连续系统振动分析课件

第六章

连续系统的振动2023年6月6日《振动力学》2－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的2023年6月6日《振动力学》3教学内容一维波动方程梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》4（1）线性弹性体，即虎克定律假设条件（2）材料均匀连续；各向同性（3）振动满足微振动的前提2023年6月6日《振动力学》5一维波动方程动力学方程固有频率和模态函数主振型的正交性杆的纵向强迫振动连续系统的振动/一维波动方程2023年6月6日《振动力学》6（1）弦的横向振动弦两端固定，以张力T0

拉紧在分布力作用下作横向振动建立坐标系弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移

单位长度弦上分布的作用力

单位长度弦的质量

微段受力情况达朗贝尔原理：

弦的横向强迫振动方程令：并考虑到：弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程微振达朗贝尔惯性力弦的定义:很细长振动中认为张力不变2023年6月6日《振动力学》7（2）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩Jp材料密度切变模量G：单位长度杆上分布的外力偶矩

杆参数：为杆上距离原点x

处的截面在时刻t

的角位移截面处的扭矩为Mt微段dx

受力：微段绕轴线的转动惯量连续系统的振动/一维波动方程达朗贝尔惯性力偶2023年6月6日《振动力学》8微段dx

受力达朗贝尔原理：材料力学：圆截面杆的扭转振动强迫振动方程等直杆，抗扭转刚度GJp为常数剪切弹性波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程2023年6月6日《振动力学》9（3）杆的纵向振动

讨论等截面细直杆的纵向振动杆长l假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积A材料密度弹性模量E忽略由纵向振动引起的横向变形单位长度杆上分布的纵向作用力

杆参数：连续系统的振动/一维波动方程2023年6月6日《振动力学》10杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移微段分析微段应变：横截面上内力：达朗贝尔原理：连续系统的振动/一维波动方程达朗贝尔惯性力2023年6月6日《振动力学》11杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移横截面上的内力：达朗贝尔原理：杆的纵向强迫振动方程等直杆EA为常数弹性纵波沿杆的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程2023年6月6日《振动力学》12小结：（1）杆的纵向振动

（2）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程（3）轴的扭转振动连续系统的振动/一维波动方程2023年6月6日《振动力学》136.2杆的纵向固有振动以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动：T(t)表示运动规律的时间函数杆上距原点x处的截面的纵向振动振幅

连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》14记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件确定

与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值由频率方程确定的固有频率有无穷多个（下面讲述）连续系统的振动/杆的纵向振动（杆的边界条件确定固有频率）2023年6月6日《振动力学》15第

i

阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》16几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：不能恒为零

代入模态函数频率方程无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去特征：两端位移为零模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》17（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零

边界条件：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程2023年6月6日《振动力学》18（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零自由端轴向力为零

边界条件：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动或：频率方程2023年6月6日《振动力学》19主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆可以是变截面或匀截面的即质量密度及截面积A

等都可以是x的函数

杆的动力方程：自由振动：主振动：代入，得：连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》20乘并沿杆长对x

积分：杆的简单边界：固定端x=0

或l自由端x=0

或l

设：代入：利用分部积分：杆的任一端上总有或者成立

连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》21乘并沿杆长对x

积分：乘并沿杆长对x

积分：同理相减：时杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于刚度的正交性连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》22关于质量的正交性关于刚度的正交性当时

第i

阶模态主质量第i

阶模态主刚度第i

阶固有频率：主振型归一化：正则振型则第i

阶主刚度：合写为：连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》236.3杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始条件：假定，已经得出令：正则坐标代入方程：两边乘并沿杆长对x

积分：利用正交性条件：第j

个正则坐标的广义力

连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》24求得后模态初始条件的求解乘并沿杆长对x

积分，由正交性条件，知有：

可得连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》25如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：前述外部激励为分布力连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》26例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》27解：一端固定，一端自由边界条件：固有频率：模态函数：代入归一化条件：模态广义力：第i

个正则方程：正则坐标的稳态响应：杆的稳态强迫振动：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象连续系统的振动/杆的纵向振动2023年6月6日《振动力学》286.5梁的横向固有振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利－欧拉梁（Bernoulli-EulerBeam）p(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩梁参数：I截面对中性轴的惯性积单位体积梁的质量A梁横截面积E弹性模量外部力：假设：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》29动力学方程p(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):

距原点x

处的截面在t

时刻的横向位移截面上的剪力和弯矩微段的惯性力微段所受的外力微段所受的外力矩连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》30力平衡方程：即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》31变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》32固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动自由振动方程：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：代入自由振动方程：对于等截面梁：通解：和应满足的频率方程由梁的边界条件确定

连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》33和由系统的初始条件确定

等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：通解：代入，得：第i阶主振动：

无穷多个系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》34常见的约束状况与边界条件（1）固定端挠度和截面转角为零（2）简支端挠度和弯矩为零（3）自由端弯矩和剪力为零连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》35例：求悬臂梁的固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条件固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：以及：非零解条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》36简化后，得：频率方程当

i=1,2,3时解得：当

时各阶固有频率：对应的各阶模态函数：其中：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》37铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点两个节点无节点节点位置连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》38例：简支梁的固有频率和模态函数解：一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：以及：频率方程：固有频率：连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》39频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态模态形状节点位置无节点一个节点两个节点三个节点连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》40例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半正定系统存在刚体模态导弹飞行1导弹飞行2连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》41频率方程：模态函数：其中：当

i=1,2,3时解得：当

时自由端：弯矩和截面剪力为零当

时对应刚体模态连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》42第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》43说明：以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁（Timoshenkobeam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动/梁的弯曲振动2023年6月6日《振动力学》446.6梁的横向强迫振动梁若为等截面，则：变截面梁的自由振动方程：主振动：代入，得：设：有：连续系统的振动/梁的弯曲振动1主振型的正交性2023年6月6日《振动力学》45(2)式两边乘(1)式两边乘并沿梁长对x

积分：利用分部积分：在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零(3)代入（3）式，有：并沿梁长积分可得：同理，相减得：连续系统的振动/梁的弯曲振动(2)(1)2023年6月6日《振动力学》46如果时，则有：主振型关于质量的正交性

由（4）、（5）式，得：主振型关于刚度的正交性

如果i=j第j

阶主质量第j

阶主刚度第j

阶固有频率主振型中的常数按下列归一化条件确定：正则振型正则振型的正交性：2023年6月6日《振动力学》47两边乘2、梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动方程：令：代入：并沿梁长对x

积分：由正交性条件，得：第j

个正则坐标方程第j

个正则坐标的广义力由分部积分：