算法案例之求最大公约数课件

算法案例之求最大公约数求以下几组正整数的最大公约数。(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示m和n的最大公约数。)（1）（18，30）（2）（24，16）（3）（63，63）（4）（72，8）（5）（301，133）解：21824用公有质因数2除，3912用公有质因数3除，343和4互质不除了。得：18和24最大公约数是：2×3＝6

想一想，如何求8251与6105的最大公约数？

例、求18与24的最大公约数：6；8；63；8；7；短除法1谢谢观赏2019-6-27开始i=m+1输入：m,nmMODi=0且nMODi=0?i=i-1输出：i结束YNm>n?t=m,m=n,n=tNY穷举法（也叫枚举法）步骤：

从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。穷举法2谢谢观赏2019-6-27定理：已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（0≤r<n）（即r=mMODn）,则（m,n）=(n,r)。辗转相除法分析：m=nq+r……①r=m-nq……②例1、求8251和6105的最大公约数。148=37×4=378251=6105×1+2146（8251，6105）=（6105，2146）6105=2146×2+1813=（2146，1813）2146=1813×1+333=（1813，333）1813=333×5+148=（333，148）333=148×2+37=（148，37）解：3谢谢观赏2019-6-27练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）459824174谢谢观赏2019-6-27次数123456mnr8251和6105的最大公约数解：8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4（8251，6105）=（6105，2146）=（2146，1813）=（1813，333）=（333，148）=（148，37）=37关系式m=np+r中m,n,r得取值变化情况825161052146610521462146181318133331813333148148333371483705谢谢观赏2019-6-27辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构

思考：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？如此循环，直到得到结果。①输入两个正整数m和n；②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；③更新被除数和余数：m=n，n=r。④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转向第②步继续循环执行。6谢谢观赏2019-6-27开始输入：m,n输出：m结束r=0?m=nNYr=mMODnn=r程序：

INPUT“m，n=”;m,n

DO

r=mMODn

m=n

n=r

LOOPUNTILr=0

PRINTm

END7谢谢观赏2019-6-27更相减损术同理：a,b,c为正整数，若a-b=c，则（a,b）=(b,c)。“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法）步骤：第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。8谢谢观赏2019-6-27例、用更相减损术求98与63的最大公约数（自己按照步骤求解）解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。=7所以，98和63的最大公约数等于7。（98，63）=（63，35）98-63=35

63-35=28=（35，28）35-28=7=（28，7）28-7=21=（21，7）21-7=14=（14，7）14-7=7=（7，7）9谢谢观赏2019-6-27练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）4598241710谢谢观赏2019-6-27例

用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=2121-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。（98，63）=（63，35）=（35，28）=（28，7）=（21，7）=（14，7）=（7，7）=7次数123456a986335282114b633528777c3528721147关系式a-b=c中a,b,c得取值变化情况11谢谢观赏2019-6-27更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤，这实际也是一个循环结构

思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？12谢谢观赏2019-6-27程序：INPUT“a,b”;a,bi=0WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIFb>aTHENt=aa=bb=tENDIFa=a-bLOOPUNTILa=bPRINTa*2^iEND开始输入：a,b输出：a×2i结束a=b?a=a/2,b=b/2Ya=a-bt=a,a=b,b=tb>a?aMOD2=0且bMOD2=0?YNNNYi=0i=i+113谢谢观赏2019-6-27辗转相除法与更相减损术的区别：小结（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当