2012-2021北京重点区高三二模数学汇编：集合间的基本运算

2012-2021北京重点区高三二模数学汇编

集合间的基本运算

一、单选题

1.（2017•北京西城•二模（理））有三支股票A,B,C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支

股票.在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍.在持有A股票的人中，只持有A

股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股

票.则只持有B股票的股民人数是（）

A.7B.6C.5D.4

2.（2018•北京海淀•二模（理））已知集合用={%€'*|1WxW15},集合4，4,4满足.

①每个集合都恰有5个元素

②4UAU

集合4中元素的最大值与最小值之和称为集合A的特征数，记为Xj（i=l,2,3）,则+X2+X3的值不可能为

A.37B.39C.48D.57

3.（2015•北京朝阳•二模(文))设集合A={%|(%-1)(%-2)40},集合8={%|因VI},则Au3=

A.0B.{x|x=l}C.{x|l<x<2}D.{x|-l<x<2}

4.（2017.北京东城.二模（理）)已知集合4={》|*2-4<0},则CR4=

A.{x\x<-2^x>2]B.{x\x<-2^x>2]

C.{x|-2<x<2}D.{x|-2<x<2}

5.（2017.北京丰台.二模（文）)已知集合4={幻14》44},8={幻%>2},那么A=B=

A.(2,4)B.(2,4]C.[1,+<»)D.(2,+00)

6.（2014.北京朝阳.二模（理）)已知集合4={工£用2］一320},集合8=卜£/?卜2_31+2<0},则人口8=

A.卜同

x-|<x<2

B.

C.{珅<x<2}

D.x^<x<2

7.（2012.北京朝阳•二模（文）)设集合。={0，123,4,5}*={1,2},3=卜£2,2—5工+4<0},贝ljQ(/UB)=

()

A.[0,1,23}B.C.{1,2,4}D.{0,4,5)

8.(2020•北京海淀•二模)若全集U=R,A={x|x<l},B={x|x>—1},则()

A.AuBB.BeAC.BQQuAD.QgAQB

9.(2020•北京东城•二模)已知全集。={0,1,2,3,4,5},集合A={0,1,2},B={5},那么(CuA)UB=

A.{0,1,2)B.{3,4,5}C.{1,4,5)D.{0,1,2,5)

10.（2019•北京东城•二模（文））已知集合4={小「1或»3},8={小一220},则小分=

A.1x|x<-lg!U>2|B.1x|-l<x<2|C.{x|2<x<3}D.R

11.（2015•北京西城・二模（文）)设集合4={小-1〉0},集合3={x|xK3},则Ac3=

A.(-1,3)B.(1,3]C.[1,3)D.(-1,3]

12.（2017•北京东城•二模（理）)已知集合4=卜|/-4<0},则C*4=

A.{x\x<-2^x>2]B.{x|xv-2或x>2}

C.{x|-2cx〈2}D.{x|-2<x<2}

13.（2017•北京西城•二模（文）)已知集合A={xwR|—1<xvl},B={XGR|X-(X-2)<0},那么404=

A.{XGR|0<X<1}B.{XER|0<X<2}C.{XGR|-1<X<0}D.{JCGR|-1<X<2}

14.(2017•北京西城•二模(文))已知集合4=卜£/?|-1<%<1},B={xe/?|x.(x-2)<0},那么=

A.{XG/?|0<x<l}B,{XG/?|0<X<2)

C.{xe/?|-l<x<0}D.{%67?|-1<x<2}

15.(2018•北京海淀•二模(理))已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合4={1,2,4},3={1,3,5},则((：必)08=

A.{1}B.{3,5}C.{1,6}D,{1,3,5,6)

16.(2020•北京西城.二模)设集合A={x|N<3},8={小=2《hZ},则4nB=()

A.{0,2}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-2,-1,0,1,2}

17.(2019•北京海淀•二模(理))已知集合4={x|14x45},B={x|3<x<6},则=

A.[1,3]B.[3,5]C.[5,6]D.[1,6]

二、填空题

18.(2017•北京朝阳•二模(文))已知集合4,B={x|x(x-2)<0},则Ac8=.

19.(2017•北京朝阳•二模)已知两个集合A,B,满足BUA.若对任意的xdA,存在a“a«B(由)，

使得x4ai+入2药(Xi,X2S{-1,0,1}),则称B为A的一个基集.若人={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),则

其基集B元素个数的最小值是一

三、解答题

20.（2021•北京海淀•二模）已知有限集X,Y,定义集合X-Y={x|xeX,且xtY},因表示集合X中的元素个数.

（1）若乂={1,2,3,4},丫={3,4,5},求集合x-y和y-x,以及|（x-y）u（y-x）|的值；

（2）给定正整数〃,集合S={1,2,…,n},对于实数集的非空有限子集A,B,定义集合C={x|x=a+b,a-}

①求证：|4-S|+|B-S|邓-牛1；

②求I(A-S)3S-A)|+|(B-S)U(S-5)|+|(C-S)5S-C)|的最小值.

21.(2020.北京朝阳•二模)设集合A={q,%,%，q}，其中是正整数，记臬=4+%+4+。4.对于

%,a.eA(l</<j<4),若存在整数大，满足=则称4+%整除臬，设%是满足q+%整除臬的数

对(,•,/)(,・</)的个数.

(I)若4={1,2,4,8},8={1,5,7,11},写出*，改的值；

(II)求％的最大值；

(III)设A中最小的元素为。，求使得％取到最大值时的所有集合A.

22.(2020.北京海淀•二模)在平面直角坐标系中，。为坐标原点.对任意的点P(x,y),定义||。4=国+”|.任取

点4与％),B(X2,%),记A'U，y2),B\X2,必)，若此时||OA『+||O叫飞||04『+|0珊成立，则称点A,8相

关.

(1)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①A(—2,1),8(3,2)；②C(4,—3),0(2,4).

(2)给定〃eN*,“2:3,点集Q“={(x,y)卜"4x4〃,一"4y4”,x,yeZ}.

(i)求集合中与点A(l/)相关的点的个数；

(〃)若S=O“，且对于任意的A,BwS,点、A,8相关，求S中元素个数的最大值.

23.(2020•北京西城•二模)设N为正整数，区间/«=%,4+11(其中4eR,k=l,2,…,N)同时满足下列两个条

件：

①对任意xe[04(X)I,存在女使得xj；

②对任意丘{12…,N},存在xe[0,100],使得x*(其中i=l,2,…,01,%+1,…,N).

(I)判断4(左=12…,N)能否等于2—1或3-1；(结论不需要证明).

(II)求N的最小值；

(III)研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由.

参考答案

1.A

【详解】

设只持有A股票的人数为X（如图所示），则持有A股票还持有其它股票的人数为X-1（图中”+e+/的和），

因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B和C股票的人数和为X（图中方+c•部

分）.假设只同时持有了B和C股票的人数为。（如图所示），那么：X+X—I+X+a=28,即：3X+a=29,

则：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1.与之对应的。值为：2、5、8、11、14、17、20、23、26.

因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b+a=2（c+a）,即X-a=3c,故

X=8,。=5时满足题意，故c=l,6=7,故只持有B股票的股民人数是7,故选A.

点睛：本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有A股票的人

数.关键是求只参加一个项目的人数中，持有A股票的人数及持有A股票以外的项目，且即持有C股票又持有B

股票（a部分）的人数.

2.A

【详解】

分析：求出集合乂=/右?4*|1%夕15}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},由题意列举出集

合Ai,A»AN排除选项B、C、D,由此能求出结果.

详解：由题意集合M={XCN*|1WXW15}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},

当A尸{1,4,5,6,7},A2={3,12,13,14,15},A3={2,8,9,10,11}时，

XI+X?+X3=8+18+13=39,故排除B选项；

当Ai={l,4,5,6,15},A2={2,7,8,9,14},A3={3,10,11,12,13}时，

XI+X2+X3=16+16+16=48,故排除C选项；

当A尸{1,2,3,4,15},A2={5,6,7,8,14）,A3={9,10,11,12,13}时，

Xi+X2+X3=16+19+22=57,故排除D选项.

...X1+X2+X3的值不可能为37.

故选A.

点睛：本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集、排除法等基础知识，考查学生的知识迁移能力和运算求

解能力，属于基础题.

3.D

【详解】

试题分析：由题意可得集合人=3|14》42},集合B={可-1<x<1},所以4uB={x|-l<xW2},故选D.

考点：1.解不等式；2.集合运算.

4.A

【详解】

由A={x|x2-4<0}得：A={R-2cx<2},则CRZ={久|尤S—2或％22},故选A.

5.C

【详解】

由题意AUB={x|xZl},故选C.

6.B

【详解】

由题意可得：A=|X|X2；1,B={XH<X<2},

结合交集的定义可得：AnB=jx||<x<2},

本题选择B选项.

7.D

【解析】

先求出集合B,即可求出AUB，进而求出补集.

【详解】

•.-fi={xeZ|x2-5x+4<0}={xeZ|l<x<4}={2,3},

/.AuB={l,2,3},

•••Cu(4UB)={0,4,5}.

故选：D.

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，考查并集补集混合运算，属于基础题.

8.D

【分析】

由条件可得CtM={x|xNl},然后可判断出答案.

【详解】

因为A={Mx<]},B={x|x>-l},

所以QA={xIx21},所以QAUB

故选：D

9.B

【分析】

先求出a，A,再由并集定义计算.

【详解】

,.,。={0,1,2,3,4,5},A={0,1,2},B={5},

，CuA={3,4,5},(CuA)UB={3,4,5).

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础.

10.A

【分析】

解出集合B中的不等式，根据集合并集运算得到结果.

【详解】

B={x|xN2},根据集合的并集运算得到：Au8={x|x<—1或短2}.

故答案为A.

【点睛】

这个题目考查了集合的并集运算，属于基础题.

11.B

【详解】

试题分析：由题意得，A=(l,+oo),B=(-a>,3],.•.AcB=(l,3],故选B.

考点：集合的运算.

12.A

【详解】

>4={X|X2<4}={X|-2<X<2},所以C/={x|xW-2煞22},故选择A.

13.A

【详解】

由题意可知：A={xwR|-l<无<1},8={xeR[0<x<2},那么4cB={xeR[0<x<1}.

本题选择A选项.

14.A

【详解】

集合A={xeR|—l<x<l},B={xe/?|x-(x-2)<0}={x[0<x<2}所以AcB={x[0<x<1},故选A.

【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的

定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答，研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研

究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.

15.B

【详解】

分析：由全集U及A,求出补集CuA,找出集合A的补集与集合B的交集即可.

详解：•.•。={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},={3,5},

又；B={1,3,5},(QA)nB={3,5},故选B.

点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化

为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合B或不属于集合A的元素的集合.

16.C

【分析】

求出集合A,利用交集的定义可得出集合Aflb

【详解】

vA={x||x|<3)={x|-3<x<3},B={x|x=2<3wZ},因此，=2,0,2}.

故选：C.

【点睛】

本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

17.B

【解析】

由交集的概念，直接可得出结果.

【详解】

因为集合4=卜|1345},B={x|3<x<6},所以Ac8={x|3W}.

故选B

【点睛】

本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.

18.{邓<x<2}

【详解】

A={x|x〉l},B={x|0<x<2},AcB={x[1<x<2},填{x11<x<2}.

19.4

【详解】

设B中元素ai<a2<…〈an,且a《aj,

则Lai+0,aj有n种,1・净+卜3)有n种,l•ai-l^aj有C；种,-l.ai+l^aj有C；种，

/.n+n+C；+C；>10,n2+n>10,n>3,n=3时洪12种，最多不符合题意两种，

设B={ai,a2,a3},ai<a2<a3,则2a3*0,2a2三10,

•*.a3>5,a2<5.a?=5吐a?+a2=9,

a2=4,a3+ai=7或a2+ai=7,/.ai=2或3,；.8={5,4,3}（舍）刀={5,4,2}（舍）;

33=6时，若32=5,510aa+ai=7或az+ai=7,

Aai=l或22={6,5,2}（舍）出={6,5,1}（舍）,

若a2=4,则ai+a3=9,/.B={6,4,3}（^）;

a3=70t,ai+a3<lO,ai<3,ai=3时,3<a2s5无法构成9,a1=2时,a2+a3=10或2a2=10,

.*.a2=3或5]={7,5,2}（舍）出={7,3,2}（舍）.

a,=l时,a2+a3=10或2a2=10,a2=3或5,B={7,5,1}（舍）,B={7,3,1}（舍）;

a3=8时,ai+a8W10,，ai=l或2a=1时他+23=10或222=10,

；.a2=2或5,B={8,5,1}（舍）,B={8,2,1}（舍），

ai=2时,2<a«5,无法构成9阳=9时,ai=l,l<a£5,无法构成7;

a3=10时,223>10户3+22>10再3+21>10,不是10个数.

；.n=3时不成立.n=4时,B={9,6,4,1}或B={9,7,4,1}或B={8,5,2,1},合理即可.

20.（1）X-Y={\,2},y—X={5},|（x—y）u（yux）|=3；（2）①见解析：②“+1.

【分析】

（1）直接根据定义求解即可；

（2）①分若AU8中含有一个不在S中的元素和A=S,且两种情况讨论即可，当A=S,且3as时，可

通过1任C得证；

②结合①知|（A_S）u（S_A）|+|（8_S）u（S_B）|+|（C_S）3S_C）闫S_H+|S—卸+|C-S|+1,讨论若AcS=0,

或3cs=0,得⑹-川+£-河会，若ACSH0,且3CSH0,设AcS={4外,…

BcS={,a，…4},可证得|（A—S）u（5-4）|+|（8-5）"5-刚+仁一5）55-0|的最小值是〃+1.

【详解】

（1）根据定义直接得x—y={i,2},y—x={5},i（x-y）u（rux）i=3.

（2）①显然|X|NO.

若4U8中含有一个不在S中的元素，则|A—S|+|B—S|N1,即

|A-5|+|8-S|+|5-C|>1.

若AqS,且BqS,则|A—S|=|8-S|=O

此时A中最小的元素,B中最小的元素621,

所以C中最小的元素a+bN2.

所以1任C.

因为S={1,2,…,n},

所以|S—C|N1,即|A-S|+|B-S|+|S-C|21.

综上，M-S|+|8-S|+|S-C|21.

②由①知|AT|+忸/+|5-牛1.

所以|(4-S)5S—A)|+|(B-S)5S-B)|+|(C-S)5S-C)|

=|A-S|+|S-A|+|B-S|+|S-B|+|C-S|+|S-C|

>|S-A|+|S-B|+|C-S|+I.

若ACS=0,或3cs=0,则

若ACSW0,且8cS*0,设AcS={a,,O2,…BcS={b1,瓦，…,b,}

且1«q<的<工〃，1</?j<Z?2<•••/?,<n,

则|S_A]=〃_s,忸_S|=〃_£,

若s+/>〃,

因为2W4+伪<%+历<•••<q+Z?/<%+bt</+也<…〃$+自，

所以"+4吗+仿，…，％+2,%+2M3+/,・・•,4+b,这s+”l个数一定在

集中C中，且均不等于L

所以⑹―川+⑹―却+|。—S|N2〃—s—1+(s+f—九)=".

所以|(A-S)5S-A)|+|(3-S)U(S-B)|+|(C-S)“S-C)|

^|S_/i|+|S—B|+|C—s|+1>w+1.

当A=B=S,C={2,3,…,2〃}时，

|(A-5)U(S-A)|+|(B-S)O(S-B)|+|(C-S)U(S-C)|=/I+1.

所以|(A-S)U(S—A)|+|(B-S)U(S-8)|+|(C-S)U(S—C)|的最小值是”+l.

【点睛】

关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由①得|(A-S)3S-A)|+|(8-S)=(S-酬+|(c-s)5s-c)|

>|S-A|+|S-B|+|C-S|+1,进而进行分情况讨论可得解.

21.(1)nA=2,%=4；(2)4；(3)A={a,5a,7a,lla},ggA={a,1la,19a,29a}.

【解析】

(1)根据定义得到SA，SB，即可得到%,n„的值；

(2)结合条件得到"/)最多有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况,

排除(2,4),(3,4)即可得到%的最大值；

(3)假设0<〃=4<4<“3<4，u=a1+a2,v=at+a3,根据定义可得〃=6q=6a或〃=12q=12a,进而得到A.

【详解】

⑴根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4),故2=2,

Sfi=24=4(l+5)=2(5+7)=2(1+11)=3(1+7),故%=4.

(2)不妨设0<4<%<为<4,因为gsA=g(4+a2+/+%)<%+%<%+%<S.，所以%+%，%+4不能整

除L，因为二力最多有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况，而(2,4),(3,4)不满足题意，所以

%46-2=4,当4={1,5,7』1}时，%=4,所以%的最大值为4；

(3)假设。<。=6<4，由(2)可知，当%取到最大值4时，4+。2，《+能吗+&，出+。3均能整除兄,

因gS”4max{ay+a4,a2+a3}<SA,

故g=max{at+(z4,a2+a3),所以4+4=%+4，

设〃=4+生,丫=4+%,则“，丫是4=2(2+/)=2(〃+v-2q)的因数，

所以丫是2(a-2q)的因数，且w是2(u-2q)的因数，因为“<v,

所以2(“-2q)<2”2v,因为v是2(〃-2%)的因数，所以v=2〃-4%,

因为“是2(吁2q)=4u-12q的因数,所以〃是12q的因数，

因为〃<口=2〃一44，所以所以〃=6〃]=6。或〃=124=12a,

故4={4,54,74,114},或A={q,l心1％,29q},

所以当明取到最大值4时,故4={a,5a,7a,lla},或A={a,lla,19a,29a}.

【点睛】

本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质

22.(1)①相关；②不相关.(2)(i)4/+5个(ii)

【分析】

(1)根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要

求.

(2)(i)根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合。“中与

点A(l,l)相关的点的个数；(ii)由(1)可知相关点满足(内-々)(乂-%)20,利用分类讨论证明

|(玉+y)-(赴+%)怛1，即可求得S中元素个数的最大值.

【详解】

若点A(%,yJ,B(孙％)相关，则A6，%)，8(/M，而|网=N+N，

不妨设$之(),»*0,&*0,丫22。，

则由定义110Al「+|网2>||OAf+||OBf可知(x,+/+(,+%)&(%+为y+(々+疗，

化简变形可得(玉一%)(%-%)20,

(1)对于①4-2,1),B(3,2)；对应坐标取绝对值，代入可知(2-3)(1-2)20成立，因此相关；

②对应坐标取绝对值，代入可知(4-2)(3-4)<0,因此不相关.

(2)(i)在第一象限内，(x-l)(y-l)20,可知ivxw”且14y4〃，有"个点；同理可知，在第二象限、第三

象限、第四象限也各有“2个点.

在X轴正半轴上，点（1,0）满足条件；在X轴负半轴上，点（-1,0）满足条件；

在y轴正半轴上，点（。/）满足条件；在）'轴负半轴上，点满足条件；

原点（o,o）满足条件；

因此集合Q”中共有41+5个点与点A（1,D相关.

（"）若两个不同的点A（3，x）,8（七,%）相关，其中占，x2>0,y,>0,

可知a-W）（y

下面证明|（%+乂）-（9+必）性1.

若占=X2，则X*%，成立；

若%>七，则%2上，

若王<2，则乂4丫2，亦成立.

由于|（西+凶）-（赴+力）|4（〃+〃）一（0+。）=2〃，

因此最多有2〃+1个点两两相关，其中最多有2〃-1个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原

点.

因此S中元素个数的最大值为4（2〃-1）+21+1=8〃-1.

【点睛】

本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.

23.（I）6可以等于4—1,但《不能等于g-1；（II）100；