【详解】•・•/G）在x=l处的导数为6,

»'。)==6

WUlim/0±^h£0)=ir(1)=lx6=2

则—3Ax3-Ax33

故选：B

3.若两个不同平面％夕的法向量分别为"=°2-1），V=（-3,-6,3）,则（）

A.a〃£B.a'Bc.凡夕相交但不垂直D.以上均不正确

【答案】A

【分析】根据法向量”（12T）#=（-3，-6,3）,可得）=_3£,可得法向量3和工平行即可得解.

【详解】由；=-3",

所以法向量^和z平行,

所以平面a和产平行,

故选：A.

11

4.甲、乙两人下象棋，两人下成和棋的概率是2,甲获胜的概率是4,则甲输的概率为()

1!3Z

A.4B.3C.4D.8

【答案】A

【分析】记“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件8,则48互斥，则甲不输即为事件，+8,

由互斥事件的概率公式可得：PQ+B)=P(m+P(B),结合条件，即可求得答案.

【详解】记“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件8,则48互斥,

P⑷=：,P(B)=；

则24

113

P(A-bB)=P(A)+P(B)=-+-=-

则甲不输即为事件力+6,由互斥事件的概率公式可得，244

31

1-P(A+B)=1一一=-

则甲输的概率是44

故选：A

5.下列求导运算正确的是()

[x[_Inx+1,

A\lnxJ(Inx)2B(x?+e*)=2x-e，

Q(xcosx)r=-sinxD6"一)=2xcos厂

【答案】D

【分析】根据常见函数的导数公式，结合导数的运算法则，分别进行判断即可.

I1

【详解】因为U(Inx，(lnx)2,所以A错误：

因为(x2+e')=2x+e、，所以B错误;

因为(xcosx)'=cosx+x(-sinx),所以c错误;

因为(sin-)'=2x3?,所以口正确

故选：D

6.己知三棱锥。-/8C中，点M、N分别为/8、℃的中点，且/＜，OB=b,OC=c,则

MN=()

o

J

B

++5+0B+9^-（c-a-h

A.2B.2C.2D.2

【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算可得出而关于也的表达式.

OM=OA+AM=OA+-AB=OA+-（dB-OA'}=-（OA+OB}

【详解】22、1<

MN=ON-OM=-OC--（OA+OB^-Cc-a-b}

所以，2J2、）.

故选：D.

7.若函数了=/6）的导函数y=/'G）的图象如图所示，则（）

A.-3是函数V=/（x）的极小值点B.-1是函数V=/（x）的极小值点

C.-2是函数y=/（x）的极大值点D.1是函数y=/（x）的极大值点

【答案】A

【分析】根据给定的函数图象，确定导数为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.

【详解】观察导函数，=/'G）的图象知，当x<-3时，/'（x）<°,当x>-3时，/'（xR°,当且仅

当x=-l时取等号，

因此函数'在（-°°，―3）上单调递减，在（T+8）上单调递增，

于是得一3是函数歹=/々）的唯一极值点，且是极小值点，A正确，B,C,D都不正确.

故选：A

8.农村电子商务是通过网络平台嫁接各种服务于农村的资源，拓展农村信息服务业务、服务领域,

使之兼而成为遍布县、镇、村的三农信息服务站.作为农村电子商务平台的实体终端直接扎根于农

村服务于三农，真正使三农服务落地，使农民成为平台的最大受益者.某镇信息服务站统计了该镇

电商2020年1至12月份的月利润，得到如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论中错误的是

()

A.月利润最小的月份为10月

B.相对于上个月，月利润增幅最大的月份为11月（起始月份的增幅记为0）

C.月利润的中位数为2月和9月月利润的平均数

D.1至6月份的月利润相对于7至12月份波动性更小

【答案】C

【分析】根据题意结合折线图以此判断各项即可.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：由上图可知利润最小的月份为10月，故A正确；

对于选项B：从10月到11月连线的斜率最大，即月利润增幅最大的是11月，故B正确;

对于选项C：月利润的中位数为3月和9月的月利润的平均值，故C错误；

对于选项D：1-6月的月相对于7-12月比较集中，即波动性更小，D正确；

故选：C

9.若「是非零向量，则"a$=a・c”是/=”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及数量积的定义即可得出答案.

【详解】由【5=7）可得eG-cN。，

设端广的夹角为6,可得砰-*斓=。

因为£是非零向量,所以g=c或。与石二的夹角2,

所以由=得不出5=c,

若除贝/GA即。，W

所以由1=1可推出

所以15=7"是坂="的必要不充分条件，

故选：B.

X2V2

C：—H-=1（<7>/）>0）,4A4

10.已知椭圆ab2的左，右顶点分别为4,4,且以线段44为直径的圆与直线

以+如-2"=°相切，则椭圆c的离心率为（）

也正逅J.

A.2B.3c.3D.3

【答案】C

【分析】由题意可得以线段44为直径的圆的方程为/+/=/，利用该圆与直线

"+"-2"=°相切，可得。，6的关系，即可求得椭圆离心率.

【详解】由题意知4（-凡°），49，0）,

以线段44为直径的圆x2+V=/与直线ax+勿-2仍=0相切，

\2ab\

2

故+（一。）一,化为：a2=3b,

e，=g=逅

所以椭圆c的离心率。V/丫33,

故选：C.

11.某单位做了一项统计，了解办公楼日用电量y（度）与当天平均气温X（。。之间的关系，随机统

计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了如下对照表：

日平均气温X（°C）181310-1

日用电量y（度）24343864

由表中数据得到线性回归方程方=-2X+G,则当日平均气温为-3久时，预测日用电量为（）

A.64度B.66度C.68度D.70度

【答案】B

【分析】根据样本中心满足回归方程3=-2x+&即可解决.

-18+13+10-1s-24+34+38+64

x=------------=10y=--------------=40

【详解】由表中数据可知4,'4,

所以回归方程3=_2*+6过(10,40),得40=-2xl0+&,即1=60,

贝U回归方程为V=-2x+60,

当x=-3时，>=-2x(-3)+60=66,

故选：B

—f(x)+fYx)>0f(2)=-/(x)>—r=

12.已知定义在R上的函数满足2且有'e,则的解集为

()

f-OO.11化+8]

A.I2)B.12JC.9⑵D,(2,+00)

【答案】D

X

【分析】构造函数g(x)=e2/(x),求导后确定其单调性，原不等式转化为关于g(x)的不等式，再

利用单调性得解集.

11i

【详解】设g(zxx)=e72r/((x\),则g&'(X)=—2e2/'(X)+//(X),

因为5"*)+/")>°,所以g'(x)>。，所以g(x)是R上的增函数，

g(2)=e/-(2)=l；不等式”“)>即为//(均>1,即g(x)>g⑵，

所以x>2,

故选：D.

二、填空题

2

X2

—+y=1

13.若椭圆16'上一点P到一个焦点的距离为2,则点尸到另一个焦点的距离为

【答案】6

【分析】由椭圆方程求得。，再由已知结合椭圆定义求解.

L2=1

【详解】由椭圆16',得/=16,即”4,

由题意不妨设户国=2,由椭圆定义可知，

\PFt\+\PF2\=2a=^即俨用=8-|尸用=8-2=6

所以点尸到另一个焦点的距离为6.

故答案为：6

14.在区间卜3,3]上随机取一个实数x,则x>l的概率为.

【答案】3

【分析】满足》>1的区间长度与总区间长度之比，即为所求的概率.

【详解】由题意可得，总区间长度为6,满足的区间长度为2,故所求的概率为

故答案为：3

、

15.已知命题P：VxeR且xxM(aeZ),silslv吗+J+赤_>一2：命题夕：玉0eR,x：+x0+1<0,则下

列命题中，所有真命题的序号是.

①PV(F)；②Pf③JOf④(▼)人S).

【答案】①④

【分析】先分析命题。和命题q的真假性，然后再结合复合命题的真假关系即可求解

1

(17、sinx4----<0A

【详解】对于命题P：X*加(kwZ),则sinxHO,当sinx<0时，siar,即命题P是假命

题；

2,,1、23、3

_X+X+1=(XH--)H--N—D21„

对于命题以244,不存在/cR,使x°+x°+l<0,即命题0也是假命题；

由复合命题的真假关系得：

①Pv([4),p假，”真，.pv(w)为真命题，

②pvg,。假，4假，二是假命题，

③(⑹人。，/真，q假,.•.(r0Aq为假命题，

④(M)A(F),F真,F真，.•.口)人J)为真命题，

故答案为：①④

三、双空题

16.已知双曲线的一条渐近线方程为、=2x,则双曲线的方程可以为(写出一个正确答

案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为.

—~x2=1在

【答案】42

【分析】由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为丁=2》，

——x2=k［kw0）——%2=1

所以双曲线的方程为4,故可取4,

此时。2=46=1,c2=a2+b2=5

所以离心率八卜氐坐

2

故答案为.y彳-*2=1造

,2

四、解答题

17.已知函数/（*）=3«-2>,

（1）求函数/（"）的导函数/'（x）；

（2）求曲线卜=/a）在点（°，/（°））处的切线方程.

［答案］（1）/"）=3（/+4/-2》、

（2）6x+y+6=0

【分析】（1）根据求导法则，可得答案；

⑵求出函数在9/（°））处的导数值和函数值，根据导数的几何意义，即可求得答案.

【详解】（1）因为/（x）=3G'-2）e'

9

所以/'（x）=3（X，-2）'e，+3（x4-2）（et）'

=12xV+3（r4-2）e'

=3（r4+4x3-2）e'

（2）由⑴知/'（°）=-6,又/（0）=-6,

曲线）-）（X）在点（°'/（°））处的切线方程为夕+6=-6%,即6x+y+6=0

18-在某市的科技创新大赛活动中一°位评委分别对甲学校的作品“乒兵球简易发球器，，和乙学校的

作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图.

甲学校乙学校

825603

5777559

348172

13291

(1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数；

(2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？

【答案】(1)甲学校作品得分的中位数为80,乙学校作品得分的中位数为78；

(2)甲学校作品得分的平均数为79,乙学校作品得分的平均数为77,甲学校的作品更受评委的欢迎.

【分析】(1)根据茎叶图求得甲乙两所学校作品的得分，并按照从小到大进行排序，再求中位数即

可；

(2)根据(1)中所得数据，直接求平均数，再从中位数和平均数的角度，即可判断.

【详解】(1)甲学校作品的得分由小到大排列为：62,65,68,75,77,83,84,91,92,93,

-(77+83)=80

所以甲学校作品得分的中位数为2、；

乙学校作品的得分由小到大排列为：60,63,75,75,77,79,81,82,87,91,

-(77+79)=78

所以乙学校作品得分的中位数为2、.

—(62+65+68+75+77+83+84+91+92+93)=79

(2)甲学校作品得分的平均数为1。；

—(60+63+75+75+77+79+81+82+87+91)=77

乙学校作品得分的平均数为10.

甲学校作品得分的中位数和平均数都大于乙学校作品得分的中位数和平均数，

所以甲学校的作品更受评委的欢迎.

19.为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞

赛活动，现把50名学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.

⑴求图中”的值:

(2)用分层抽样的方法从成绩在18°，9°),190,100］这两组的学生中抽取5人进行培训，再从这5人中

随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同组的概率.

【答案】⑴。=°・020

3

(2)5

【分析】(1)由概率之和为1即小长方形的面积之和等于1可求得图中。的值.

(2)首先利用分层抽样确定在RO，％),BO,100］这两组的学生中各抽到的学生人数，再计算出基

本事件的个数及2人来自不同组的可能情况，即可求出相应概率.

【详解】⑴由频率分布直方图得(S°°4+0Q06+a+0.030+0.024+0.016)xl0=l,

解得a=0.020.

(2)易知用分层抽样方法在小组内抽取3人，记为。、bc,在190，100］小组内抽取2人，

记为E,

从这5人中随机抽取2人，基本事件有曲，ac,aD,aE,be,bD,bE,cD,cE,DE,共

10个,

这2人来自不同组的基本事件有“0,aE,bD,bE,cD,cE,共6个，

p__6_3

,这2人来自不同组的概率一10一》.

20.已知抛物线C：/=2py(P>0)的焦点为F(°?)

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若过焦点厂的直线/交抛物线C于48两点，且|/邳=10,求直线/的方程.

【答案】⑴/=力

y=±—x+2

⑵.2

【分析】(1)根据抛物线的几何性质求出?，代入抛物线方程即可得解；

(2)设直线/的方程为歹=丘+2,"a,凹),8(々,%)，将>=丘+2代入x?=8y中，根据韦达定理得

到玉+%,必+为，结合抛物线的弦长公式求出木，即可得解.

【详解】(1)••・抛物线C：x、2勿(p>0)的焦点为尸(0,2),

.£=2

2,得P=%

抛物线C的标准方程为X?=匕

（2）显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为k"+2,”（占,必）,8仁%）,

将y=米+2代入x?=8y中，得V—8Ax—16=0,A=64/+64>0,

所以玉+*2=84，M+必=人（玉+%2）+4=8左2+4,

由|/却=必+%+4=10,得8公+8=10,

1

=土-

Am得2

y=±-x+2

，直线/的方程为:2

21.如图，AD//BC且AD=2BC,ADLCD9EG//AD且EG=AD,CD//FG旦CD=2FG,

DG,平面/BCD,DA=DC=DG=2,“为CE的中点，N为EG的中点.请用空间向量的知识解

答下列问题:

（1）求证：MN//平面C0E：

（2）求二面角O-CE-8的正弦直

【答案】（1）证明见解析：

.

(2)2.

【分析】（1）由题可知力。，DC,DG两两垂直，以。为原点，DA,DC,OG分别为x轴，

V轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，运用空间向量法解决线面平行即可；（2）运用空间

向量法解决二面角即可；

【详解】（1）因为OG_L平面/8CO,

所以力。，DC,OG两两垂直.

以。为原点，DA,DC,OG分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以可得。（°，°，°）,80,2,0）,C（0,2,0）£（2,0,2）＞尸（0,1,2）G（0,0,2）

所以反=(0,2,0),DE=(2,0,2)而=(-1,0,0),BE=(1,-2,2).

因为M为6的中点，N为EG的中点,

所以川，八1，。，2）

设平面COE的法向量为加=（不必,％）,

m-DC=0J2必=0

则［和DE=0,即［2X|+2Z|=0,不妨令4=-1,可得而=(1,0,-1)

所以MN•"7=1+0—1=0,

所以AWw.

又平面。E,

所以MN//平面CDE

（2）由（1）得，

设平面BCE的法向量为〃=（x/，z）,

nBC=0]-x=0

则1万BE=0,即jx-2y+2z=0,不妨令z=i,可得"=（°，1』）

由（1）知，平面COE的一个法向量为用=。，0，-1）.

cos(/w-,-?-?\)=jm—1n|-|=—1

2sin(/n,n\=

所以UH于是'/2

所以二面角O-CE-8的正弦值为2.

/(x)=alnx——9a00

22.已知函数.x.

⑴讨论/⑶的单调性;

(2)若函数“X)有两个不同的零点，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)y,-e)

【分析】(1)求出函数的导数，讨论。>