2021-2022学年广东省佛山市南海区高二年级下册学期期中数学试题及答案

2021-2022学年广东省佛山市南海区高二下学期期中数学试

题

一、单选题

1.f(x)=x3-8x,则lim，(2+&)-A2)=()

.TOAx

A.—4B.—8C.4D.8

【答案】c

【分析】根据导数的定义，得到lim当土竽二改=/(2),然后计算即可求解.

Ar->0N

【详解］/'⑵=lim/(2+Ax)-/•⑵=Hm(2+4上8(2+&)二(8-16)二

Ar->0AxAITOAX

..8+4A¥+8Ax+4Ax2+2Ax2+Ax3-8-8Ax..4Ax+6Ax2+Ax3

hm------------------------------------=lim---------------

A—oAx-Ax

=lim(4+6Ar+Ax2)=4

Ax->0

故选：c

2.教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为()

A.6B.23C.42D.43

【答案】B

【分析】根据分步计数法进行计算.

【详解】解：由题意得可知:

由一层走到二层有两种选择，由二层走到三层有两种选择，由三层走到四层有两种选择,

根据分步计数法的原则可知共有23种走法.

故选：B

2

3.已知双曲线C:/」的一条渐近线过圆尸：(X-2>+(y+4)2=l的圆心,则C的

离心率为()

A.6

C.y/5D.3

2

【答案】C

【分析】求出圆心坐标，代入渐近线方程求出匕，然后求解双曲线的离心率.

【详解】解：圆尸心-2)2+(〉+4)2=1的圆心(2,-4),

2

双曲线C:/-七=1的渐近线为：y=±6x,

双曲线C:x2_[=l的一条渐近线过圆P：(x-2>+(y+4)2=l的圆心,

可得2Z?=4,所以力=2,。=1,则°=“2+/=百,

则C的离心率e=£=逐.

a

故选：C.

4.函数y=/(x)的导函数y=1T(尤)的图象如图所示，则函数y=/(x)的图象可能是

【答案】D

【详解】原函数先减再增，再减再增，且x=0位于增区间内，因此选D.

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点

为七,且图象在飞两侧附近连续分布于*轴上下方，则.%为原函数单调性的拐点，运用

导数知识来讨论函数单调性时，由导函数尸(x)的正负，得出原函数f(x)的单调区间.

5.设数列｛叫的前”项和为S“，且4=2M+.=2"(“WM),则席=()

1313|44

K2-402+2-2-4c2'+2

A•---------------B.-----C.-----L).-----

3333

【答案】D

【分析】由4+“向=2”并项求和结合等比数列求和即可得解

2412

【详解】由题儿二q+(%+4)++(a12+al3)=2+2+2++2

_£0Z£)2|4+2

2~+1-43

故选D

【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题

6.设/(X)是R上的可导函数，且满足了'(x)>/(x),对任意的正实数下列不等式恒

成立的是

A./(a)<</(0)；B.f(a)>ellf(O)-

C“⑷<叫“

ee

【答案】B

【分析】根据条件构造函数尸(x)=华，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到

e

结论.

【详解】解：设尸口片勺土

则尸。)二八神,一八神、=八')-小),

[e]e"

f'(x)>f(x),

••.F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.

任意正实数4，满足4>0,

:.F(a)>尸(0),

印华>华，

ee

/(«)>eV(O)

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键.

7.若函数/(x)=e*—(a—l)lnx+2在区间(0,1)上不单调，则实数。的取值范围为()

A.[l,e+1]B.

C.(-oo,l]u[e+l,+co)D.(-oo,l)vj(e+l,+oo)

【答案】B

【分析】对f(x)求导并将问题转化为y=xe、-a+l在(0,1)上存在变号零点，再应用导数

研究)'的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围.

【详解】由题设，f\x)=e-^-=xe~a+｛,又f(x)在(0,1)上不单调，

XX

所以y=xe*-a+1在(0,1)上存在变号零点，而y'=(x+l)e'>0,

则》在(0,1)上递增，只需(1-4)(e+1—a)<0,B|J1<a<e+1.

故选:B

8.对于一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)=[x]称为高斯函数或取

整函数.若4〃eN*,S"为数列｛4｝的前〃项和，则530=()

31

B.-n2H—n

22

C.3n2-2n

【答案】A

【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.

【详解】解：由题意，当〃=3&,”=3人+1,〃=3&+2（%eN+）时，均有

故可知:

1+5-1）

x（〃一l）+"

故选：A

二、多选题

9.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）

A.从中任选1个球，有15种不同的选法

B.若每种颜色选出1个球，有'120种不同的选法

C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

【答案】ABD

【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种

不同的选法，所以选项C错误.

【详解】解：A.从中任选1个球，有4+5+6=15种不同的选法，所以该选项正确；

B.若每种颜色选出1个球，有4x5x6=120种不同的选法，所以该选项正确；

C.若要选出不同颜色的2个球，有4x5+5x6+4x6=74种不同的选法，所以该选项错误;

D.若要不放回地依次选出2个球，有15x14=210种不同的选法，所以该选项正确.

故选：ABD

10.已知数列｛《,｝的通项公式为%=掾％,若数列｛%｝是递减数列，则实数A不能取

的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】AB

【分析1根据数列单调性的性质可知4用-%=二券匕<0,然后可得％>3-3〃，根据

不等式恒成立的条件可知k得取值范围.

【详解】解：由题意得：

数列｛4｝是递减数列

＜。对于一切的〃eN+恒成立

3(〃+1)+23/?4~k3—372—k,__,,，一八、.

即4+1-4,-^―7-------=]—＜。对于一切的〃£NKT.怛成立

故女＞3-3〃对于一切的“eN3恒成立，当”=1时,3-3n有最大值0

故女＞0,所以&€（0,水»）

故选：AB

11.下列命题中正确的是（）

A.在等比数列｛4｝中，4%=4=4,则%=±8

B.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,且兀=10,$20=40,则$3。=9。

C.已知数列｛4｝满足4=15,a+「a“=2〃（〃€N*）,则?的最小值为日

D.已知数列｛4｝满足可=3",且《=1,则数列｛《,｝前9项的和$9=241

【答案】BCD

【分析】对于A,根据44=4=4,求得公比，即可判断；

对于B,利用等差数列前”项和的性质即可判断；

对于C,利用累加法求出数列｛4｝的通项公式，从而可判断：

对于D,根据递推公式求出。2，%，，的，即可判断.

【详解】解：对于A,设公比为4，

因为4%=%=4,所以,

所以q=q,

故q=d=4,所以d=2,

所以6=4•d=8,故A错误；

对于B,已知等差数列｛q｝的前〃项和为5“,

则S10,S20-SIO,S3O-S2O成等差数列，

所以2(02()—$]())=Si。+Sm—,

即60=10+&。-40,解得$3。=90,故B正确；

对于C由4+1一°“=2”(”wN*),

当“22时，得/-“I=2,

为，=4,

/一为=6,

an~an-\=2(rt-l),

累加得4,-4=2+4+6++2(〃-1)="("-1),

所以a“=*-”+15,

则%=〃+”_1,

nn

当〃=3时，—=7,当〃=4时，—,

nn4

根据双钩函数得性质可知，当〃=4时，旦取得最小值为三，故C正确；

n4

对于D,因为为q+i=3〃，且4=1,

贝|]/=3,=3,a4=9,%=9,4=27,%=27,a8=81,tzQ=81,

所以Sg=l+3+3+9+9+27+27+81+81=241,故D正确.

故选：BCD.

12.已知函数〃尤)=d+x,实数加，〃满足不等式〃2加—3")+“〃-2)>0,则()

-n/?+1

A.w>enB.—>------

em771+1

C.ln(/n-n)>0D.w2021<n2021

【答案】AC

【分析】先判断函数的奇偶性及单调性结合不等式/(2加-3〃)+/(〃-2)>0可得

九〃所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和基函数的单调性以及特殊值法逐项

判断

[详解]因为/(-X)=(-司3+(-x)=-^x3+x]=-f(x),

所以“X)为奇函数，

因为/'(6=3/+1>0,

所以〃X)R上单调递增，

由/(2加—3〃)+/(〃—2)>0,

得〃2〃?-3")>-/(”-2)=/(2-〃)，

所以2，〃—3〃>2—n,

即机一m>n,

因为y=e"在R上是增函数，所以故A正确；

因为y=lnx在(0,+8)上是增函数，所以ln(m-〃)>0,故C正确；

因为y=Y⑼在R上是增函数，所以"2必>“2021,故D错误；

令,〃=2,〃=0,可验证B错误.

故选：AC

三、填空题

13.过抛物线y?=4x的焦点作直线交抛物线于4为,必),8(々,%)两点，如果用+々=10,

那么|4B|=.

【答案】12

【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再结合抛物线定义计算作答.

【详解】抛物线y2=4x的准线为：x=-\,设抛物线y2=4x的焦点为F,

由抛物线定义得:|隅=|AF|+|B尸|=(%+1)+(%+1)=12,

所以|AB|=12.

故答案为：12

14.函数/(x)=e2,过原点的切线方程是.

【答案】2ex-y=0.

【分析】设切点为(x0,e2&),根据导数的几何意义求出函数切点为(x0,e2%)的切线方程,

再根据切线过原点求出与,即可得解.

【详解】解：设切点为(题看”>),

rW=2e2',则1(x0)=2e%,

2

故切点为(%,e%)的切线方程为y-e^=Ze?"(x-x0),

又因此切线过原点，

2x2x

mW-e»=-2x0e»,解得/=；,

所以函数/。)=62，过原点的切线方程是k6=26，-£),

即2ex—y=0.

故答案为：2ex-y=0.

15.设S“为等差数列｛%｝的前"项和，若4=9,费-2=4,则为的值为.

【答案】27

【分析】根据今-今=4求出公差d,又4=9即可求解

yj

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,

因为品=9("；的)=咫，£==5a3

所以今-*=。5-%=2d=4

所以d=2,又4=9

a[0=4+9x。=9+9x2=27

故答案为：27

四、双空题

16.中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、

健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的

盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩

形，其外周长为12cm.则当圆柱的底面半径r=时，该容器的容积最大，最

大值为.

【分析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为〃，根据已知条件可得出力=6-等r,

根据柱体的体积公式可得V=6%-+”利用导数可求得丫的最大值及其对应

2

的厂的值，即为所求.

【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为近

则由题意可得乃r+2〃+2r=12,所以〃=巴生初=6-"r.

22

12

由人。，得f

故容器的容积V=1//?=乃/(6-三二'=6万/-£(”0/(0</.<^^

容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.

『=12万一瞥到巴令联。，解得「=。(舍)或-去

显然当re(0,时，V'>0,函数y=6万/一必⑴，单调递增;

I7T+2J2

当时，V'<o,函数V=6R2单调递减

\7l-\-22+TTJ2

Q

所以当r=.cm时'V取得最大值,

..../2+万8-128乃

此时〃=6------x----=2cm,V=7Tx2=cm'

2万+2TC+2)S+2)2

8128万3

故答案为：'em；--rem.

TT+2(乃+2)

五、解答题

17.已知函数〃x)=V+加+&T+C在点尸(1,2)处的切线斜率为4,且在x=-l处取得

极值.

⑴求函数f(x)的解析式；

⑵当了目-公司时，求函数f(x)的最大值.

【答案】(l)/(x)=x3+x2-x+l;

(2)11.

【分析】(1)根据导数的几何意义，结合极值的性质进行求解即可；

(2)根据导数的性质进行求解即可.

/(I)=2,l+a+b+c=2,

【详解】⑴/0)=3/+2or+6,由题意得0=4,即3+24+6=4,

7(-1)=0,[3-2a+6=0,

解得a=\,b=-\,c=l.所以/(x)=x3+x2-x+1,

/(X)=3X2+2X-1,令/'(尤)=0,得x=-l或x=；.

1、

X(-00,-1)-1(§,+8)

3

/,(X)+0——0+

22

/(A)/2/

27

符合题意；

1?2

⑵由(1)可知：/(-1)=0,/(-)=—,而f(2)=ll,f(-2)=-l,

所以/(X)1a=11.

>

18.已知数列｛“"｝中，q=2,a„+1=2a„-»+l(neN).

⑴求生，并证明也-〃｝为等比数列；

⑵求数列｛%｝的前〃项和S“.

【答案】(1)见解析

⑵$,,=殁3+2"-1

【分析】(1)由递推公式化简，根据等比数列的定义证明

(2)由分组求和法求解

【详解】⑴%=2,4-1+1=4,

一(〃+1)=一〃+1—(〃+1)=2(an-n),

4-1=1,故｛4-"｝是首项为1,公比为2的等比数列.

(2)由(1)得a“-〃=2"T,即a“=〃+2"T,

5„=(1+2++/2)+(1+2'++2'i)=.〃('；1)+2"-1

19.已知函数210r.

⑴讨论7U)的单调性；

(2)设函数g(x)=x—2,若存在xw[l,e],使得式©斗(x),求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

2

⑵(卜,e丁+2

【分析】（1）根据实数。的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；

（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.

【详解】⑴

当好0时，/'（力＜0在（0,+°0）上恒成立；

70

当a>0时，令/'(x)>0得x>±；令ra）＜o得0。＜2；

综上：时y（x）在（0,+刃）上单调递减;

4＞0时，危）在I。,；］上单调递减，在（*+℃）上单调递增;

（2）由题意知ax—21IU＜A—2在（0,+刃）上有解

所以8"）四=89）=子，因此有“4袈

所以。的取值范围为：［f，袈

【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.

20.已知正项数列｛4｝的首项％=1,前〃项和S”满足4,二区+病匚何之？）.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵记数列」一的前w项和为1,若对任意的“wN*,不等式47；。恒成立，求

实数a的取值范围.

【答案】⑴%=2〃-1；

⑵或aN2.

【分析】(1)化简数列的递推公式，得病-67=1,进而可求解数列的通项公式;

(2)利用裂项法，求解乙，列出不等式，即求.

【详解】⑴当“22时，q=V^+JS“_1，

•••s“-s,i=£?+6；，即卮-卮=1,又后=1，

所以数列｛四｝是首项为1，公差为1的等差数列，故疯=〃，

又由%=7^+JS“_|=〃+〃-1=2〃-1(/?>2),

当”=1时，q=l也适合,

所以凡=2"-L

一(2"-1)(2“+1)-2(2〃-12〃+])，

7>4二+—++-1—1_L1

“213352〃-12n+l)2(2n+l)2

又；对任意的〃eN*,不等式47；,<a2-a恒成立,,

：.2<cr-a,解得或aN2.

即所求实数。的范围是或“22.

21.如图，已知四边形ABC。为菱形，对角线AC与相交于0,440=60%平面

ADEF)平面BCEF=直线EF,F0A.^WiABCD,BC=CE=DE=2EF=2

(1)求证：EFIIDA；

(2)求二面角A-£F-8的余弦值.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】(1)根据四边形ABC。为菱形，得到AD//BC,利用线面平行的判定定理得到

ADH平面BCEF,然后利用线面平行的性质定理证明.

(2)以0为坐标原点、0A,OB,0F为x,y,z轴建立空间直角坐标系，取CO中点

M,连EM,OM,分别求得平面4DEF一个法向量为机=(x,y,z),平面8C£F一个法向

量为n=(x,y,z),然后由cos<m,n>-—~—求解.

【详解】(1)因为四边形ABC。为菱形，所以AO//BC,

Q4)(Z平面3CEF,8Cu平面3CEF

/.4)〃平面BCEF,

因为平面AOEF平面8CEF=直线",A£>U平面4)防，

所以EF//AD；

(2)因为四边形4?C£>为菱形，所以AC_L3£),

因为O/，平面A8CD,所以以0为坐标原点、OA,OB,OF为x,,z轴建立空间直

角坐标系，

取C。中点连EM,0M,

ZBAD=60°,BC=2:.OA=OC=4i,OB=OD=\,

BC=CD=CE=DE=2;.CDE为正三角形,EM=6

OMHBC,OM=-BC,EF//BC,EF=-BC,

22

EFHOM,EF=OM:.OF//EM,OF=EM,

n।

从而4(6,o,o),8(0,1,0),C(-6,0,0),D(0,-l,0),E(--,--,6)，

22

设平面ADEF一个法向量为m=(x,y,z),

Gx+