中学数学知识应用和建模的教学模式

中学数学知识应用与建模的教学模式北京十五中唐安华隋丽丽王小丹“教学模式是依据教学思想和教学规律而形成的在教学过程中必须遵循的比较稳固的教学程序及其方法的策略体系”。由于数学应用和数学建模在培养学生创新精神和实践能力方面起着重要的作用，因此中学数学（课内外）教学中增加数学知识应用与数学建模是对传统数学教学的一个重大变革。这一变革必然促进教学方法、教学手段以及教学组织形式的变化，最终将突破传统的教学模式而产生新的教学模式。数学知识应用与建模的课堂教学形式多样、风格特点各异，大体可以划分为五种模式，即：“切入式”、“专题式”、“调查报告式”、“论文研读式”和“微型科究式”。一．数学知识应用与建模教学模式的理论依据1．理论联系实际。数学学科的特征之一是它高度的抽象性，但是数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，这种广泛性被越来越发达的科学技术所证实，同时数学的应用又推动了数学的新的发展。数学学科的这一特征决定了数学学习必须坚持理论联系实际的原则，通过数学教学活动让学生认识到数学来源于实际，数学无处不在，我们所学的数学知识是有用的，许多生产生活中的问题都可以用我们所学的数学知识给予解决。数学理论只有与实际相结合为实践服务才有生命力。而学数学是为了用数学，数学学习只有坚持理论与实际相结合的原则才能真正理解并掌握数学知识。在中学数学知识应用与建模的教学中，要为学生创设一个学数学、用数学的环境。学生通过亲自参与探究、发现、分析、学习、求解、检验这样一个问题解决的全过程，得到学数学用数学的实际体验，不但增强了用所学数学知识来观察、分析身边的事物和现象的数学应用意识，而且受到“理论联系实际”、“实践是检验真理的唯一标准”等马克思主义实践论与认识论的重要观点的教育，因为数学建模的过程实际就是实践—理论—实践的过程，就是从实践中来再回到实践中去的过程。2．建构主义的学习观。建构主义认为知识并非主体对客观实在的简单的被动的反映，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的一个主动的建构过程，也就是说，所有的知识都是建构出来的。在建构过程中，主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用，并且这个认知结构处于不断的发展中。建构主义的学习观进一步指出：(1)知识不能简单地由教师或其他人传授给学生而只能由每个学生依据自己已有的知识和经验主动地加以建构。(2)学习活动是一个“顺应”的过程，是认知框架的不断变革或重组的过程。(3)学生的学习活动是在一个特定的环境——学校里，在教师的直接指导下进行的。因此学生的学习活动就成为了一种特殊的建构活动，一种高度组织化的社会行为。学生在数学知识应用和建模教学活动中，通过调查研究自己发现问题；将问题数学化制定解决方案；遇到问题自己去收集、查找资料；向书本学习向内行人士学习，最终解决问题。这个过程是一个学习的过程，是一个做数学的过程，更是一个主动建构自己认知结构的过程。需要强调的是，我们坚持建构主义学习观，并不否认学生的个体差异，而是明确肯定学生认知活动的个体特殊性，这种特殊性不但包括了学生已有的知识和经验，也包括学生的认知风格、学习态度、学习信念和学习动机等诸因素，因此，在同样的学习活动中，不同的学生就会有不同的建构。我们坚持建构主义学习观，认为教师不能代替学生主动建构，但也并不否认环境对学生主动建构所带来的影响，而是明确肯定教师工作对学生学习活动的积极意义。学生的学习认知活动不是一个纯粹的个人行为，一方面学生要接受教师的指导和帮助，进行师生的交流；另一方面学生要参与学生之间的交流和相互质疑。学生的建构活动是一种社会行为。因此在数学建模教学中，更要发挥教师的主导作用更要注意开展好师生、生生之间的交流与合作，使环境因素对学生的学习建构活动带来充分的积极影响。3．学生主体参与是教育改革的核心问题。传统的教学观强调教育的基本功能是传授知识，教师“授业、解惑”，是知识的传播者，强调了教师在教学活动中的主导作用，但却忽视了学生的个体差异，忽视了学生为今后发展在学习能力上在探索创新意识的能力上的需求，只按早已设定的教学计划，把学生当作教学的对象,接受教育的客体,而抹杀了学生作为学习的主体的能动作用。当前教育改革在数学学科实施素质教育的一个核心问题就是坚持和发展学生的主体性，而学科教学中主体参与则是坚持和发展学生学习的主体性的的重要原则。在数学知识应用与建模的“专题式”、“论文研读式”和“微型科研式”教学模式中，不是按照教师事先规定的方法和程序解决问题，而是在教师与学生的平等参与下，按学生自己的思路、方法和程序解决问题。这样的教学活动为学生提供了自主探索、自主地提出问题、自主地解决问题的机会，充分体现了学生学习的主体性，充分体现了学生主体参与教学活动的原则，使学生在学习中学会学习，在探索中学会探索，在问题解决的实践中培养实践能力。4．创新教育是素质教育的核心江泽民主席强调指出“创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”，而创新的关键是人才，是要有一支具有创新精神和能力的高层次人材队伍。创新人材的培养是一个系统工程。必须从小抓起，从各级教育着手。基础教育阶段的创新教育应面对全体学生，着重于培养学生的创新意识和创新情感，为创新人格的形成、创新能力的培养打下基础。开发每个学生的潜能，为每个学生提供今后发展所需要的教育，这也正是今天我们所提倡的素质教育的实质。传统的教育观，把传授知识作为教育的最主要的甚至是全部的目的。学生学习的途径只有一个就是教师的“教”。因此，教师也就成为了正确的唯一化身。然而古往今来为科学、为人类的进步做出了卓越贡献的科学家的个人成长经历，无一不揭示着一条真理：即学校教育仅偏重传授知识是远远不够的。因为将前人的经验和知识的精华传授给学生是为了让他们能够更快地站在前人的肩上，去开创光辉的未来。因此教育的重心应该是启发引导学生探索，启发引导学生创新。中学数学知识应用与建模教学以学习和掌握科学的思维规律为前提，以所学数学知识为基础，让学生在对自然界的数学过程进行科学探索和研究中学习数学，是提高学生综合素质、开发学生潜在创造力的极好方式。二．数学知识应用与建模教学的教学原则数学知识的应用包括在数学学科内部和外部两个方面的应用。数学知识应用的教学，主要研究的是具有实际背景的例子，多是经过加工的实际问题，但突出的是数学，所要达到的教学目的是加深对所学知识的理解，巩固所学数学知识和数学方法，解决数学知识“有用”的认识问题。数学建模运用的是数学工具，解决的是来自生产生活中的非数学问题。尽管受知识和能力所限，中学数学建模问题较多的还带有应用的性质。但是仍需经历：采集信息，建构数学模型、对数学模型求解、实践检验的全过程。因此数学知识与数学建模的教学模式，必须体现以下教学原则。1.“再创造”原则。数学知识应用与建模课堂教学为学生提供了一个自己学习、自己探索、自己提出问题、自己解决问题的可能和机会。所以数学建模的核心是在学生的积极参与前提下进行的“再创造”活动。2.“数学化”原则。学生是在将实际问题抽象成纯数学问题，也就是将实际问题数学化的过程中学习数学。我们所看重的是帮助学生学会数学的思考，学会数学的观察世界。因此整个教学过程印证了著名的荷兰数学家弗赖登塔的名言：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”。3.“数学现实性”原则。教学中我们充分肯定并强调学生个体的特殊性，对不同能力的学生开展不同层次的数学应用与建模活动，尽量为不同的学生提供不同的但是能展现他们创造力的舞台，让他们在不同程度上都能用数学，在用数学的过程中获得不同程度的数学应用的体验。实现每个学生在自己“数学现实”基础上的数学能力、应用意识与实践能力的提高。进而获得“学然后之不足”的感悟，从而更刻苦的去学习数学。4．“严谨性”原则。中学数学建模不应刻意追求建模过程的复杂和完美，不应要求模型推证计算的绝对严谨，而是在学生的“数学现实”条件下的严谨。因此对学生建模结论执有的应是一种特定的评价标准。由于现实是，当今社会科学技术的飞速发展与中学生有限知识之间存在着很大的差异。必须认识到科学的“发现”和“创新”也是有高低不同层次的。一名中学生要想提出一个新概念、要想发现人们从来不知道的新定理、新方法、新理论是几乎不可能的。但是通过他们自己的努力和踏踏实实的工作，去发现可能别人早已知道而只对他们来说是未知的知识、规律却是完全可能的。从这个意义上讲，中学生也完全可以获得数学的发现。这就是一名中学生创新能力的表现。开发并扶植它正是数学建模教学的目的。三．数学知识应用和建模的教学模式1．切入式这是将数学知识应用切入到整个教学过程中的局部环节上的教学模式，它不一定包含问题解决的全过程。“切入式”教学模式程序框图如下(1)功能目标。通过结合课堂教学内容引入数学应用的实例，达到引起学生的兴趣，了解有关数学知识在生产、生活中的用处，解决数学知识是有用的这样一个认识问题的目的。通过应用问题的求解，使学生初步掌握用有关数学知识解应用题的方法，培养学生数学知识应用的能力的目的。(2)教学程序和师生角色。在新知识新概念新定理的教学起始阶段，介绍具有实际背景的应用例题，由于教学的重点是数学新知识，因此，对引用的应用问题只是由教师提出问题并作介绍,以吸引学生的注意,激发学生的好奇心、求知欲望和探索的欲望，往往不对它求解。在知识概念定理教学的巩固阶段，引入经过加工的实际问题，这时教学的重点是巩固所学的数学知识。因此应该在教师的引导下，经过讨论学生完成将问题数学化的过程。对一些典型的例题还应完成问题的求解过程。在这样教学的局部环节上切入数学知识应用的教学模式，教师提供史料、实例和应用的例题，为学生创设应用的情景。在问题解决的过程中，学生解题的每一步都是在教师引导下完成的。因此充分体现了教师的主导作用。教师的教学是主动的，而学生则是被动的。但学生被应用的情景所感染，被教师提供的应用实例以及充满激情的教学语言所吸引，积极思维完成问题的数学化和问题的求解过程，则体现了学生学习的主体性。(3)评价。一般情况下，切入式教学模式中的应用问题，都是经过人为加工的问题，问题的条件清楚准确，不多不少，所用数学知识单一明确，原始问题数学化的过程简单明了，结论唯一确定而且很少需要思考是否合乎实际。因此这些应用例题只是简单的特殊的建模问题。它不能充分展示数学建模的典型过程，不能体现建模的创造性和开放性。它所实现的功能更多地表现在巩固数学知识的目的之上。因此，切入式教学模式，在培养学生的应用意识并掌握用数学知识解决问题的方法方面功能是强的。但是，它在培养学生的实践能力上的作用是有限的。2．专题式这是在一章或几章知识学完后，或在教学过程中遇到学生知识网络的交汇处，或是在期中期末、高考复习期间，用一至几课时，集中进行数学知识应用的问题解决的教学模式。“专题式”教学模式程序框图如下：(1)功能目标。通过集中时间、集中精力进行数学知识应用的教学活动，使学生的思维在整个教学过程中处在“应用”的环境里，达到增强应用所学的数学知识来观察、分析发生在身边的事物和现象的意识。通过应用开放性问题的讨论和求解，巩固所学数学知识，在应用中获得数学的体验，使学生较好地体会数学知识应用的方法，培养学生的创新精神，以及应用数学知识解决实际问题的能力。由于时间集中，问题集中，使教师与学生、学生与学生之间的交流讨论有了时间的保证，从而培养学生的合作精神。时间与问题的集中也为现代教育技术的使用创造条件，通过计算器，计算机的运用，达到培养学生进行数学实验能力的目的。(2)教学程序和师生角色。专题式教学模式所要达到的教学目标有复习总结的性质。因此，首先教师应对有关教学知识作一简明的小结。对解数学应用问题的程序作必要的讲解，并点明本节课或这几节课所要解决的问题。根据教学的需要，精选问题是上好“专题式”数学应用课的前提。选题的原则可以从数学知识出发，精选例题，确定教学重点。例：函数知识的应用，数列知识的应用等等，也可以从应用的领域出发，精选例题，确定教学重点。例：测量应用问题、金融经济应用问题等等。题量的多少则由课时的多少和问题的开放程度确定，少则一个题，多则四、五个题不等。专题式教学模式课堂教学所处理的对象应是一些相对复杂的应用问题，表现为条件纷杂，从中抽象出纯数学问题比较困难，或者所需数学知识较多，求解困难，或者抽象出的数学问题，即数学模型多样，求解方式也多样等等。也就是说，“专题式”所处理的问题应比“切入式”处理的问题有较大难度和较大的开放性。由教师精心选取的例题只为学生创设了良好的问题环境，专题式模式的课堂教学，不再以教师讲授为主，而是将精选的例题交给学生，由学生认真读题，分析研究题目提供的数据和条件并挖掘其所隐含的更深层的信息，自己去提出模型假设，并对它求解。问题解决的全过程均由学生独立或合作完成。教师可以参与学生的讨论，了解学生的进展，学生遇到困难时，适时适度地给学生一些必要的鼓励、建议和意见，并适时组织全体学生讨论、评价同学们不同的建模方案，评价不同的求解结果。教师是问题的提供者，学生建模的参谋和课堂讨论建模与评价的组织者，而学生是问题解决的生力军、课堂教学的主体。虽然这种模式所处理的问题只是相对复杂的应用问题，只是狭义的数学建模，但它仍能较好的体现：实际问题—纯数学问题—数学问题的解—实际问题的解，这样一个建模的全过程。对于选得好的题目还可以实现学生根据自己对问题的理解进行不同的数学化过程，使学生的工作表现出更多的主动性和创造性的个性特征，而且教学方法实现了从以教师“讲”为主向以学生“做”为主的过渡，体现了学数学就是做数学的数学学习观。(3)评价。由于“专题式”模式带有总结复习的性质，课堂上学生的主要任务是用已有的数学知识去解决教师所提供的实际应用题。但是，例题大多所表现出来的被加工过的特点和强调“应用”的特点，使实际问题的背景分析和实际问题的数学化过程成为教学的重点。虽然也需建立数学模型，但不能充分展示数学建模的典型过程，这样的建模是不完备的。这种不完备性使数学建模的创造性和开放性得不到充分的体现。因此，在培养学生的应用意识、创新精神、实践能力诸方面，“专题式”的功能虽然比“切入式”增强了很多，但仍有其局限性。3．调查报告式这是一种课堂教学与课外活动相结合的新的教学模式。是课外调查研究，课内交流的教学模式。“调查报告”式教学模式框图如下：(1)功能目标。学生通过课外的社会调查，采集信息，发现问题的过程，学习如何数学地观察世界，数学地思考，增强应用所学数学知识解决实际问题的意识，培养学生的问题意识和发现问题的能力。因为问题本身是学生自己提出的，信息数据是自己采集的，在对所采集信息的加工筛选和整理后提出建模方案，并对数学模型进行讨论和求解，求解过程中，学生会发现自己在数学知识的掌握上所存在的欠缺和不足，促使学生去复习和更深入的学习数学知识。因此，通过教学活动可达到巩固所学数学知识的目的。由于所提出的问题可能彼此不同，建模的方法和求解方式也多种多样而表现了较大的灵活性和层次性，所以这种教学模式的教学，对不同水平的学生都可以达到培养创新精神和实践能力的目的。利用计算机筛选、加工、整理信息，建模和求解使学生体验了信息处理的方法，初步培养学生处理信息的能力。学生把调查研究的结果写成调查报告，并在课内进行全班交流，培养学生的表述能力。由于课外活动部分多以小组为单位进行，课上由小组的代表向全班同学报告进行交流，创设了学生之间密切配合、协调分工、探索思维的情境，同时也培养了学生的合作精神。社会调查促使学生走出校门，深入社会，深入生活，突破原有学校的封闭状态，把学生置于一种动态、开放、主动、多元的学习环境中，为学生提供了更多的获取知识的方法和渠道，也培养了学生关注社会、关注生活的社会责任感和主人翁意识以及社交能力。(2)教学程序和师生角色。首先，教师应向全体学生讲明社会调查的目的和对象是：了解某一部分数学知识在生产、生活中的应用，或在某个领域里用到了哪些数学知识。例如：货物堆放的不同方法和数量的计算；建筑物的屋顶所成各种二面角的测量和计算；高中学生的身高与体重的调查以及它们之间的关系的探讨等等。其次，要求学生以小组为单位制定调查提纲，分工合作采集数据，分析、提炼，加工转化得到教学模型，集体讨论完成问题的求解，并写成调查报告。教师可以参与学生一起去做调查工作，也可以放手让学生自主的完成这一工作。但是教师应随时了解学生工作的进展情况，对于学生工作中遇到的问题，适时适度地给予点拨。对于能力水平较差的学生或较难解的问题，教师有必要与学生一起讨论研究建模的方式和求解的方法。学生完成的调查报告教师必须一一过目，认真阅读。发现优秀者（例如问题提得好的，或建模有特色的，或解法新颖的等等）提交班内交流。交流由教师组织。发言的同学主要向全班介绍本组调查了什么问题，建立了什么样的模型以及怎样求解，得到什么样的结论。最后应当有一定的时间在教师的组织引导下进行全班的讨论和评价。教师还必须做一个简短的、经过认真准备的总结。在充分肯定成绩的同时，更要指出这次活动中存在的具有普遍性的问题或不足之处（包括组织方面的，也包括技术方面的，建模方面的不足）。对于调查报告的优秀者，教师应将之存档，以备作为今后教学用，对于值得进一步深入研究的问题，应组织学生，继续把题目做下去，以求得更好的结果。显然，调查研究式教学过程中教师是整个活动的组织和指挥者，同时也是学生调查与建模的合作者，而学生的社会调查、提出问题、建模并求解则是完全主动地进行的。学生已不再是被动的学习，不只是知识的接受者，而是问题的提出者和解决者，是认知结构的主动建构者。在用数学做数学中学数学，学生是数学知识的探索者和实践者，他们对课堂教学目标的实现负有重要的责任，而责任感将转化为学生积极探究问题的内动力。(3)评价。如前所述调查研究教学模式，学生解决的是真正意义上的实际问题。比较完整地体现了数学知识应用与建模的全过程。它比切入式和专题式在培养学生应用意识和创新精神、实践能力方面有较强的功能，但是，由于学生调查研究的主题内容和范围是教师布置的,学生的工作必须围绕这个主题进行，学生的一切工作都是为了实现教师的教学意图，这就给学生的思维空间规定了一个框框，使这种模式的开放性和它的教育功能受到了局现，再加上时间的限制，有时会出现对问题的研究不深刻，结论不理想的结果。与专题式相同，调查研究式只适用于在教学的一定阶段上。例如：某一章、某一部分知识学完之后，在期中或期末复习总结时进行。4．论文研读式论文研读教学模式是由教师精选论文，学生课下阅读，课上学生主持开展讨论研究，通过集体研究讨论他人的优秀建模论文来学习数学应用与建模的教学模式。“论文研读式”教学程序的框图如下：(1)功能目标。论文研读的教学模式要求每位学生按照教师的要求事先认真阅读选定的建模论文，通过习读达到培养学生自主学习的能力，尤其使学生感受到学习数学科学论文与学习其它文章的区别，受到一次学习数学科学论文的锻炼，为学生终身学习，在习惯和方法方面奠定基础。通过个人习读，集体研究讨论，争取分别在以下不同层面上读懂原作：①搞清楚该论文研究的是一个什么问题，问题的背景是什么？搞清论文的结构和内容大意；②搞清楚该论文数学建模的方法和步骤，求解的策略和手段，以及得到的结论；③体会论文作者建模的思想和方法；④提出自己对这个论题以及建模思想方法的见解。虽然学习他人的数学模型不同于自己建模,但是对于培养学生自主学习的能力以及从研究他人建模的思想和方法中,学习如何建模无疑具有积极的意义。由于选用的论文都是中学生的建模论文，研读者与作者知识水平、思维风格更接近，因此这种教学模式，可以用较少的时间、通过较好的论题，达到实现一个群体数学应用与建模能力的快速提高的目的。由于读懂一篇文章和能用自己的语言讲解一篇文章，并让别人能听懂自己的讲解是有天壤之别的。因此，这种教学模式对于主持讲解的同学而言会有更大的收获和提高。为了“读懂”论文，学生也需要去查找资料，也需要利用计算机或图形计算器等工具作数据处理，有时还需要亲自动手算一算，这些工作对一个学生而言无疑是对他的实践能力等多种能力的一次综合的锻炼。师生在对论文进行广泛深入的讨论中，难免出现不同意见、不同看法，甚至产生争论。这种问题的场景恰好为学生的创新思维提供了广阔的天地，为学生思维的独到见解提供了展示的机会和舞台，研究讨论的过程中使敢于坚持真理敢干修正错误的科学精神得到宏扬。论文研读的教学方式与通常课堂教学不同，它更注重学生主动的建构，由于师生平等的参与，营造了民主融洽宽松的研究氛围，更可以达到增强学生的自主意识的目的。学生通过对中学生的数学建模优秀论文的研读还可以受到一种无形的来自同龄人的激励，增强自己也可以写数学建模论文，也可以写出好的论文的信念。为了组织好论文的集体研读，使之达到预期目的。教师自己也需事先对选定的论文进行认真的阅读，对于论文所涉及的那些自己也不太了解或者根本不懂的问题更有必要去请教书本，请教他人，对于文章所涉及的其它学科，其它专业的问题，虽然不必要求“精通”(大多也不可能“精通”)，至少也要做到初步了解的程度，这样在研读课的最后，教师才可能对研读课做出一个恰如其分的总结和评价。因此虽然教师并不直接主持集体的讨论，但是通过这样的教学对扩大教师的知识面，体会数学建模的理论与方法，培养自身的创新精神和能力，提高自身的业务能力，无疑是大有裨益的。(2)教学程序与师生角色。论文研读课的教学程序是课前十天左右教师将精选的一篇数学建模论文（以中学生的论文为宜）印发给大家，同时布置阅读要求，要求了解原作的问题背景；理解原作的建模方式、求解策略和手段方法；了解原作的结论；设想自己拥有这个实际问题将怎样建模等。同学们课下习读，做研读的准备，并写出习读笔记。同时确定1-2位同学作为课堂讨论的主持主讲人，（也可以视同学们准备的情况再确定主持主讲人）。在研讨课上，主讲人首先用自己的语言陈述论文问题的背景，论文的结构，和论文的结论讲解数学化的过程和建模的方法。同学们就自己对论文的理解以及主持人的讲解提出问题，（包括自己没有弄明白的问题，也包括自己认为很重要，且自己已弄明白的问题等等）。主讲人解答或组织同学们开展讨论。教师与学生一起平等的参加讨论，发表自己的意见，提出自己的问题。最后由主讲人简短小结：通过讨论，弄懂了哪些问题，还有什么问题没有明白等。教师对整个论文研读活动（包括研读和论文两个方面）作出总结。综上所述，可以清楚的看到，在论文研读教学模式中，教师的主导作用主要通过以下两方面的工作表现出来：①精选论文，创设好的问题环境，指出研读的环节，提出研读的要求，激发学生自主学习探索的积极性和创造性。②对整个研读活动恰如其分的总结。通过研读，对论文问题背景、作者的建模思路、方法、结论等方面，搞清楚了哪些问题，还有什么问题不清楚，有没有其它建模方案或看法。也总结研读中，同学们的工作、主讲人的讲解、同学们的讨论和争辩好的方面是什么，存在什么问题，研读目的是否达到。而在研读的过程中,教师与学生平等地参与,都是论文的研读者,教师不再是"正确"的化身,也不充当编剧、导演或主演。教师完全是学生学习讨论的伙伴，有时也给主讲人一些建议，扮演建议者，但更多的时候是学生主讲人忠实的听众，争辩的同盟或对手，而学生是论文研读的主演，他们自主地学习，自主地发现问题，大胆地发表自己的意见，自主地开展讨论。他们共同切蹉共同剖析，互相交流、互相质疑、互相探究、互相启发，共同实现研读的目的。他们是自己的认知结构的主动建构者。(3)评价。论文研读式，学生所面对的不再是一般的数学应用题，问题的背景可能是非数学学科领域，所采用的是课下学习与课上讨论结合起来的方式。课上营造的是师生平等的、自主研究讨论的、民主的学术氛围。它突破了学生掌握知识靠教师“教”的传统模式，而更具主动性、活动性和开放性的特点。但是也正因为这些特点就使得以下几个问题显得更为重要。①论文的选择，应该注意选择与学生生活较贴近的题材，基本不超出学生现有数学知识的范围，在学生认识水平基础上学生比较容易深入、思维较易引起共鸣的学生论文。否则会因论文难学难懂，使研读很难推进，或者也会因为论文内容太浅而难以引起学生的研读兴趣。②主持主讲人的挑选，从某种意义上讲，研读论文的学习活动能否顺利进行，得益于学生主讲人成功的主持和讲解。为了组织好讨论，主讲人必须在“读懂”上下更大的功夫，但是并不要求主讲人一定要研读得最深刻。能胜任这一工作的学生的数学成绩也不一定是最优秀的。主讲人要有一定的组织能力，并能随机应变。③由于不同的学生对论文的理解深度不同，与作者的想法自然会存在不同程度的偏差。从不同的角度看问题，同学们对原作的建模思想，求解的方法、策略还可能出现多种不同的看法。课上研讨时还要注意避免不认真领会原作建模思想、求解方法和策略，而专挑剔毛病，背离研读目的的情况出现。一旦出现挑毛病的苗头，教师应通过自己的发言或提问及时适当地扭转局面，使研讨正常进行下去。5．微型科研式这是一种学生从生产生活中自主地选择、确定研究专题进行微科研，将研究结果撰写成论文，并通过论文报告和答辩培养学生的数学应用意识、创新精神与实践能力的教学模式。是以课下个人或小组活动为主的教学模式。“微型科研式”教学程序框图如下：(1)功能目标。通过“切入式”“专题式”“调查报告式”教学，学生有了数学知识应用的初步体验；通过论文研读式教学，又初步了解了如何写数学建模论文；学生又具有了一定的数学知识基础。这时可以利用寒暑假较充足的时间，放手让学生到社会中去调查了解，发现研究的专题，对专题进行比较深入的探讨和研究。由于微型科研式的操作与调查报告式基本相同，因此他们有相同的功能目标。但是与调查报告式不同，教师对学生的工作不做任何规定，学生在没有任何条条框框的束缚下深入社会，深入生活去选择和确定他们自己感兴趣的研究课题。这些研究课题大量的是非数学学科领域的问题，要用数学建模的方法去研究它，从而建立了学生知识的横向联系；在研究和解决问题的过程中，学生对综合学科知识有更深刻的体验和感受。虽然学生在深入社会实践，亲自采集信息，利用计算工具或成品工具软件筛选或处理信息等方面，与调查报告式相同，但是最后要求写的不是调查报告，而是要求用建模论文的形式准确地陈述研究的方法、步骤，自己的观点和结果以及合作经历，对于部分优秀的论文还要组织答辩和报告。这样的学习活动不仅改变了学生学习的场所和学习的方式，它更强调学生学习的自主性和探索性，更突出地体现出学习的实践性、开放性、自主性和过程性的特点。因此，对于学生创新意识、创新精神以及实践能力乃至学生的综合素质和能力的培养具有更强的功能，是中学数学建模教学模式的最高层次。(2)教学程序和师生角色。微型科研式实现的是一种研究性学习，当学生确定了自己的研究课题之后，必须对课题的历史和现状做大量调查研究，围绕问题展开微型科研，从选题一直到定稿打印成文，整个过程的每一个决策、每一件工作都是学生根据自身的需要主动去做的。他们是问题的提出者、研究方案的设计者和实施者。为了很好地实现教学目标，教师的指导工作也是必不可少的。教师主要应做以下指导工作：a.前期指导工作。在学生选题之前进行，采取集体指导的形式。主要解决三个问题：①破除迷信、解放思想。用大量事例说明数学对人类文明，对未来世界高科技发展、对国力竞争、对人才成长的重要性。用中学生写论文的实例（包括本校的，也包括外校的）说明，科学研究不只是专家学者的专利，我们中学生也可以参与微型科学研究，并将研究成果写成论文。②如何选题。用实例说明数学知识在日常生活中、在工作生产中有着广泛的应用，尤其是用发生在我们身边的看似与数学无关，实则包含着一定数学原理的例子。例如：人员疏散问题、食堂窗口设置问题等等，一方面开拓学生的眼界，另一方面使学生懂得只有关注社会、关注生活才可能发现值得我们去研究的问题。但是，鉴于中学生的学识尚浅，研究方法和手段不足等等自身主观条件所限，或者由于问题中不可预测因素过多，涉及面太广等等客观因素的原因，被发现的问题我们的同学不一定都能研究得了。因此，我们认为中学生在论文选题时不要怕问题小，应选择自己比较熟悉的问题、选择自己比较感兴趣的、能发挥自己特长的、变量较少的问题；并且应争取得到家长的支持和帮助。③研究的方法和途径。要求学生在初步确定选题方向后，必须着手调查研究，去了解所选问题的历史和现状，了解与之有关的知识，开始文献的检索、信息数据的采集、筛选和分类工作。b.中期指导工作。教师对学生所选问题的研究以及论文的写作不能放任自流，必须对学生选题情况、调查研究的进展情况做到心中有数，同时也为了进行同学之间的交流和促进，中期指导宜采用集中时间集体交流，个别指导的方式。每位或每组（提倡两人合作完成论文）向大家介绍自己所选问题和自己已经完成或正在进行的工作，例如参考了哪些书、到那些地方作调查、掌握了哪些数据、对这些数据作了怎样的研究、有什么初步成果等等。然后由教师对每位或每组学生进行个别交流、指导，在教师的知识与水平限度之内对学生的选题可行性提出参考意见，对学生的调查情况、数据处理的方法提一些建议，解答学生提出的问题。对于那些教师也不能回答的问题，例如涉及其他学科的知识，我们努力向其他学科的同行请教，并将结果转告学生。c.后期指导工作。在指定日期内要求学生上缴论文初稿的打印件。指导教师轮流阅读后采取个别指导的方式，对每篇稿件质疑并提出修改意见（包括所论述问题的内容和方法，文字表述，已至打印技术方面的意见），对于学生论文所论述的问题的结果，要求学生尽可能拿到实践中检验，并对检验结果作适当分析，以防止由于学生调查研究不足，掌握信息量不够或研究方法选择不当，或考虑问题片面性甚至于考虑问题的出发点有误而导致严重脱离实际的情况出现。对每一篇论文的这种指导，有时不止一次，直到论文最后定稿成文为止。对于参加论文答辩的同学还需进行答辩指导，要求学生能简明扼要的阐述自己论文的要点（包括解决的问题是什么、研究的思路和方法、研究的结果怎样和自我评价、合作的经历等等），这样做的目的主要是希望学生在做答辩准备的过程中，重新审视自己的工作从而能获得更深刻的数学体验。论文写成后，指导教师应逐一认真阅读，初步划分出好、中、差三类。对其中部分论文，组织答辩会，请相关学科的老师和有关专家对学生论文进行点评。为了在同学中扩大影响，在答辩会的基础上，召开相关年级学生论文报告大会。选择论文优秀者分别就以下三个问题作大会发言，①报告自己的论文；②讲解自己是怎样发现并确定自己的研究课题的，如何克服困难完成论文的；③合写论文的作者介绍是怎样合作的。通过报告让更多的同学受到一种自主学习的教育、一种培养数学知识应用意识和创新意识的教育。同时也受到来自同龄人的启迪和鼓舞，认识到学习数学知识是有用的；树立自己也可以写论文、自己也可以发现身边的数学问题并应用已有的数学知识和方法去解决实际问题的观念和信心；进一步培养学习数学的兴趣，并由此悟出学然后知不足的道理，从而激发更强烈的求知欲望，更加刻苦主动的去学习数学，扎扎实实的打好基础。作为教学过程的最后一个环节，召开学生座谈会，师生一起座谈参加这种研究性学习的收获体会。显然,教师的指导工作仅仅是对学生的工作做一些质询，对于学生建模过程遇到的问题，在可能的范围内提出一些建议。但是对学生的选题乃至学生建模的思路、研究的方法则不予干预，更不能用教师的工作去代替学生的工作。因此，教师是教学的组织者、学生研究工作的建议者、参谋、学生论文的欣赏者。(2)评价。从前面的论述可以看到“微型科研式”为学生营造的是一个极为开放的创新的环境，完成一篇优秀的建模论文