质点动力学的基本方程

质点动力学的基本方程第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期一

本章重点、难点

⒈重点建立质点运动微分方程。质点动力学第二类基本问题的解法。

⒉难点对质点运动微分方程进行变量变换后再积分的方法。

本章重点、难点

⒈重点建立质点运动微分方程。质点动力学第二类基本问题的解法。

⒉难点对质点运动微分方程进行变量变换后再积分的方法。

本章重点、难点

⒈重点建立质点运动微分方程。质点动力学第二类基本问题的解法。

⒉难点对质点运动微分方程进行变量变换后再积分的方法。

第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期一

如果说，力的作用是改变物体机械运动的原因，那么，动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。机械运动变化是力对物体作用的结果。动力学是什么?动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。在静力学、运动学两篇中曾讨论过：当作用于物体上的力系满足一定条件时，物体处于平衡状态，力系的简化与合成、力系的平衡条件研究是静力学的两个基本任务；不考虑运动状态发生变化的原因，只从几何的观点来论述物体的机械运动，是运动学的任务。

从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。

动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期一动力学基本概念1)质点：大小和形状可以忽略不计且具有质量的物体；3)自由质点系：无约束限制的质点系；4)非自由质点系：有约束限制的质点系；惯性：任何物体在不受外力作用时都有保持其运动状态不变的属性；6)惯性运动：物体的匀速直线运动。2)质点系：相互联系并组成一个运动整体的一群质点总称；第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期一§10-1动力学的基本定律第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律（力与加速度之间的关系的定律）ma

=F

质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。第三定律（作用与反作用定律）

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期一牛顿及其在力学发展中的贡献

牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。

1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验，而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期一

牛顿及其在力学发展中的贡献★牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期一牛顿牛顿(S.I.Newton1662—1727)是伟大的英国科学家。牛顿定律是他在开普勒、伽利略等人所做工作的基础上，于1687年在其名著《自然哲学的数学原理》中提出的。第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期一§10-2质点的运动微分方程根据牛顿第二定律，若质点M的质量为m，受n个力F1,F2,….,Fn作用，根据质点的加速度的表示形式，则xozyrFR

Mijk若F1Fn矢量形式的质点运动微分方程。（10－3）FiaFRFRFRaaa或则有矢量形式的质点运动微分方程。矢量形式的质点运动微分方程。矢量形式的质点运动微分方程。

M

M

M第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期一1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影在直角坐标系Oxyz中，有则：直角坐标形式的质点运动微分方程。xozyrijkFi

MaF1Fn将式向坐标轴投影，得（11－4）直角坐标形式的质点运动微分方程。直角坐标形式的质点运动微分方程。直角坐标形式的质点运动微分方程。第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期一2.质点运动微分方程在自然轴上的投影自然轴系的质点运动微分方程。则在质点M的运动轨迹上建立自然轴系Mbn，

根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹的密切面内，即bnaFτ所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，(＋)(－)m（10－5）式中，

Fi，Fni和Fbi分别是作用于质点的各力在切线、主法线和副法线上的投影。自然轴系的质点运动微分方程。自然轴系的质点运动微分方程。自然轴系的质点运动微分方程。bnaFτmbnaFτmbnaFτm第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期一§10-3质点动力学的两类基本问题一、质点动力学的第一类基本问题已知质点的运动，求此质点所受的力。

如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。二、质点动力学的第二类基本问题已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。

求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期一yxoryx解：㈠求质点的轨迹方程：即质点的轨迹是椭圆。例10-1质点M的质量为m，运动方程是x=bcosωt,

y=dsinωt，其中b,d,ω为常量。求作用在此质点上的力。

从运动方程中消去t，得ij㈡求质点的加速度㈢求质点所受的力由得rrrXYM第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期一所以，质点所受的力可表示为⑴力的方向永远指向椭圆中心，为有心力；⑵力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。易知：yxorMyxij已求得XYFymmaYxmmaXyx22ww-==-==jiFYX+=)(2jiyxm+-=wr2wm-=第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例题10-2曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度w转动,OA=AB=r。滑块B的运动方程为x=2rcos。如滑块B的质量为m,摩擦及连杆AB的质量不计。求当=t=0时连杆AB所受的力。OABB解:取滑块B为研究对象

由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平衡力系作用。NmgFx=2rcos=tax=-2r2cosmax=-FcosF=-2mr2第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例题10-3质量为1kg的重物M,系于长度l=0.3m的线上,线的另一端固定于天花板上的O点,重物在水平面内作匀速圆周运动而使悬线成为一圆锥面的母线,且悬线与铅垂线间的夹角恒为60,试求重物运动的速度和线上的张力。60MrvFTmg解：取重物M为研究对象，选用自然坐标轴投影形式。第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例10-4已知桁车吊的重物重为G，以匀速度v0前进，绳长为l。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。φvv0解：研究重物，桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动。当其摆至φ角处，受力如图。TGτ由自然轴系的质点运动微分方程，有(a)(b)可知，拉力T与重物的速度v、摆角φ有关，v0v0v0φφφTGTGTGτττnnnnvvv对(a)式进行分离变量并积分：第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期一得：(c)v0TGτnv和已推得(b)将(c)式代入(b)式，得当φ=0时，l第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例10-5炮弹射出，直角坐标运动方程为求：t=0时炮弹的切向加速度和法向加速度，以及这时轨迹的曲率半径。第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期一当t=0时第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期一将加速度在切线和法线方向分解有当t=0时，v=v0，由上式得由得第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期一FNa习题

已知：P，

。求fmin。解:（1）

取物块为研究对象PFa

（2）

研究对象受力分析

（3）

研究对象运动分析

（4）

列方程求解求知量yx第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期一例10－7

已知：P,l,v0.求Fmax.。O1Ov0v解:取物块为研究对象FP动荷系数第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期一n习题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。nnn第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期一vvvv质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度，即nFSmgFN解：研究对象：运动分析：铁球（视为质点），受力分析：质点在上升过程中受力有重力mg、由有筒壁的法向反力FN、筒壁的切向反力FS。

铁球在滚筒的带动下沿圆弧向上运动，当运动到一定高度时，将脱离筒壁沿抛物线下落；解得nFSmgFNnFSmgFNnFSmgFN第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期一已求得滚筒转速为当θ=θ0

时，铁球将落下，此时

FN

=0，得FSmgFNFN=0θFNFNFNθθ讨论⑴若n

＜n0，则θ＞θ0，⑵若n

＞n0，则θ＜θ0，⑷对离心浇铸，则要求n>ncr。即铁球在低处落下；

即铁球在高处落下；⑶若时，θ=0

，则铁球不再脱离筒壁落下。第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期一习题在均匀的静止液体中，质量为m的物体M从液面处无初速下沉，如图所示。设液体阻力R=－μv,其中μ为阻尼系数，忽略液体对小球的浮力。试分析该物体的运动规律及其特征。见续后第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期一解：取物体M为研究对象；物体在运动中受力有：建立坐标系如图。由重力mg、阻力R；OyxmgＲmgＲmgＲmgＲ有令vvvvv0=

0上式的不定积分为可得所以v0=

0v0=

0已知m，v0=0