惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理

惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理摘要动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。关键词：动能定理惯性参考系非惯性参考系表达式质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。即(1 )微分形式： dW=d-mv2k2 丿积分形式：JdW=Jvd—mv2v0k2 0丿或：W=AEk在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。1．惯性参考系中的动能定理所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢?在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O',光滑木板以速度v做匀速直线运动，木板为一惯性参考系O。一质量为m的物体，在木板参考系O中，t°时t时刻速度增加到刻初速度为vi，在恒力F的作用下，在运动方向上发生一段位移st时刻速度增加到v。vv2vv1．1惯性参考系中功的计算功的定义为：dW=F-dr在木板参考系即惯性参考系O中：W=F-s在地面参考系即惯性参考系O'中:由伽利略变换可知，位移s'二s+vt，两参考系中时间相同t=v+v12W'=F-ss=F-(s+vt)=F•[s+―,v+v12比较①和②可以看到W主W'，即功的大小与惯性参考系的选取有关。1．1．2惯性参考系中动能的计算动能的定义：1动能的定义：=—mv22由伽利略变换：木块的初速度叮vi+v，末速度v2=v2+v在10时刻:a)b)在木板参考系即惯性参考系O中Ek11=—mv221在地面参考系即惯性参考系中a)b)在木板参考系即惯性参考系O中Ek11=—mv221在地面参考系即惯性参考系中O':E'k1=1mv込=1m(v+v2121在11时刻:a)b)在木板参考系即惯性参考系O'中Ek21=—mv222在地面参考系即惯性参考系O中:E'k2③④⑤⑥比较③和④、⑤和⑥，可知Ek丰Ek，即动能的大小与惯性参考系的选取也有关。1．3惯性参考系中的动能定理由以上分析可知，功和动能都与惯性参考系的选取有关，那么在不同惯性参考系中动能定理的表述是否相同呢？a）在木板参考系即惯性参考系O中，由①③⑤式再由牛顿第二定律:F=ma和匀变速直线运动公式：v2-*=2as11联立：W=F-s=ma-s=mv2一mv2=E—E2221 k2 k1即: W=AEkc）在地面参考系即惯性参考系O中：由②④⑥式同样由牛顿第二定律:F=ma和匀变速直线运动公式：v‘2-v'2=2asf21W'=F-s'v'2一v'2=ma-s=mTi-s2s'

(v+v》-(v+v》"Z"=m—2 i=E-E"Z"k2 k1也就是说虽然功和动能都与惯性参考系的选取有关，但动能定理的表达式与惯性参考系的选取无关。2．非惯性参考系中的动能定理非惯性系是指相对于孤立系统（即惯性系）一切不静止或不匀速的参考系，系从刚才的推导中可以看到，在惯性参考系中动能定理可以由牛顿第二定律推导出来。而在非惯性参考系中牛顿定律不成立，因此动能定理也应该不成立。在例2中求证，如图2在木板参考系O中，初速度为,末速度v一，加速度。；在地面参考系O'中，木板加速度a'，初速度为v。在木板参考系O中，由运动学公式：v2一v2=2as21又由牛顿第二定律：F=m(a+a')联立⑦和⑧得：Fs—mas=1mv2-—mv22即在木板参考系O中W丰NE，而上式多出来的-mas就是非惯性参考系中的惯性力k所做的功。因此在非惯性参考系中，加上惯性力所做的功，动能定理仍然成立。例3如图3,质量为M的大木块上放一个质量为m的小木块，两木块之间摩擦系数为卩，地面光滑，小木块初速度为％,大木块足够长,卩，地面光滑，小木块初速度为％,大木块足够长,最终两木块共速。取地面为参考系：由动量守恒定律两物体最终共同速度vmvv= 最终两木块共速。取地面为参考系：由动量守恒定律两物体最终共同速度vmvv= 0—M+m图3由质点系动能定理，系统内力和外力做的总功等于系统动能的变化-fsmv v22-fsmv v22m~2v20mM2(M取大木块为参考系：引入惯性力F=_ma=-m惯 M (假设惯性力与真实力一样做功W+W真惯联立⑨和⑩得:(m(m(m、W+W二一f-s二一1+真惯+M丿kM丿mM2(M+m)020k即在非惯性参考系中，真实力做功与惯性力做功之和等于物体动能的该变量。通过引入惯性力，使得动能定理在形式上也成立了，动能定理的表达式变为W+W=AE'。真惯3．结论综上所述，在惯性参考系中，力对物体做的功和物体所具有的动能与惯性参考系的选取有关，不同的惯性参考系中功和物体的动能可能不同，说明功和动能具有相对性。但在不同惯性参考系中，牛顿第二定律都成立，所以动能定理的数学表达式也是唯一的，与惯性参考系的选取无关。而在非惯性参考系中，由于牛顿第二定律不在成立，所以动能定理在形式上也不成立但通过引入