微积分一单元模拟答案d3练习题解答

第三章练习题解答

一、填空题

1.

由所确定的函数机动目录上页下页返回结束在点(0,1)处的切线方程为_________________解:将方程两边同时对x求导,由点斜式直线方程,得切线方程为即2.

某商品的需求函数为Q=75-5p,则

解:

(1)将需求函数求导,得机动目录上页下页返回结束,得(1)边际需求_____;

(2)当p=5时的需求弹性为_________(2)由需求弹性定义(3)边际收入函数___________解:机动目录上页下页返回结束

,(a>0)则3.设f(x)为偶函数,在(-a,a)内连续且可导,=_____∵可导的偶函数的导数为奇函数,即4.

设对任意的x,都有

解:机动目录上页下页返回结束由已知等式可知,此函数为奇函数.即则

______因奇函数的导数为偶函数.,且解:机动目录上页下页返回结束

,则5.设_________________解:机动目录上页下页返回结束

确定,则dy______________6.设函数y=y(x)由方程_________________将方程两边取对数,得将等式两边同时对x求导,得将上式去分母、整理,得解:机动目录上页下页返回结束

7.函数函数的改变量为在点处的改变量与微分之差____解:机动目录上页下页返回结束

,则8.设_____________当x>0时,当x<0时,当x=0时,故函数在x=0处不可导.9.设

y=f(x),且解:机动目录上页下页返回结束由已知等式可知即,则dy=______10.求下列微分等式:解:解:机动目录上页下页返回结束________将上式两边同除以,得________将上式两边同乘以,得解:解:机动目录上页下页返回结束_____________∵常数的导数为０_____________将等式两边同除以,得

二、选择题

1.

下列结论正确的是()机动目录上页下页返回结束(A)若f(x)在处可导,解:因为,这与题设矛盾.故(A)正确.g(x)在处不可导,(B)若f(x)、g(x)在处均不可导,则f(x)+g(x)在点处必定不可导.处必定不可导.则f(x)·

g(x)在点(C)若f(x)、g(x)在处均可导,则

在点处必定可导.(D)若f(x)在处可导,g(x)在处不可导,若f(x)+g(x)在点处必定不可导.则f(x)·

g(x)在点处可导,则必定在处可导,A(B)、(C)、(D)均有例子说明它的们不正确.例如:(1)在x=0处均不可导,但f(x)·

g(x)=x,在x=0处可导.机动目录上页下页返回结束(3)f(x)=0在x=0处可导,但(2)在x=0处均可导,在x=0处不可导.在x=0处不可导,但在x=0处可导.

2.

下列结论成立的是()机动目录上页下页返回结束解:(A)(A为常数)(A)若存在,则f(x)在

可导;(C)若f(x)在处可导,(D)若f(x)在处连续,则(D)由连续与可导的关系定理可知(D)错.C故(A)错.即不一定等于但A(B)若存在,则则f(x)在

可微;则

f(x)在处可导.存在,,且不一定存在.若存在,不一定等于但A故(B)错.(B)(C)由可微与可导的关系定理可知(C)正确.3.

设

y=f(x)在a处可导,且解:机动目录上页下页返回结束将原式变形原式,则=()分子为(A)(C)(B)(D)-3.

设

y=f(x)在a处可导,且机动目录上页下页返回结束原式,则=()A分母为(A)(C)(B)(D)分子为机动目录上页下页返回结束B由题意,得(A)等价;(C)低阶;(B)同阶非等价;(D)高阶.4.

设

f(x)可导,且,则当

时,f(x)在处的微分dy与△x

比较是()无穷小.解:(A)(C)(B)(D)个量有下列()关系.解:5.

函数

f(x)在可微,对应自变量改变量有与这三由函数

f(x)在可微定义可知,D正确.机动目录上页下页返回结束BC(A)(C)(D)不是无穷小.(B)是

的同阶或高阶无穷小;

解:(常数)则函数f(x)一定在x处不可导,此与题意不合,故(D)错.那么,∵函数f(x)在x处可微一定在x处可导显然,当时,当

时,相应的有性质()故(A)错.由函数

f(x)在可微定义可知不一定为0,6.

函数

f(x)在可微,故(B)正确.∴当时,应有故(C)正确.若不是无穷小,(不存在)解:令机动目录上页下页返回结束BD7.

若f(u)可导,且,则有()解:由导数定义机动目录上页下页返回结束BC8.“存在”可以理解为()(A)一个比值形式的函数:(B)一个极限形式的函数:(C)一个商数形式的函数:(D)一个商数形式的函数:也可记为解:机动目录上页下页返回结束

在x=0处()9.函数(A)连续;(C)可微;(B)

可导;(D)连续,不可导.ABC故(D)错.故(A)正确.故(B)正确.故(C)正确.解:机动目录上页下页返回结束

()10.函数(A)在点x=0处可导;(C)在点x=1处可导;(B)在点x=0处不可导;(D)在点x=1处不可导.AD故(D)正确.故(A)正确.故(B)错.故(C)错正确.解:1.用导数定义求下列极限:机动目录上页下页返回结束原式令三、计算极限解:原式令解:原式=机动目录上页下页返回结束1令1解:原式=机动目录上页下页返回结束1令1联想到导数的定义解:2.设f(x)在x=a处可导,求极限机动目录上页下页返回结束原式=联想到导数的定义解:原式机动目录上页下页返回结束3.

设存在,求极限···联想到导数的定义解:机动目录上页下页返回结束原式=且联想到凑导数的定义式4.

若f(1)=0,且存在,求.解:机动目录上页下页返回结束令联想到导数的定义当时,5.

设f(0)=1,,求,则另解:.解:原式+机动目录上页下页返回结束6.

设f(0)=1,,求+~四、计算导数或微分:解:机动目录上页下页返回结束1.设,求解:机动目录上页下页返回结束2.求由方程将原式化为所确定的隐函数的一阶导数.将等式两边同时对x求导,得111解:机动目录上页下页返回结束3.设将等式两边同时对x求导,得,求将x=0代入原方程,得即取将

代入上式

,得解:机动目录上页下页返回结束4.已知将等式两边同时对x求导,得,求将上式两边同时对x再求导,得1即即将

代入上式

,得解:将等式两边取对数,得机动目录上页下页返回结束将等式两边同时对x求导,得5.已知,求∴解:机动目录上页下页返回结束6.设函数f(x)可导,,求解:机动目录上页下页返回结束7.已知,求解:机动目录上页下页返回结束8.已知,求解:机动目录上页下页返回结束9.已知,求解:机动目录上页下页返回结束10.求=

1.若五、证明题证明:或有f(1)=1.,求证机动目录上页下页返回结束将等式两边同时对x求导,得当x=1时,上式为即或有证明:机动目录上页下页返回结束2.设∵f(x)在a处的极限存在,,证明f(x)在a处可导.∴f(x)在a处可导,且证明:机动目录上页下页返回结束移项,得3.若f(x)为偶函数,且∵f(x)是偶函数则当令存在,证明因存在,故有证明:机动目录上页下页返回结束4.设在x=0处可导且为定义在整个实数轴上的函数且满足:将关系(1)式代入,得试证明f(x)在内可导并且,由(1)式可得令机动目录上页下页返回结束3.设在x=0处可导且为定义在整个实数轴上的函数且满足:试证明f(x)在内可导并且由的任意性可知证毕1.讨论函数在x=0处的连续性与可导性.解:所以在x=0处函数不可导.又机动目录上页下页返回结束故函数在x=0处的连续.六、讨论题2.已知(x)连续可导,并指出什么时候存在.解:机动目录上页下页返回结束,求∵当时,即时,存在机动目录上页下页返回结束由此可知f(x)在x=a处解:由此可知如果(x)在x=a处连续,则f(x)在x=a处可导.

处是否可导?如果(x)在x=a处有定义,但不连续,又有怎样的结果?如果(x)在x=a处连续,则有

如果(x)在x=a处有定义,但不连续,不一定连续,则f(x)在x=a处不一定可导.

例如,取即若f(x)不连续,若连续,也不一定可导.显然,x=a

为间断点,但有定义.3.

设如果(x)在x=a处连续,问f(x)在x=a则一定不可导.机动目录上页下页返回结束此时则有又取

故知f(x)在x=a处连续,不可导.此时显然,x=a为间断点,但有定义.显然,x=a

为间断点,但有定义.机动目录上页下页返回结束显然,x=a

为f(x)的连续点.

故知f(x)在x=a处可导.此时有七、综合题1.设f(x)在x=1处连续,且解:机动目录上页下页返回结束.证明f(x)在x=1处可导,并求∵

f(x)在x=1处连续∴f(x)在x=1处可导,且2.

设f是对任何实数x,y满足方程

机动目录上页下页返回结束又假设,求解:代入原等式,得(1)令(2)

令(3)2.

设f是对任何实数x,y满足方程

机动