解三角形应用课件

【高考会这样考】考查利用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．课题：1.2解三角形应用举例一、实际应用中的常用术语术语名称仰角与俯角方位角术语意义在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)图形表示术语名称术语意义图形表示方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°：(2)南偏西n°：术语名称术语意义图形表示坡角

坡度坡面与水平面的夹角坡面的垂直高度h和水平宽度l的比二．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．ABCba1一：测量距离问题

问题：

如何测定A、B两点间的距离？①两点之间不可通也不可视方法：用余弦定理ABCa12问题：

如何测定A、B两点间的距离？②两点之间可视不可达方法：用正弦定理ABCDa1234问题：

如何测定A、B两点间的距离？③两点都不可达方法：在△ACD中用正弦定理求AC在△BCD中用正弦定理求BC在△ABC中用余弦定理求AB变式训练

解在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，1、底部可以到达的

测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。

二：测量高度问题①点B与点C、D共线方法：先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB.2、底部不可以到达②点B与点C、D不共线

方法：在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB

问题：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上，在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β，CD=a，测角仪器的高是h。BEAGHDC在△ACD中，由正弦定理得测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.变式训练例4、某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB=30°，在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,

∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED中，BE=DBsin15°在Rt△ABE中，∠AEB=30°，∴AB=BEtan30°=故所求的塔高为三：测量角度问题（航海问题）

【例】►如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o,相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东________的方向沿直线前往B处救援（提示：,角度精确到1o)【例】►如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o,相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东________的方向沿直线前往B处救援（提示：,角度精确到1o)

变式训练

如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sinα的值．解

(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．A答案AA60m等腰或直角三角形练习:如图所示,已知半圆的直径AB＝2,点C在AB的延长线上，BC＝1,点P为半圆上的一个动点,以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.解设∠POB=θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ=5-4cosθ.三、解答题10.如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC

面积的最大值及此时θ的值.

解

∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-θ，

∠OCP=120°.

在△POC中，由正弦定理得2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔

A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）

A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°

解析灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB=80°，

∠CAB=∠CBA=50°，则α=60°-50°=10°.B3.在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC

上的高为（）

A.B.C.D.

解析由余弦定理可得：B5.(2009·湖南文,14)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,

则的值等于

,AC的取值范围为

.

解析2一、选择题1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°,则塔高为 （）

解析作出示意图如图，由已知：在Rt△OAC中，

OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=

在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，则BD=AD·tan∠BAD=A定时检测2.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）

A.5海里B.5海里

C.10海里D.10海里解析如图所示，依题意有∠BAC=60°，

∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在Rt△ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是（海里/小时）.C3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B

的距离为 （）

A.akmB.akmC.akmD.2akm

解析利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,

在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC

·BCcos120°=2a2-2a2×B4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔

P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 （）

A.海里/小时B.海里/小时

C.海里/小时D.海里/小时解析如图所示，在△PMN中，答案

A5.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S

在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20

海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 （）

A.20海里/小时

B.20海里/小时

C.20海里/小时

D.20海里/小时解析由题意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,答案

B6.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以

80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始

h后，两车的距离最小.A.B.1C.D.2

解析如图所示，设th后,汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.

因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值.

由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-42000t+40000.答案