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文档简介

第四节幂级数函数项级数的概念幂级数及其收敛性幂级数的运算幂级数求和小结一、函数项级数的一般概念1.定义:2.收敛点与收敛域:函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数例如,

等比级数二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:证明如果级数å¥=0nnnxa在)0(00¹=xxx处收敛,则它在满足不等式0xx<的一切x处绝对收敛;如果级数å¥=0nnnxa在0xx=处发散,则它在满足不等式0xx>的一切x处发散.由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域推论定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?幂级数的收敛域可能为:称为幂级数的收敛区间.证明由比值审敛法,定理证毕.例2

求下列幂级数的收敛半径与收敛域.解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛域为(0,1].解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;练习三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中(2)乘法(其中柯西乘积(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变)(收敛半径不变)注:(2)(3)中收敛半径不变,但收敛域可能改变,具体要讨论区间端点的收敛性.四、幂级数的和函数解：通过简单计算可得，级数的收敛半径为R=1，原级数的收敛域为：问题：求常数项级数的和转化相应幂级数的求和问题.两边积分得熟练后，简洁的求和步骤为：简洁的求和步骤为：练习:解：练习:解：简洁步骤为解解收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数幂级数代数变形逐项积分逐项求导几何级数求和和函数求导或积分幂级数和函数几何级数等可直接计算的级数求幂级数的和函数注意：写清和函数的定义域（原级数的收敛域）常用求和函数的方法:(重点)常用求和函数的方法：(重点)练习1、分析级数的收敛域,并求和函数.四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R，收敛域3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念:4.求幂级数的和函数:1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.2)在收敛区域内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考题

幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是作业P2531、(2)(4)(6)(7)2、偶数3、练习.求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,收敛,收

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